湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 239.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
襄阳四中 2024 级高二下学期三月月考 数学试卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线 的准线方程为 ( )
A. B. C. D.
2. 圆 与圆 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 在区间 上单调递减 B. 在 处取得极大值
C. 在区间 上单调递减 D. 在 处取得极小值
4. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十二里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走 252 里路, 第一天健步行走, 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地. 则最后一天走了( )
A. 4 里 B. 16 里 C. 64 里 D. 128 里
5. 在空间直角坐标系中,直线 经过点 ,且其方向向量 ,则点 到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
6. 用一个与圆柱底面成 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 若函数 在区间 单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知在数列 中, ,则 中的最大项是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 非零常数列既是等差数列, 又是等比数列
B. 4 与 9 的等比中项为 ±6
C. 在公比不为 1 的等比数列 中,若 ,则 的值可能为 8
D. 等比数列 是递增数列,则 的公比
10. 如图,在平行六面体 中,以顶点 为端点的三条棱长都为 2,且 ，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 异面直线 与 所成的角为 D.
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 作垂直于 轴的直线交 于 两点. 若直线 的斜率是 ， 的周长是 16，则()
A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是 2
C. 的面积是 12
D. 的外接圆半径是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的单调减区间是_____.
13. 数列 满足, ,则数列 的前 9 项和为_____.
14. 已知直线 与 交于 两点，
(1) 时， _____；
(2)若在圆上或其内部存在一点 ,使得 ，则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 设函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程.
(2)当 ，求函数 的极值.
16. 已知 是等差数列， 是公比大于 0 的等比数列，且 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 为 的中点，平面 与棱 交于点 .
(1)求证: 为 的中点；
(2)若 为 的中点,平面 平面 ,求二面角 的余弦值.
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且椭圆 过点 处，过 处于两条互相垂直的直线 与 分别与椭圆交于 四点. 记弦 的中点分别是 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 轴不重合,求 面积的最大值；
(3)求证:直线 过定点，并求出该定点坐标.
19. 已知 为正项数列 的前 项和,且 .
(1)求 的通项公式.
(2)已知数列 满足:① ，② ，③ .
(i) 求 .
(ii) 证明: .
(iii) 若 ,求 的取值范围.
1. B
由抛物线方程可得准线方程为: .
故选: B.
2. D
圆 ,圆 ,
所以两圆圆心为 ,
所以 ,
两圆半径分别为 ,
所以 ,
所以两圆位置关系为外切.
故选: D.
3. D
对 ,当 时, ,此时 单调递增,
当 时, ,此时 单调递减,故 A 错误;
对 ,在 附近,导函数符号不变,则 在 处取不到极大值,故 错误;
对 ,当 时,此时 单调递增,故 错误;
对 ,由图知 为附近的最低点,则 在 处取得极小值,故 正确.
故选: D.
4. A
由题意得此人每天走的路程构成公比为 的等比数列,且前 6 项和为 252.
设首项为 ,则有 ,解得: .
故选: A
5. A
因为 ,直线 的方向向量 ,
所以 ,
因为 ,
所以点 到直线 的距离为 ,
故选: A
6. D
设圆柱的底面半径为 ,则底面圆的直径为 ,
椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向,长度等于底面圆的半径,即 ,
长半轴垂直于截面与底面交线的方向,由二面角的几何关系可得 ,
所以 ,
所以该椭圆的离心率 ,
故选: D.
7. D
,
因为函数 在区间 单调递增,
所以 在区间 恒成立,即 在区间 恒成立,
即 在区间 恒成立,
由对勾函数的单调性可得 ,故 .
故选: D.
8. B
记 ,由题意得 ,
整理可得 ,
得 ,即 ,
又 ,所以 ,则 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ,
当 时, ,即 ,
当 时, ,即 ,
所以 ,
故 中的最大项为 .
故选: B
9. ABC
对于 选项,设非零常数列的通项公式为 ,
则 ,所以 是公差为 0 的等差数列,
又 ,所以 是公比为 1 的等比数列,
所以非零常数列既是等差数列, 又是等比数列. 故 A 正确;
对于 B 选项,4 与 9 的等比中项为 ,故 B 正确;
对于 选项,由等比数列的性质可知 ,且 ,
所以 的可能值为 或 或 或 或
则 ,或 ,或 ,故 正确;
对于 选项,当 时,数列 是递增数列,故 错误.
