广东广州市真光中学（（高中部汾水校区））2025-2026学年高二下学期第一次阶段训练数学试题（含答案）

广州市真光中学(高中部汾水校区)2025 学年高二第一次阶 段训练 数学
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中， 有一项符合题目要求.
1. 已知 为等差数列， ， ，则 ( )
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
2. 有 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱, 可有不同的投入方法种数为 ( )
A. 81 B. 64 C. 27 D. 24
3. 已知函数 在 处取得极大值,则 ( )
A. 9 或 1 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则 ( )
A. B. C. D. 1
6. 若函数 在 上有最大值，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆 的上顶点, 直线 与椭圆相交于另一点 ,若 ,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ，则 的大小关系正确的一项是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部 分分.
9. 已知点 ， ，点 在圆 上运动，则( )
A. 直线 与圆 相离
B. 的最大值为 5
C. 的面积的最小值为
D. 圆 半径为 2
10. 已知双曲线 的左右两个焦点分别是 ,焦距为 8,则 ( )
A.
B. 双曲线 的离心率为 2
C. 双曲线 的渐近线方程为
D. 若 是双曲线 上一点，且 ，则 的周长为 22 或 14
11. 已知函数 且为常数， 是函数 大于 0 的零点，其构成数列 ,下列说法正确的有( )
A. 函数 有且只有一个零点
B. 若函数 在区间 内均存在零点,则
C. 若 ,则数列 为递增数列
D. 存在实数 ,使得数列 为常数列
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知直线 过抛物线 的焦点,并交抛物线 于 两点, ,则弦 中点 的横坐标是_____.
13. 如图,平行六面体 的底面是正方形,若 , ，则 _____.
14. 已知 且 ,若函数 在 上单调递增,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数
(1) 时，求 的单调区间；
(2)设 ，若 恒成立，求 的取值范围.
16. 已知 为等差数列， 为等比数列， 的前 项和
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
17. 已知函数
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)求不等式 的解集；
18. 在四棱锥 中，底面 是矩形且 ，侧面 是正三角形且垂直于底面 是 的中点， 为 的中点，求:
(1)异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)点 到平面 的距离;
(3)二面角 的余弦值.
19. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若函数 有两个极值点 ,证明: .
1. B
先计算等差数列的公差, 再进行求解即可.
公差 ,
则 .
2. A
利用分步计数原理, 每封信独立选择信箱, 将各步的方法数相乘得到总方法数。
每封信都有 3 种选择,所以将 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱,共有 种方法.
故选: A.
3. B
先求出导函数, 再根据极值点导函数为 0 求参数, 最后代入检验即可.
因为函数 ,所以 , 又因为在 处取得极大值,所以 ,所以 或 , 当 时， ，所以 ， ， 单调递减， 单调递增,
所以 在 处取得极小值,不符合题意舍去;
当 时， ，所以 ， ， 单调递增，
单调递减,
所以 在 处取得极大值,符合题意;
则 .
故选: B.
4. A
利用已知条件求出数列前 20 项的和以及前 19 项的和, 然后求解即可.
因为 ,所以数列 是以 为首项,3 为公比的等比数列, 又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选: A
5. B
令 ,求其导数 ,由条件分析出 ,求出 值即可.
令 ,则 .
因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直,
且直线 的斜率为 2 ,
所以曲线 在 处的切线斜率为 ,
即 ,解得 .
故选: B
6. B
由于给出的是开区间,且 是减函数,所以判断 有且只有一个极大值点, 所以 在 上有零点,由此列出不等式,求解可得实数 的取值范围.
,在区间 上单调递减,且 .
若函数 在 上有最大值,则函数 在 上有极大值,
则存在 ,使得 在 上单调递增,在 上单调递减,
即 有零点,所以 ,解得 .
7. C
借助椭圆的定义与余弦定理可得与 有关齐次式,再利用离心率定义计算即可得.
,设 ,则 ,
又由 ,则 ,可得 ,则 ,
又由 ,在 中,由余弦定理,
有 ,则 ,故 .
8. D
取对数得 ,设 ,利用导数判断出函数的单调性可得答案.
因为 ,
则 ,
设 ，
则 ,
设 ,
则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递减,
则 ,所以 ,即 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,即 ,
即 ,所以 .
故选: D
9. ACD
由圆的方程求出圆心和半径,可判断 ; 由直线方程的截距式,表示出直线 的方程,求出圆心到直线的距离大于半径,即可判断 ; 由两点间距离公式求出 ,
,计算即可判断 ; 先求 ,再利用两点间距离公式求出 ,利用面积公式计算即可.
对于 圆 的方程为 ,
圆心的坐标为 ,半径为 ,
,
直线 的方程为 ,即 ,
圆心 到直线 的距离 ,
直线 与圆 相离,故 正确;
对于 ,
,故 B 错误;
对于 ,
,
圆心 到直线 的距离 ,
点 到直线 的距离的最小值为 ，
面积的最小值为 ,故 正确;
对于 圆 的方程为 ,
圆心的坐标为 ,半径为 ,故 正确.
10.
先根据题意,求出 的值,再由选项内容逐一判断 项; 对于 ,需要
按照点 在双曲线的左支还是右支进行分类,结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.
对于 ,因双曲线的焦距为 ,即得 ,由 可得 ,
则 ,故 A 错误;
对于 ,由上分析, ,故 正确;
对于 ,由上分析可得, ,则该双曲线的渐近线方程为 ,即 ,故 C 正确;
对于 ,若点 在双曲线的左支上,由 可得 , 此时, 的周长为 ; 若点 在双曲线的右支上,因 ,这与已知 不符,故 错误. 故选: BC.
