湖北黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 183.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学 3 月月考
一、单选题: 本大题共 8 小题, 共 40 分.
1. 已知某质点的运动方程为 ,其中 的单位是 的单位是 ,则该质点在 末的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2. 设 为等差数列 的前 项和,若 ,则
A. -12 B. -10 C. 10 D. 12
3. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 的图象如图所示,则不等式 的解集为 ( )
B.
C. D.
6. 已知数列 满足 ,则 ( )
A. B. C. 3 D. 2
7. 已知函数 在 处取得极大值,则 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 2 或 -2
8. 已知函数 在 上单调递增，则 的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. e D. 3
二、多选题: 本大题共 3 小题, 共 18 分.
9. 下列求导运算正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知函数 ，下列命题正确的是( )
A. 函数 的图像在点 处的切线为 ;
B. 函数 有 3 个零点;
C. 函数 在 处取得极大值;
D. 函数 的图像关于点 对称.
11. 在各项均为正数的等比数列 中,已知 ,数列前 项积为 ,则( )
A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列
C. 中的项为整数的只有 2 个 D. 的最大值为
三、填空题:本大题共 3 小题, 共 15 分.
12. 已知函数 的导函数为 ,且 ,则 _____.
13. 若函数 的图象与直线 相切，则 _____.
14. 已知数列 的前 项和为 ,则 的通项公式为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 71 分.
15. 已知函数 的导数为 .
(1)当 时，求曲线 在 处切线的方程；
(2)解关于 的不等式 .
16. 已知等差数列 中， .
(1) 求 的值；
(2)若数列 满足: ，证明:数列 是等差数列.
17. 已知函数 是函数 的一个极值点.
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)当 ，求函数 的最小值.
18. 已知函数 .
(1)求函数 的极值;
(2)证明: .
19. 已知 是函数 的一个极值点.
(I) 求 ;
(II) 求函数 的单调区间;
(III) 若直线 与函数 的图象有 3 个交点,求 的取值范围.
1. C
【解析】根据瞬时变化率的定义计算.
所以该质点在 末的瞬时速度为 .
故选: C.
2. B
分析: 首先设出等差数列 的公差为 ,利用等差数列的求和公式,得到公差 所满足的等量关系式,从而求得结果 ,之后应用等差数列的通项公式求得 ,从而求得正确结果.
详解: 设该等差数列的公差为 ,
根据题中的条件可得 ,
整理解得 ,所以 ,故选 B.
点睛: 该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用, 在解题的过程中, 需要利用题中的条件,结合等差数列的求和公式,得到公差 的值,之后利用等差数列的通项公式得到 与 和 的关系,从而求得结果.
3. A
分析: 根据离心率得 关系,进而得 关系,再根据双曲线方程求渐近线方程, 得结果.
详解: ,
因为渐近线方程为 ,所以渐近线方程为 ,选 A.
点睛: 已知双曲线方程 求渐近线方程: .
4. A
利用导数与函数的关系将问题转化为 恒成立问题,从而得解.
因为 ,所以 ,
因为 在区间 上单调递减,
所以 ,即 ,则 在 上恒成立,
因为 在 上单调递减,所以 ,故 .
故选: A.
5. A
先由图像判断出 的单调性,得到 的正负,解不等式即可.
由图像可得: 在 上单增,在 上单减,在 上单增,所以在 上 ,在 上 ,在 上 .
不等式 可化为:
故原不等式的解集为 .
故选: A
6. C
根据递推公式得到数列 的周期,结合周期性求解即可.
因为 ,所以 ,
所以 是以 3 为周期的数列,则 .
7. B
求导,令 ,即可得求导 值,分别代入导函数检验,当 时,在 处取得极小值,故舍去,当 时,在 处取得极大值,即可得答案.
由题意得: ,因为在 处取得极大值,
所以 ,解得 或 ,
当 时, ,
令 ,解得 或 ,
当 时, 为增函数,
当 时, 为减函数,
所以在 处取得极小值,不符合题意,故舍去,
当 时, ,
令 ,解得 或 ,
当 时, 为增函数,
当 时, 为减函数,
所以在 处取得极大值,故 满足题意
综上 .
故选: B
8. C
利用函数的单调性建立不等式,再分离参数构造函数 ,求出 的最小值作答.
函数 ,求导得: ,因 在 上单调递增, 则对任意的 ， 成立，设 ，则 ，
由 ,得 ,由 ,得 ,从而 在 上单调递减,在 上单调递增,
即 ,因此 ,
所以 的最大值是 .
故选:
9. BD
根据求导公式及四则运算法则与复合函数求导的方法, 逐一计算, 即可得出答案.
对于 : 若 ,则 ,故 错误;
对于 B: 若 ,则 ,故 B 正确;
对于 : 若 ,则 ,故 错误;
对于 : 若 ,则 ,故 正确.
