第28章 锐角三角函数 章末测试卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级下册人教版

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第28章锐角三角函数章末测试卷-2025-2026学年数学九年级下册人教版
一、选择题
1．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　　）．
A．米 B． 米 C．米 D． 米
2．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
A． B．2 C． D．3
3．如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知，，则的值是(　　)
A． B． C． D．
4．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这时测到建筑物屋顶的仰角为，在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：，，）
A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米
5．如图，在边长为6的菱形中， ，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　）
A．80米 B．米 C．160米 D．米
7．如图，的角平分线交其外接圆于点，以下说法不正确的是（　　）
A．若，则；
B．若，则；
C．若，则；
D．若，则．
8．已知，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径等于（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
10．如图，一人乘雪橇沿坡度为1： 的斜坡笔直下滑72米，那么他下降的高度为　 　米.
11．如图，在四边形中，，，，，是的中点，则的长为　 　．
12．如图，在中，，是的角平分线，， ，，则　 　，过点作的平行线，交延长线于点F，则　 　．
13．如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为3米，平台的长为2米，用11米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是　 　．
14．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，，．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当，时，光斑移动的距离为　 　米．
15．如图，中，，点是上一点，，连接，沿着翻折得到，交于点，延长交于点，若，，则　 　．
16．如图，在中，在，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则　 　．
三、解答题
17．计算：.
18．如图，中，．
（1）尺规作图：作矩形，使分别在上，在上，且；
（2）若，设第（1）问中所作的矩形的面积为，的面积为，则______．
19．如图是一景区观光台侧面示意图，直达观光台顶A的斜梯长为15米，其坡度．由于游客量的增加，此斜梯存在一定的安全隐患，当地政府决定对其改建，在与B处同一水平面的C处起修建斜梯和缓冲平台，其中米，米，且在A处看E处的俯角为，在C处看D处的仰角为．
（1）求观光台顶A到地面的距离；
（2）求B、C两处的距离．
20．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C，D作，，和交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求的值．
21．如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，）
22．如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．
（1）若的边经过点D，则平移的距离______；
（2）如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数；
（3）当的边与半圆E相切时，直接写出x的值．
23．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为射线上一动点，连接．
（1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．
基础探究：
①如图1，若，则的度数为___________．
深入探究：
②如图2，当，且时，求的长．
拓展探究：
（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】36
11．【答案】
12．【答案】；
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】解：原式=
=13-．
18．【答案】（1）解：如图，矩形即为所求，
由作图可得：，，
，
，，
，
；
（2）
19．【答案】（1）观光台顶A到地面的距离为12米
（2）B、C两处的距离为米
20．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形
（2），，，
．
．
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
21．【答案】解：如图，过作交的延长线于，交的延长线于．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
．
∵
∴（米）
答：抽油杆顶端距地面高度约是9.5米．
22．【答案】（1）
（2）解：连接、、，如图2所示，
则半圆E的半径，
设，
∵截半圆E的的长为，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）或
23．【答案】(1) ①；
解：②∵ 将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（2）如图，由题意得，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵ 将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，由折叠的性质知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．
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