第5章 二次函数 检测卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级下册苏科版

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第5章二次函数检测卷-2025-2026学年数学九年级下册苏科版
一、选择题
1．二次函数y=-（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（-1，3） B．（1，3） C．（-1，-3） D．（1，-3）
2．已知，则的最小值是（　　）．
A．6 B．3 C．-3 D．0
3．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）
A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2
4．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则（　　）
A．当时，的最大值为
B．当时，的最大值为
C．当时，的最大值为
D．当时，的最大值为
5．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知一元二次方程有两实根，且，则下列结论中正确的有（　　）
①；
②抛物线的顶点坐标为；
③；
④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”
④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
其中，正确的结论有多少个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．若二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 　
11．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　 　．
12．把抛物线图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，平移后图象对应的二次函数解析式为　 　．
13．已知二次函数，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为　 　.
14．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为，若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为　 　．
15．二次函数的部分图象如图所示，对称轴x=为且经过点（2，0)，下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若（），（）；是抛物线上的两点，则⑤其中正确的结论有　 　．
三、解答题
16．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求二次函数的最大值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
17．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
18．已知和且是同一直角坐标系中的两条抛物线。
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断与坐标轴的交点个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
19．如图，抛物线 与x轴交于点 A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，-2)，连接AC，BC.
（1）求抛物线的表达式和AC 所在直线的表达式.
（2）将△ABC 沿BC 所在直线折叠，得到△DBC，点 A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上，若点 D 在对称轴上，请求出点 D 的坐标；若点 D 不在对称轴上，请说明理由.
（3）若点 P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 AP 交BC 于点Q，连接 BP，△BPQ 的面积记为S1，△ABQ 的面积记为S2，求的值最大时点P 的坐标.
20．如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）求高架桥两端的的距离；
（3）如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用．
21．如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接，若，求m的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线．点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】k≤3，且k≠0
11．【答案】4
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】0或
15．【答案】①②
16．【答案】（1）解：把，代入，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，有最大值，最大值为2.
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.
①当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值为 ；时，有最大值为，
∴，
∴或（舍去）．
②当时，y随x的增大先增大，后减小，
∴时，有最大值为，x=0时，有最小值为-1，
∴3+（-1）=2m，即m=1（不符合题意，舍去）.
②当时，y随x的增大先增大，后减小，
∴时，有最大值为，x=m时，有最小值为，
∴，
∴或（舍去）．
综上所述，或．
17．【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为，
将、代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，，
，
当时，W随x的增大而增大，
，
当时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
18．【答案】（1）解：将 代入中得，
=，
所以顶点坐标为（1，-4）；
（2）解：根的判别式==，
∵，
∴，
故与坐标轴有2交点；
（3）解：∵ 抛物线上的任意一点均有，
∴，且，
整理得：，
∴的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，
如图所示，
借助图象可知，当或时，.
19．【答案】（1）解：∵ A(1，0)，C(0，-2)， 在 抛物线 上，
∴，解得：，
所以 抛物线的表达式 为：
∵设直线AB的表达式为：y=kx+b， A(1，0)，C(0，-2)，
∴，解得：
∴ AC 所在直线的表达式为：y=2x-2.
（2）点 D 不在对称轴上， 理由如下：
∵A(1，0)，B(-4，0)，C(0，-2)
∴OB=4，OC=2，OA=1，
∴，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BCO=∠CAO，
∴∠BCO+∠ACO=∠CAO+∠ACO=90°，
∴AC⊥BC，
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵ 点 A 的对应点D ，对称轴是BC，
∴DE=1，
∴点D 的横坐标为-1，
又对称轴为：x=，
∴点 D 不在抛物线的对称轴上.
（3）解：∵B(-4，0)，C(0，-2)
∴直线 BC 的解析式为
过点A 作x轴的垂线交 BC 的延长线于点 M，点M 坐标为
过点 P 作x轴的垂线交 BC 于点 N，垂足为点 H(如答图)，
设点 P 坐标为 则点 N 坐标为
∵若分别以 PQ，AQ 为底计算△BPQ 与△BAQ 的面积，则△BPQ 与△BAQ的面积的比为 即
∴当m=-2时， 的最大值为 此时点 P 坐标为(-2，-3).
20．【答案】（1）
（2）米
（3）元
21．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：．
抛物线所对应的函数解析式为.
（2）解：当时，，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
如图1，当M点在x轴上方时，
∵，
∴，
则设直线的解析式为，
∵直线经过点C，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
解得：，（舍去），
∴.
（3）或
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