21.3 特殊的平行四边形 课时特训卷（含解析）-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

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21.3特殊的平行四边形课时特训卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）
一、单选题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．对角线相互垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．四个角是直角的四边形是矩形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2．如图，菱形的对角线相交于点，平分交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，E、F分别是、的中点，连接．若，，则的长是（ ）
A．13 B． C． D．
5．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　）
A．10 B． C． D．14
9．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（ ）个．
①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．矩形的一边长是6，两条对角线的夹角为，则矩形对角线长是_____．
12．如图，有一块边长为1米的正方形木板，李师傅按图中尺寸锯掉一角，剩下木板的周长是_______．
13．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是，，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 _____．
14．在菱形中，E、F分别是、边上的两点，连接、、，平分．若，，的周长为15，线段的长为 _______ ．
15．如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______．
16．如图，正方形的面积为49，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________．
三、解答题
17．已知：如图，是矩形的两条对角线，相交于点O，，．
(1)求矩形对角线的长．
(2)求矩形的面积．
18．如图，菱形的对角线相交于点，点分别是边的中点．
(1)请判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求线段的长．
19．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．
(1)证明：；
(2)当时，求的面积．
20．如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)取边中点，连接，若，求菱形的面积．
21．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接．
(1)求的度数．
(2)如图，为的中点，连接．
①求证：；
②若正方形边长为，求线段的长．
22．在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为．
(1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是．
①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值；
②设，当时，求的值．
(2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值．
《21.3特殊的平行四边形课时特训卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D D B C C A D
1．A
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅对角线相互垂直的四边形不一定是菱形（例如筝形），∴A说法不正确．
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，∴B说法正确．
∵四个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，∴C说法正确．
∵有一组邻边相等的矩形是正方形，符合正方形的判定定理，∴D说法正确．
2．C
【分析】如图，过点D作交延长线于点F，设，表示出，然后表示出，证明出四边形是平行四边形，得到，，表示出，进而利用求解即可．
【详解】解：如图，过点D作交延长线于点F，
设
∵平分交于点
∴
∵四边形是菱形
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
3．C
【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案．
【详解】解：在菱形中，，则，
在中，点是的中点，则，
菱形的周长为．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形中位线定理，根据勾股定理求得对角线的长，根据矩形的性质求得的长，根据三角形中位线定理即可求得的长．
【详解】解：四边形是矩形， ，
，，，
，
，
，
点，分别是，的中点，
∴是三角形的中位线，
．
故选D．
5．D
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到．
【详解】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键．
7．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长．
【详解】解：如图，连接，
由作图步骤可知，是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，即．
8．C
【分析】由点O是的中点，E为的中点可得，在中，利用勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可得的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵点O是的中点，E为的中点，
∴，，
在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，．
∵四边形是矩形，
∴，
∵点O是的中点，
∴．
∴的周长为．
9．A
【分析】根据矩形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，推出，然后利用三角形内角和定理解答即可．
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵ 矩形的对角线，交于点O，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用，根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①；过作，，分别交于，交于，根据同角的补角相等，可以求出，然后证明，可以判断②；由，和②的结论可以判断③；当四边形是正方形时，点到的距离最大，从而可以判断④．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，四边形内角和是，
∴， 故①正确；
过作，，分别交于，交于，如图所示：
∵，
∴， 即，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
延长交于，延长交于，
根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离，
∵，，
∴，，
∴，，
由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确；
在直角三角形中，，当点重合时最大，
∵，
∴，故④正确，
故选：D．
11．12或
【分析】本题分两种情况讨论，分别为已知边长是矩形的短边和已知边长是矩形的长边，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合等边三角形的判定与勾股定理即可求解．
【详解】解：① 当边长为的边是矩形的短边时，
四边形为矩形，
对角线相等且互相平分，即，
两条对角线的夹角为，
为等边三角形，
，
矩形对角线；
② 当边长为的边是矩形的长边时，
四边形为矩形，
对角线相等且互相平分，，即，
两条对角线的夹角为，
为等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：
，
代入，得：
，
解得，
；
12．
【分析】根据正方形求出，利用勾股定理求出，再计算周长即可．
【详解】解：如图，
，，
在中，，
剩下木板的周长为．
13．或或
【分析】设点C的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可．
【详解】解：设点C的坐标为：，
则，
，
，
当时，，
即，
解得：，
∴点，
∵此时，为矩形的对角线，
∴根据中点坐标公式得：，
解得：，
此时点D的坐标为；
当时，，
即，
解得：，
∴点，
∵此时，为矩形的对角线，
∴根据中点坐标公式得：，
解得：，
此时点D的坐标为；
当时，，
即，
解得：，
∴点，
∵此时，为矩形的对角线，
∴根据中点坐标公式得：，
解得：，
此时点D的坐标为；
综上，点D的坐标为或或．
14．5
【分析】连接，过A作于M，于N，于H，由角平分线的性质推出，判定，推出，由菱形的性质推出，平分，由菱形的面积公式得到，因此，判定，推出，得到的周长，判定和是等边三角形，得到，得到，由勾股定理求出、，即可得到的长．
【详解】解：连接，过A作于M，于N，于H，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，平分，
∵菱形的面积，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，
∴和是等边三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理．
根据题意作出图形，根据折叠的性质得到，，，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，进而根据勾股定理得到，求出，则，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：根据题意作图如下，
∵将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，
∴，，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得：，
∴．
故答案为：．
16．7
【分析】根据正方形的性质可证得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：连接，与交于点F．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的和最小值为的长，
∵正方形的面积为49，
∴．
又∵是等边三角形，
∴．
∴所求最小值为7．
17．(1)5
(2)
【分析】（1）根据矩形性质得出，由，得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得；
（2）由勾股定理求出，再根据矩形的面积公式即可求得答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴．
则矩形的面积是：．
18．(1)等腰三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形性质及点分别是边的中点判定均是的中位线，由三角形中位线的性质得到即可证明；
（2）由菱形性质，先证得是等边三角形，得出长，进而在中，由勾股定理求出，得出长，最后由三角形中位线性质求解即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，
证明如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
点分别是边的中点，为中点，
均是的中位线，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：在菱形中，，，，，
∴，
，
是等边三角形，则，
∴，
在中，，则，
∵点分别是边的中点，
是的中位线，
则．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，由矩形的性质可得，结合平行线的性质得出，即可得证；
（2）先证明为等边三角形，设，则，由直角三角形的性质可得，求出，从而可得，，，最后求出，结合三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，，
∴为等边三角形，
在中，设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由线段的垂直平分线可得，然后证明，得到，再由四边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）先由三角形中位线定理得到，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
∴
∵垂直平分对角线，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵为的中点，
∴
设，则，
∵矩形中，，
∴，
∴，
解得，
∴
∴菱形的面积．
21．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由翻折的性质得，，，证明得，即可得出结论；
（2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得，，再结合三角形外角的性质可推出，即可得证；
②设，表示出、，根据点是的中点求出、，得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵把沿折叠得到，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）①证明：∵把沿折叠得到，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：由（1）得，，
∴，
设，
∵正方形边长为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即线段的长．
22．(1)①，为整数且；②；
(2)，，，，为整数且．
【分析】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解；
（2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可．
【详解】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为，
又因为，
所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且；
②由①得，当时，，的位置为，
当时，，
，的位置为，
当时，，
所以；
（2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关，
所以为一个周期，
如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象，
由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
由，，解得，由，，解得，
再由对称性，得，，
所以的所有可能取值是，，，，为整数且．
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