四川泸州市叙永第一中学校2025-2026学年高二下学期第一学月知识回顾数学试题（含答案）

高 2024 级 2026 年春期第一学月学知识回顾 数学
一、选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每个小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则 ( )
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
2. 已知数列 为正项等比数列,若 ,则 ( )
A. B. 4 C. -4 D. 2
3. 记等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 某公司第一年的利润为 800 万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的 1.5 倍. 若预计前 年的利润总和为 6500 万元,则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘 3 再加 1 ；若它是偶数，就将该数除以 2 .反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”. 如取正整数 6 时，根据上述运算法则得出 ，共需经过 8 个步骤变成 1 (简称 8 步 “雹程”). 现给出 “冰雹猜想”的递推关系如下:已知数列 满足: 若 ,则 的所有可能取值的和为 ( )
A. 62 B. 169 C. 170 D. 190
6. 用数学归纳法证明: 的过程中,从 到 时， 比 共增加了( )
A. 1 项 B. 项 C. 项 D. 项
7. 已知数列 的首项 ，且满足 ，则 ()
A. B. C. 10 D. 12
8. 若等比数列 的前 项和 ,则该数列 的前 9 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( )
A. B. 2
C. D.
二、选择题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分.每个小题给出的选项中, 有多项符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分.
9. 下列求导数运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,若 ,则( )
A. B.
C. D.
11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有 10 个球…… 设第 层有 个球,则()
A. B. 是等差数列
C. 为偶数
D.
三、填空题:本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 的通项公式为 ，则 146 是该数列的第_____项.
13. 求抛物线 在点 处的切线方程. 14. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 个小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知数列 是等差数列， 为数列 的前 项和， ;
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的最大项.
16. 等比数列 中, .
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和. 若 ，求 .
17. 在数列 中, .
(1)证明:数列 是等差数列.
(2)求 的通项公式.
(3)若 ,求数列 的前 项和 .
18. 已知数列 的前 项和为 , .
(1)证明:数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 ；
(3)若 对任意 恒成立. 求实数 的取值范围.
19. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 通项公式；
(2)求数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
(3)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在 3 项 (其中 成等差数列) 成等比数列 若存在，求出这样的 3 项；
若不存在, 请说明理由.
1. D
利用导数的定义可得出结果.
.
故选: D.
2. B
利用等比中项的性质求解即可
由等比数列的性质可得, ,
因 ,故 .
3. B
因为 为等差数列,由等差数列的性质求解即可.
因为 为等差数列,则 ,解得 .
4. B
由题意知各年的利润成等比数列,由等比数列前 项和的公式即可求得 的值.
由题意知各年的利润成等比数列,记该数列为 ,前 年的利润总和记为 ,公比 .
由 ,解得 ,
故选: B.
5. D
利用递推公式,依次令 即可求出答案.
因为 ,
当 时, ,解得 ;
当 时, ,解得 ;
当 时, ,解得 或 ;
当 时, ,解得 或 ;
当 时, ,解得 或 或 ;
当 时, 或 或 或 ;
当 时, ,解得 或 或 或 或 或
所以 的所有可能取值为 ,
它们的和为 .
6. D
分别计算出 和 的项数,进而作差即得结论.
因为 ,
所以 ,共 项,
则 共 项,
所以 比 共增加了 项,
故选: D
7. A
根据递推关系得 ,结合等差数列定义写出 的通项公式,即可得答案.
由题意可得: ,
令 ,则可得: ,
所以 是等差数列,公差为 2 .
又因为 ,所以 ,
所以 .
8. C
先求出等比数列的通项公式,结合等比数列前 项和公式求解即可.
当 时, .
当 时, .
因为 为等比数列,所以 时也满足 ,即 ,解得 .
所以数列 的通项公式为 .
该数列 的前 9 项中所有奇数项之和为
,
该数列 的前 9 项中所有偶数项之和为 , 故该数列 的前 9 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为 .
故选: C.
9. BCD
根据导数的运算法则依次判断即可.
对于 ,故 错误;
对于 ,由指数函数求导公式可得 ,故 正确;
对于 ,故 正确;
对于 ,故 正确. 故选: BCD.
10. BD
利用题设等式进行等比数列的基本量运算,求得 ,代入公式即可一一判断.
依题, ,解得 ,故 错误, 正确; 则 ,故 错误, 正确. 故选: BD.
11. ABD
根据题意 ,利用累加法得 即可判断 选项,对于 ,再根据裂项相消法可得 的和, 接着简单放缩即可判断.
根据题意,当 时, ,
累加得 ,
,易知 也满足,所以 ,
,故 A 正确;
,故 B 正确;
为奇数,故 C 错误;
,
,
即 ,故 D 正确;
故选: ABD.
12. 12
根据给定的通项公式,列式求出 值即可.
依题意, ,而 ,解得 ,
所以 146 是该数列的第 12 项.
故答案为: 12
13.
求出函数的导函数,即可求出切线的斜率,从而求出切线方程;
解: 因为 ,所以 ,所以 ,故切线方程为 14.
根据 ,可求出 的通项公式.
当 时, ;
当 时, ,
由于 不适合此式,所以 .
故答案为: .
15.
(2) 和
(1) 根据等差数列通项公式 解题即可;
(2)根据等差数列的前 项和公式 ，再由二次函数的性质求解即可.
(1)因为数列 是等差数列，所以 ，
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以数列 的通项公式为 .
(2)由(1)知，数列的前 项和 , 因为 ,所以当 或 5 时, 有最大值,即 .
所以数列 的最大项 和 .
16. (1) 或 .
(2) .
分析: (1) 列出方程,解出 可得; (2) 求出前 项和,解方程可得 .
详解: (1) 设 的公比为 ,由题设得 .
由已知得 ,解得 (舍去), 或 .
故 或 .
(2)若 ，则 . 由 得 ，此方程没有正整数解.
若 ,则 . 由 得 ,解得 .
综上, .
点睛: 本题主要考查等比数列的通项公式和前 项和公式,属于基础题.
17. (1) 证明: 因为 ,所以 ,
所以 .
因为 ,所以 ,所以数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.
(2)解:由(1)可得 ，
则 ,故 .
(3)解:由(2)可得 ，
则
18.(1) 由 ,则 ,又 , 所以数列 是首项、公差均为 的等差数列,则 , 所以 .
(2)由 ，则
所以 ,
所以 .
(3)由(1)(2)，则 ，整理得 恒成立，
令 ,则 ,
当 时 ,当 时 ,当 时 ,
所以 ,即 的最小值为 ,
综上, .
19. (1)解:由数列 满足 ，
当 时， ，
当 时， ，
两式相减,可得 ,
整理得 ,即 ,
又 ，且 是等比数列，则其公比为 4，
所以 ,即 ,
所以 的通项公式为: ;
故答案为: .
(2)由题意， ，则前 项中:
奇数项: ,共 项,
是首项为 3,公差为 4 的等差数列 (因为 ,相邻两项差为 4 ),
则:
偶数项: ,共 项,对应 ,
是首项为 4,公比为 16 的等比数列 ,
则:
因此前 项和为:
故 .
(3)由(1)知 ，因为 ， 所以 ,整理得:
所以 ,即 ,
因为 成等差数列,即 ,
假设 成等比数列,则 ,代入 的表达式:
,化简得: ,
由 ,得 ,故: ,
结合 ,
等号仅当 时成立,这与题设 互不相等) 矛盾.
故数列 中不存在 3 项 (其中 成等差数列) 成等比数列.