故选: ABC
10. AD
对于 ,故 正确；
对于 : 因为 ,
所以
,
所以 ,即 ,故 错误;
对于 : 因为 ,所以 ,
所以 为异面直线 与 所成的角,即异面直线 与 所成的角为 ,故 错误;
对于 : 因为 ,
所以 ,
所以 ,即 ,故 D 正确.
故选: AD
11. BCD
设 ,直线 ,由 ,得 ,
则 ,由直线 的斜率是 ,得 ,
由双曲线定义得 ,由 的周长是 16,
得 ,即 ,则 ,而 ,
因此 ,解得 ,双曲线 ,
对于 ,双曲线 的渐近线方程为 , 错误;
对于 ,双曲线 的实轴长是 正确;
对于 的面积是 正确;
对于 ,因此 的外接圆半径 ,
D 正确.
故选: BCD
12.
,
解 得 ,
故 的单调减区间是 .
故答案为:
13. 30
由 ,可得 ,
两式相减,可得 ,又由 且 ,可得 ,
所以数列 是首项为 ,公差为 2 的等差数列,
数列 是首项为 ,公差为 2 的等差数列,
即 为奇数时, 为偶数时, ,
所以 ,
所以 . 故答案为: 30 .
14. ;
(1) 当 时, ,
所以圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
圆心 到直线 的距离为
所以弦长 .
(2)由 ，得圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
由在圆上或其内部存在一点 ,使得 ,需使得以 为弦的圆心角 ,
所以圆心 到直线 的距离为 ,
即 ,解得 ,即 或 .
且直线 与 交于 两点，
所以 ,解得
故实数 的取值范围为 .
故答案为: .
15. (1)
(2)极小值 ，极大值
(1) 当 时, ,则 ,
所以 ,而 ,
故函数 在点 处的切线方程为 .
( 2 )当 时， ，函数的定义域为 ，
则 ,
令 ,得 或 ; 令 ,得 ,
故函数 在 和 上单调递减,在 上单调递增,
故函数 在 处取得极小值 ;
在 处取得极大值 .
16. (1) ;
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ，
因为 是公比大于 0 的等比数列,且 ,
所以 是各项都为正数的等比数列,设其公比为 .
由 可得: ,
解得 或 (负值舍去),
则 ;
(2)由(1)知 ,
所以 ,
两式相减可得
,
整理得 .
17.(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
因为 是 的中点,
所以 为 的中点.
(2)因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 ,
又因为 平面 ,因此 ,
故 两两垂直,
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,所以 ,
所以 ,
由图知,二面角 为钝角,
所以二面角 的余弦值为 .
18.(1) 因为椭圆 的左、右焦点分别为 ,所以 ,
又椭圆 经过点 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
所以椭圆 的方程 .
(2)由题可设直线 的方程为: ，
由 得, ,
令 ,则 ,所以 ,
又因为 时, 单调递增,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 面积的最大值为 .
(3)设 ，
(i) 当 或 与 轴重合时,直线 为 轴.
若直线 过定点,则该点在 轴上,设为 ,
(ii) 当 与 都不与 轴重合时,由 (2) 可知:
,
把 换成 可得 ,
因为
且 ,所以 .
解得: ,
所以直线 过定点 .
19. (1)
(2) (i) ; (ii) 证明见解析; (iii)
(1) 将 代入 ,得 .
由 ,得 ,
两式相减得 ,即 ,
因为 为正项数列,所以 ,则 为等比数列,且首项和公比均为 ,
所以 .
(2)(i) ，若 ，则 ，得 ，这与 矛盾,
所以 ,则 ,又 ,所以 ,得 .
同理得 ,
又因为 ,所以 ,所以 .
(ii) 证明: ,又 ,所以 .
得 ,即 .
(iii) 因为 , 所以 .
因为 ,所以 ,即 ,
由 ,且
可得 ,又 ,所以
所以数列 是以 为首项,2 为公比的等比数列.