11. ACD
利用导数判断函数的单调性即可说明 ,由单调性可得 ,即可求出 的范围判断 ,当 时可得 ,推导出 ,再利用函数 的单调性判断 ,设 (常数),则对任意 恒成立,解出 即可判断 D.
选项 A: 因为 ,所以 恒成立,
所以 在 上单调递增,
又 时 时 ,
所以函数 有且只有一个零点, A 说法正确;
选项 B: 当 时, 恒成立,所以 在 上单调递增, 又 ,
所以若函数 在区间 内均存在零点,只需满足 即可,
所以 对任意 成立即可,
易知函数 在 上单调递减,所以 ,
所以 , B 说法错误;
选项 C: 当 时,因为 在 上单调递增, ,
所以 ,
当 时 ,
由于 是函数 在 的零点,所以 ,
所以 ,则 ,数列 为递增数列, 说法正确;
选项 D:若存在实数 ，使得数列 为常数列，设 (常数)，
则对任意 ， 恒成立，解得 或 ，
当 时,代入 得 解得 ,
当 时,代入得 ,因 故舍去,
所以当 时,数列 为常数列, 说法正确;
故选: ACD
12.
分别过点 ,作 ,利用抛物线的定义,结合 为 的中点求解.
由题意知: 抛物线的准线 的方程为
如图所示:
分别过点 ,作 ,
由抛物线的定义得: ,
因为 为 的中点,
所以 ,
所以点 的横坐标为: ,
故答案为:
13.
建立空间直角坐标系, 利用距离公式求解.
如上图所示,以 点为原点建立空间直角坐标系,则 , 设 ,由 与 的夹角均为 ,且 ,
则 ,即 ,
,即 ,
由 ,得 ,
代入 ，可得 ，据此可得 ，
又因为平行六面体的底面是正方形，所以上底面也是正方形，
则 ,所以 ,
用距离公式可得 .
故答案为:
14.
由题意可得 对任意的 恒成立,设 ,利用导数结合题意推得 ,将其化成 ,设 ,利用导数求出其最大值即得.
根据题意,可得 对任意的 恒成立.
设 ,则 .
若 ,则 在 上单调递增,
当 且 时, ,不符合题意.
若 ,令 ,得 ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
所以 ,所以 .
设 ,则 ,
当 时， 在 上单调递增，
当 时, 在 上单调递减,
所以 ,即 的最大值为 ,
此时 .
故答案为: .
15. (1) 增区间为 减区间为 ; (2) .
试题分析: (1) 时, ,得 ,从而 在 递增,在 递减; (2) 设 ,若 恒成立,只需
即可,令 ,得 , 再分情况讨论① 时② 时③ 时的 的范围，从而得出答案.
试题解析: 解: (1) 时, ,
由 或 ,由
故 的单调递增区间为 的单调递减区间为
(2)
① 当 时， 在 上递增，在 上递减，又
若使 在 上恒成立,只需 ,即 ,
解得
② 当 时， 在 上递增，在 上递减，又
若使 在 上恒成立,只需 ,即 ,解得
③ 当 时， 在 上递增，且 ，所以 在 上恒成立. 综上 的取值范围是 .
考点: 利用导数研究函数的单调性.
16. ;
(2) .
(1) 根据题意,求出 即可得数列 的通项公式,再根据等差数列的定义求出 和公差 ,即可得 的通项公式;
(2)利用错位相减求解即可.
(1)解: 设 的公差为 的公比为 ,
由已知可得 ,
,
,
,
,
又 ,
,
,
;
(2)解:由(1)知 ，
.①
.②
①-②，得 .
.
17. (1)
(2)
(1) 在 时,根据导数的几何意义求出切线斜率,由点斜式求得切线方程;
(2)先判断函数 为 上的偶函数,再利用求导推得 在 上单调递增, 利用函数的单调性和奇偶性即可求解抽象不等式;
(1) 当 时,由 ,得 ,
则 ;
从而有 ,故切线方程为: .
(2)函数 的定义域为 ，
由 ,可得函数 为偶函数,
当 时, ,令 ,
则 ,且 ,
则函数 在 上单调递增,故 ,即 ,
即函数 在 上单调递增,因函数 为偶函数,
则 即 ,可得 ,
即 ,整理可得 ,解得 ,
故不等式 的解集是 .
18.
(2)
(3)
(1) 先建立空间直角坐标系,然后列出 的坐标,进而根据向量夹角的余弦公式计算即可.
(2)先根据坐标求出平面 的法向量坐标,然后根据向量的数量积求出点 到平面 的距离.
(3)求出平面 的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可.
(1)以 为原点，如图建立空间直角坐标系,因为 ，
则 .
所以 .
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
( 2 )因为 ，设平面 的法向量为 .
则 ,两式相减得 .
令 ,则 ,所以 .
因为 ,所以点 到平面 的距离为
.
(3)因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量， 由于平面 的法向量为 .
所以二面角 的余弦值为 .
19.(1) 的定义域为 .
当 时, 在 上单调递增; 当 时,由 得 ,
由 得 ,由 得 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上, 时, 在 上单调递增,
时, 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)因为 在 上有两个零点，所以 ，
由 得 ,令 ,则 ,
所以 ,时, 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
有极大值,也就是最大值为 ,
又 无限趋近 时, 无限趋近于 0,
所以 在 上有两个零点时, ,
所以 ,即 的取值范围是 .
(3)因为 有两个极值点 ，
所以 ,有两个实数根 ,
所以 ,可得 ,
设 ,将 代入,得 ,
所以 ,
所以要证 ,只需证 ,即 .
设 ,则 .
令 ,则 ,可知 在 上为增函数.
又 ,所以 时, 在 上为增函数.
所以 ,即 成立,所以 成立.