10. ABD
求出 的导函数,求出 和 ,利用点斜式求得切线方程,即可判断 ; 利用导数求出函数的单调性, 从而可求得极值点, 即可判断 C; 由函数的单调性以及零点存在定理即可判断 ; 令 ,可得 为奇函数,结合平移,即可判断 .
对于选项 : 因为 ,则 ,且 , 所以函数 的图像在点 处的切线为 ,即为 ,故 正确;
对于选项 B: 令 ,解得 或 ; 令 ,解得 ; 可知函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
且 ,
可知函数 在 内各有一个零点,
所以函数 有 3 个零点,故 B 正确;
对于选项 C:由选项 B 知函数 在 处取得极小值，故 C 错误；
对于选项 D: 令 ,则 的定义域为 ,
且 ,则函数 为奇函数,其图像关于原点对称,
将函数 的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数
所以函数 的图像关于点 对称,故 D 正确.
11. ACD
结合题意求出等比数列的通项公式, 再逐项判断即可.
设等比数列 的公比为 .
由 ,得 ,
即 ,解得 或 (舍去).
因为 ,所以 ,则 正确, 错误.
因为 ,
又 ,所以当 时, 不为整数,所以 正确.
因为 ,且 ,所以 最大, D 正确.
12.
根据导数的运算法则和求导公式计算即可得答案.
解: 由于 是常数,故根据导数的运算法则得: , 所以 ,解得: .
故答案为:
13. 2
根据导数的意义列方程组求解即可.
因为 ,所以 .
设切点为 ,由题意知, ,解得 所以 .
14.
利用 计算即可,注意求 时, 的值.
由已知当 时,
又 时, ,
故 的通项公式为 ,
故答案为: .
15. (1)
(2)当 时， 解集为 ，当 时， 解集为 .
(1)根据导数的几何意义结合直线点斜式求解即可;
(2)求导，对 分类讨论，进而求解 的解集.
(1) 当 时, ,则 ,
所以曲线 在 处切线的斜率 ,
所以曲线 在 处切线的方程为 ,即 .
(2)由题意知， ，
当 时， 对 恒成立，故 解集为 ,
当 时,令 ,解得 或 (不符合题意舍去),
若 ,则 ,即 ;
若 ,则 ,即 ,
故 解集为 ,
综上所述,当 时, 解集为 ,
当 时, 解集为 .
16.(1)
;
(2)由(1)可知
,
数列 是等差数列,首项是 1,公差是 2 .
17. (1)(一∞，0)和(1，+∞)；(2)-1.
【解析】(1) 由极值点求出参数 ,再代入,解不等式 求递增区间
(2)求 在 上的极值，与端点值比较得出最小值.
(1) 由题意
,则
,当 时, ;
当 时, ; 当 时, .
所以,函数 的单调递增区间为 和
(2)当 时， ， 的变化情况如下表
-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
+ 0 - 0 +
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
当 .
当 . 所以当 时,函数 的最小值为 -1 .
18.(1)极小值 ，无极大值；(2)见解析
(1) 根据函数 的解析式求得导函数 ,可由 的符号判断函数的单调性, 并由极值点求得极值.
( 2 )将函数 的解析式代入不等式，并构造函数 ，求得 ,再构造函数 ,并求得 ,由 可知 在 上单调递增,由零点存在定理可知 在 内有唯一解,记为 ,满足 . 进而由 的符号判断 单调性,即可求得 的函数表达式,根据二次函数在定区间上的值域即可判断 恒成立,即证明不等式成立.
(1) 函数 ,
则 ,
由 可知在 上单调递增,且 ,
故当 时, ,
当 时, ,
故函数 有极小值 ,无极大值;
(2)证明:依题意对 ，即 ；
设 ,则 ,设 .
因为 ,所以 在 上单调递增.
又因为 ,
所以 在 内有唯一解,记为 ,即 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
所以 .
设 ,则 ,
所以 ,
所以 ,即 .
19. (I) (II) (III) 的取值范围为
(1) 先求导 ,再由 是函数的一个极值点即 求解; (2) 由 (2) 确定 再由 和 求得单调区间；(3) 由 (2) 知， 在 内单调增加，在 (1,3) 内单调减少,在 上单调增加,且当 或 时, ,可得 的极大值为 , 极小值为 ,再由直线 与函数 的图象有 3 个交点则须有 求解.
试题解析: (1) 因为 ,
所以 ,因此
(2)由(1)知，
当 时, ,
当 时， ，
所以 的单调增区间是 ， ， 的单调减区间是
(3)由(2)知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，
且当 或 时,
所以 的极大值为 ,极小值为 ,
当 时,
所以在 在三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点, 当且仅当 ,
因此, 的取值范围为
一、单选题: 本大题共 8 小题, 共 40 分.