因为 ,所以 ,
若 ,则 ,即 ,
解得 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线 的准线方程为 ( )
A. B. C. D.
2. 圆 与圆 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 在区间 上单调递减 B. 在 处取得极大值
C. 在区间 上单调递减 D. 在 处取得极小值
4. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十二里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走 252 里路, 第一天健步行走, 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地. 则最后一天走了( )
A. 4 里 B. 16 里 C. 64 里 D. 128 里
5. 在空间直角坐标系中,直线 经过点 ,且其方向向量 ,则点 到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
6. 用一个与圆柱底面成 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 若函数 在区间 单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知在数列 中, ,则 中的最大项是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 非零常数列既是等差数列, 又是等比数列
B. 4 与 9 的等比中项为 ±6
C. 在公比不为 1 的等比数列 中,若 ,则 的值可能为 8
D. 等比数列 是递增数列,则 的公比
10. 如图,在平行六面体 中,以顶点 为端点的三条棱长都为 2,且 ，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 异面直线 与 所成的角为 D.
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 作垂直于 轴的直线交 于 两点. 若直线 的斜率是 ， 的周长是 16，则()
A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是 2
C. 的面积是 12
D. 的外接圆半径是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的单调减区间是_____.
13. 数列 满足, ,则数列 的前 9 项和为_____.
14. 已知直线 与 交于 两点，
(1) 时， _____；
(2)若在圆上或其内部存在一点 ,使得 ，则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 设函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程.
(2)当 ，求函数 的极值.
16. 已知 是等差数列， 是公比大于 0 的等比数列，且 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 为 的中点，平面 与棱 交于点 .
(1)求证: 为 的中点；
(2)若 为 的中点,平面 平面 ,求二面角 的余弦值.
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且椭圆 过点 处，过 处于两条互相垂直的直线 与 分别与椭圆交于 四点. 记弦 的中点分别是 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 轴不重合,求 面积的最大值；
(3)求证:直线 过定点，并求出该定点坐标.
19. 已知 为正项数列 的前 项和,且 .
(1)求 的通项公式.
(2)已知数列 满足:① ，② ，③ .
(i) 求 .
(ii) 证明: .
(iii) 若 ,求 的取值范围.
1. B
由抛物线方程可得准线方程为: .
故选: B.
2. D
圆 ,圆 ,
所以两圆圆心为 ,
所以 ,
两圆半径分别为 ,
所以 ,
所以两圆位置关系为外切.
故选: D.
3. D
对 ,当 时, ,此时 单调递增,
当 时, ,此时 单调递减,故 A 错误;
对 ,在 附近,导函数符号不变,则 在 处取不到极大值,故 错误;
对 ,当 时,此时 单调递增,故 错误;
对 ,由图知 为附近的最低点,则 在 处取得极小值,故 正确.
故选: D.
4. A
由题意得此人每天走的路程构成公比为 的等比数列,且前 6 项和为 252.
设首项为 ,则有 ,解得: .
故选: A
5. A
因为 ,直线 的方向向量 ,
所以 ,
因为 ,
所以点 到直线 的距离为 ,
故选: A
6. D
设圆柱的底面半径为 ,则底面圆的直径为 ,
椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向,长度等于底面圆的半径,即 ,
长半轴垂直于截面与底面交线的方向,由二面角的几何关系可得 ,
所以 ,
所以该椭圆的离心率 ,
故选: D.
7. D
,
因为函数 在区间 单调递增,
所以 在区间 恒成立,即 在区间 恒成立,
即 在区间 恒成立,
由对勾函数的单调性可得 ,故 .
故选: D.
8. B
记 ,由题意得 ,
整理可得 ,
得 ,即 ,
又 ,所以 ,则 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ,
当 时, ,即 ,
当 时, ,即 ,
所以 ,
故 中的最大项为 .
故选: B
9. ABC
对于 选项,设非零常数列的通项公式为 ,
则 ,所以 是公差为 0 的等差数列,
又 ,所以 是公比为 1 的等比数列,
所以非零常数列既是等差数列, 又是等比数列. 故 A 正确;
对于 B 选项,4 与 9 的等比中项为 ,故 B 正确;
对于 选项,由等比数列的性质可知 ,且 ,
所以 的可能值为 或 或 或 或
则 ,或 ,或 ,故 正确;
对于 选项,当 时,数列 是递增数列,故 错误.
故选: ABC
10. AD
对于 ,故 正确；
对于 : 因为 ,
所以
,
所以 ,即 ,故 错误;
对于 : 因为 ,所以 ,
所以 为异面直线 与 所成的角,即异面直线 与 所成的角为 ,故 错误;
对于 : 因为 ,
所以 ,
所以 ,即 ,故 D 正确.
故选: AD
11. BCD
设 ,直线 ,由 ,得 ,
则 ,由直线 的斜率是 ,得 ,
由双曲线定义得 ,由 的周长是 16,
得 ,即 ,则 ,而 ,
因此 ,解得 ,双曲线 ,
对于 ,双曲线 的渐近线方程为 , 错误;
对于 ,双曲线 的实轴长是 正确;
对于 的面积是 正确;
对于 ,因此 的外接圆半径 ,
D 正确.
故选: BCD
12.
,
解 得 ,
故 的单调减区间是 .
故答案为:
13. 30
由 ,可得 ,
两式相减,可得 ,又由 且 ,可得 ,
所以数列 是首项为 ,公差为 2 的等差数列,
数列 是首项为 ,公差为 2 的等差数列,
即 为奇数时, 为偶数时, ,
所以 ,
所以 . 故答案为: 30 .
14. ;
(1) 当 时, ,
所以圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
圆心 到直线 的距离为
所以弦长 .
(2)由 ，得圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
由在圆上或其内部存在一点 ,使得 ,需使得以 为弦的圆心角 ,
所以圆心 到直线 的距离为 ,
即 ,解得 ,即 或 .
且直线 与 交于 两点，
所以 ,解得
故实数 的取值范围为 .
故答案为: .
15. (1)
(2)极小值 ，极大值
(1) 当 时, ,则 ,
所以 ,而 ,
故函数 在点 处的切线方程为 .
( 2 )当 时， ，函数的定义域为 ，
则 ,
令 ,得 或 ; 令 ,得 ,
故函数 在 和 上单调递减,在 上单调递增,
故函数 在 处取得极小值 ;
在 处取得极大值 .
16. (1) ;
(2)
(1)设等差数列 的公差为 ，
因为 是公比大于 0 的等比数列,且 ,
所以 是各项都为正数的等比数列,设其公比为 .
由 可得: ,
解得 或 (负值舍去),
则 ;
(2)由(1)知 ,
所以 ,
两式相减可得
,
整理得 .
17.(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
因为 是 的中点,
所以 为 的中点.
(2)因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 ,
又因为 平面 ,因此 ,
故 两两垂直,
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,所以 ,
所以 ,
由图知,二面角 为钝角,
所以二面角 的余弦值为 .
18.(1) 因为椭圆 的左、右焦点分别为 ,所以 ,
又椭圆 经过点 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
所以椭圆 的方程 .
(2)由题可设直线 的方程为: ，
由 得, ,
令 ,则 ,所以 ,
又因为 时, 单调递增,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 面积的最大值为 .
(3)设 ，
(i) 当 或 与 轴重合时,直线 为 轴.
若直线 过定点,则该点在 轴上,设为 ,
(ii) 当 与 都不与 轴重合时,由 (2) 可知:
,
把 换成 可得 ,
因为
且 ,所以 .
解得: ,
所以直线 过定点 .
19. (1)
(2) (i) ; (ii) 证明见解析; (iii)
(1) 将 代入 ,得 .
由 ,得 ,
两式相减得 ,即 ,
因为 为正项数列,所以 ,则 为等比数列,且首项和公比均为 ,
所以 .
(2)(i) ，若 ，则 ，得 ，这与 矛盾,
所以 ,则 ,又 ,所以 ,得 .
同理得 ,
又因为 ,所以 ,所以 .
(ii) 证明: ,又 ,所以 .
得 ,即 .
(iii) 因为 , 所以 .
因为 ,所以 ,即 ,
由 ,且
可得 ,又 ,所以
所以数列 是以 为首项,2 为公比的等比数列.
因为 ,所以 ,
若 ,则 ,即 ,
解得 .
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