1. 已知某质点的运动方程为 ,其中 的单位是 的单位是 ,则该质点在 末的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2. 设 为等差数列 的前 项和,若 ,则
A. -12 B. -10 C. 10 D. 12
3. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 的图象如图所示,则不等式 的解集为 ( )
B.
C. D.
6. 已知数列 满足 ,则 ( )
A. B. C. 3 D. 2
7. 已知函数 在 处取得极大值,则 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 2 或 -2
8. 已知函数 在 上单调递增，则 的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. e D. 3
二、多选题: 本大题共 3 小题, 共 18 分.
9. 下列求导运算正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知函数 ，下列命题正确的是( )
A. 函数 的图像在点 处的切线为 ;
B. 函数 有 3 个零点;
C. 函数 在 处取得极大值;
D. 函数 的图像关于点 对称.
11. 在各项均为正数的等比数列 中,已知 ,数列前 项积为 ,则( )
A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列
C. 中的项为整数的只有 2 个 D. 的最大值为
三、填空题:本大题共 3 小题, 共 15 分.
12. 已知函数 的导函数为 ,且 ,则 _____.
13. 若函数 的图象与直线 相切，则 _____.
14. 已知数列 的前 项和为 ,则 的通项公式为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 71 分.
15. 已知函数 的导数为 .
(1)当 时，求曲线 在 处切线的方程；
(2)解关于 的不等式 .
16. 已知等差数列 中， .
(1) 求 的值；
(2)若数列 满足: ，证明:数列 是等差数列.
17. 已知函数 是函数 的一个极值点.
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)当 ，求函数 的最小值.
18. 已知函数 .
(1)求函数 的极值;
(2)证明: .
19. 已知 是函数 的一个极值点.
(I) 求 ;
(II) 求函数 的单调区间;
(III) 若直线 与函数 的图象有 3 个交点,求 的取值范围.
1. C
【解析】根据瞬时变化率的定义计算.
所以该质点在 末的瞬时速度为 .
故选: C.
2. B
分析: 首先设出等差数列 的公差为 ,利用等差数列的求和公式,得到公差 所满足的等量关系式,从而求得结果 ,之后应用等差数列的通项公式求得 ,从而求得正确结果.
详解: 设该等差数列的公差为 ,
根据题中的条件可得 ,
整理解得 ,所以 ,故选 B.
点睛: 该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用, 在解题的过程中, 需要利用题中的条件,结合等差数列的求和公式,得到公差 的值,之后利用等差数列的通项公式得到 与 和 的关系,从而求得结果.
3. A
分析: 根据离心率得 关系,进而得 关系,再根据双曲线方程求渐近线方程, 得结果.
详解: ,
因为渐近线方程为 ,所以渐近线方程为 ,选 A.
点睛: 已知双曲线方程 求渐近线方程: .
4. A
利用导数与函数的关系将问题转化为 恒成立问题,从而得解.
因为 ,所以 ,
因为 在区间 上单调递减,
所以 ,即 ,则 在 上恒成立,
因为 在 上单调递减,所以 ,故 .
故选: A.
5. A
先由图像判断出 的单调性,得到 的正负,解不等式即可.
由图像可得: 在 上单增,在 上单减,在 上单增,所以在 上 ,在 上 ,在 上 .
不等式 可化为:
故原不等式的解集为 .
故选: A
6. C
根据递推公式得到数列 的周期,结合周期性求解即可.
因为 ,所以 ,
所以 是以 3 为周期的数列,则 .
7. B
求导,令 ,即可得求导 值,分别代入导函数检验,当 时,在 处取得极小值,故舍去,当 时,在 处取得极大值,即可得答案.
由题意得: ,因为在 处取得极大值,
所以 ,解得 或 ,
当 时, ,
令 ,解得 或 ,
当 时, 为增函数,
当 时, 为减函数,
所以在 处取得极小值,不符合题意,故舍去,
当 时, ,
令 ,解得 或 ,
当 时, 为增函数,
当 时, 为减函数,
所以在 处取得极大值,故 满足题意
综上 .
故选: B
8. C
利用函数的单调性建立不等式,再分离参数构造函数 ,求出 的最小值作答.
函数 ,求导得: ,因 在 上单调递增, 则对任意的 ， 成立，设 ，则 ，
由 ,得 ,由 ,得 ,从而 在 上单调递减,在 上单调递增,
即 ,因此 ,
所以 的最大值是 .
故选:
9. BD
根据求导公式及四则运算法则与复合函数求导的方法, 逐一计算, 即可得出答案.
对于 : 若 ,则 ,故 错误;
对于 B: 若 ,则 ,故 B 正确;
对于 : 若 ,则 ,故 错误;
对于 : 若 ,则 ,故 正确.
10. ABD
求出 的导函数,求出 和 ,利用点斜式求得切线方程,即可判断 ; 利用导数求出函数的单调性, 从而可求得极值点, 即可判断 C; 由函数的单调性以及零点存在定理即可判断 ; 令 ,可得 为奇函数,结合平移,即可判断 .
对于选项 : 因为 ,则 ,且 , 所以函数 的图像在点 处的切线为 ,即为 ,故 正确;
对于选项 B: 令 ,解得 或 ; 令 ,解得 ; 可知函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
且 ,
可知函数 在 内各有一个零点,
所以函数 有 3 个零点,故 B 正确;
对于选项 C:由选项 B 知函数 在 处取得极小值，故 C 错误；
对于选项 D: 令 ,则 的定义域为 ,
且 ,则函数 为奇函数,其图像关于原点对称,
将函数 的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数
所以函数 的图像关于点 对称,故 D 正确.
11. ACD
结合题意求出等比数列的通项公式, 再逐项判断即可.
设等比数列 的公比为 .
由 ,得 ,
即 ,解得 或 (舍去).
因为 ,所以 ,则 正确, 错误.
因为 ,
又 ,所以当 时, 不为整数,所以 正确.
因为 ,且 ,所以 最大, D 正确.
12.
根据导数的运算法则和求导公式计算即可得答案.
解: 由于 是常数,故根据导数的运算法则得: , 所以 ,解得: .
故答案为:
13. 2
根据导数的意义列方程组求解即可.
因为 ,所以 .
设切点为 ,由题意知, ,解得 所以 .
14.
利用 计算即可,注意求 时, 的值.
由已知当 时,
又 时, ,
故 的通项公式为 ,
故答案为: .
15. (1)
(2)当 时， 解集为 ，当 时， 解集为 .
(1)根据导数的几何意义结合直线点斜式求解即可;
(2)求导，对 分类讨论，进而求解 的解集.
(1) 当 时, ,则 ,
所以曲线 在 处切线的斜率 ,
所以曲线 在 处切线的方程为 ,即 .
(2)由题意知， ，
当 时， 对 恒成立，故 解集为 ,
当 时,令 ,解得 或 (不符合题意舍去),
若 ,则 ,即 ;
若 ,则 ,即 ,
故 解集为 ,
综上所述,当 时, 解集为 ,
当 时, 解集为 .
16.(1)
;
(2)由(1)可知
,
数列 是等差数列,首项是 1,公差是 2 .
17. (1)(一∞，0)和(1，+∞)；(2)-1.
【解析】(1) 由极值点求出参数 ,再代入,解不等式 求递增区间
(2)求 在 上的极值，与端点值比较得出最小值.
(1) 由题意
,则
,当 时, ;
当 时, ; 当 时, .
所以,函数 的单调递增区间为 和
(2)当 时， ， 的变化情况如下表
-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
+ 0 - 0 +
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
当 .
当 . 所以当 时,函数 的最小值为 -1 .
18.(1)极小值 ，无极大值；(2)见解析
(1) 根据函数 的解析式求得导函数 ,可由 的符号判断函数的单调性, 并由极值点求得极值.
( 2 )将函数 的解析式代入不等式，并构造函数 ，求得 ,再构造函数 ,并求得 ,由 可知 在 上单调递增,由零点存在定理可知 在 内有唯一解,记为 ,满足 . 进而由 的符号判断 单调性,即可求得 的函数表达式,根据二次函数在定区间上的值域即可判断 恒成立,即证明不等式成立.
(1) 函数 ,
则 ,
由 可知在 上单调递增,且 ,
故当 时, ,
当 时, ,
故函数 有极小值 ,无极大值;
(2)证明:依题意对 ，即 ；
设 ,则 ,设 .
因为 ,所以 在 上单调递增.
又因为 ,
所以 在 内有唯一解,记为 ,即 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
所以 .
设 ,则 ,
所以 ,
所以 ,即 .
19. (I) (II) (III) 的取值范围为
(1) 先求导 ,再由 是函数的一个极值点即 求解; (2) 由 (2) 确定 再由 和 求得单调区间；(3) 由 (2) 知， 在 内单调增加，在 (1,3) 内单调减少,在 上单调增加,且当 或 时, ,可得 的极大值为 , 极小值为 ,再由直线 与函数 的图象有 3 个交点则须有 求解.
试题解析: (1) 因为 ,
所以 ,因此
(2)由(1)知，
当 时, ,
当 时， ，
所以 的单调增区间是 ， ， 的单调减区间是
(3)由(2)知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，
且当 或 时,
所以 的极大值为 ,极小值为 ,
当 时,
所以在 在三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点, 当且仅当 ,
因此, 的取值范围为
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