双曲线8+3+3专题练习-2026年高考数学 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
双曲线8+3+3专题练习-2026年高考数学
一、选择题
1．双曲线的渐近线的倾斜角为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．已知双曲线的左 右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
4．已知双曲线，则双曲线的实轴长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
7．已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．在湖南省桂阳县舂陵水上，巍然耸立着一座世界上最早的大型深孔溢流双曲线拦河拱坝，如图所示.若该拱坝下方边界线近似看作以直线为其中一条渐近线的双曲线的上支，，分别为该双曲线的下焦点和上焦点，若为该拱坝下方边界线上的一点，则的最小值为（　　）
A．17 B． C．11 D．
二、多项选择题
9．若方程表示双曲线，则该双曲线（　　）
A．满足或 B．焦距为
C．渐近线斜率可以是 D．不可能是等轴双曲线
10．已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A． B．离心率
C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为3
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，其中一条渐近线的倾斜角为，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．存在直线交于A，B两点，且线段的中点为
C．焦点到渐近线的距离为
D．若点满足且，则点的轨迹方程是
三、填空题
12．已知双曲线的渐近线和圆相切，则　 　.
13．若双曲线：与双曲线：的焦距相等，则的离心率为　 　.
14．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：令，则，
即双曲线的渐近线方程为，倾斜角为或.
故答案为：C．
【分析】令，则双曲线渐近线为，可得斜率和倾斜角.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，记为第一象限的点，如下图所示：
记双曲线的焦距为，依题意可得，，又，
，，
为等腰直角三角形，
，则点的坐标为，所以，
，.
故答案为：C
【分析】利用双曲线的几何性质、中位线性质和等腰直角三角形的特征，先求出渐近线的斜率，再代入离心率公式求解。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由椭圆方程，得，，所以，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中，
所以，又因为离心率为，所以，，，
所以双曲线方程为.
故答案为：D
【分析】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，核心是先由椭圆求出焦点（即双曲线的），再结合双曲线的离心率求，最后由求，进而得到双曲线方程。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：已知双曲线化为标准方程为，所以，
所以双曲线的实轴长为.
故答案为：B.
【分析】先将双曲线的方程化为标准方程可得，再利用实轴长的定义即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解： 设左焦点为
根据题意可知，所以直线的方程为，如下图所示：
联立，可得，
同理联立，可得，
因此.
故答案为：.
【分析】先利用双曲线的渐近线性质和点到直线的距离公式求出，再通过联立直线方程求出点的坐标，进而求出，最终得到两者的比值.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由双曲线方程可知，所以，则，．
故答案为：C.
【分析】双曲线焦距问题，需先明确双曲线标准方程形式，利用双曲线中、与（为半焦距 ）的关系求出，进而得到焦距.关键在于根据双曲线标准方程确定、的表达式，再结合计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：易知双曲线的渐近线方程为：，
曲线可化简为：，
即曲线为双勾函数，其渐近线方程为，
曲线的图象，如图所示：
要使曲线与曲线无公共点，
需满足，解得，则，
故曲线的离心率的取值范围为：.
故答案为：B.
【分析】先求双曲线的渐近线方程，化简曲线的方程易知曲线为双勾函数，作出曲线的图象，要使曲线与曲线无公共点，需满足，求得，利用离心率公式求曲线的离心率的取值范围即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，则.
又因为点在双曲线的上支，则，即.
可得，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为17.
故答案为：A.
【分析】先由渐近线求出的值，再利用双曲线定义转化，最后结合基本不等式求最小值。
9．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、方程表示双曲线，则，解得或，
则的取值范围是或，故A正确；
B、当时，双曲线方程为，
则，焦距，不是定值；
当时，双曲线方程为，
则，焦距，也不是定值，故B错误；
C、当时，双曲线方程为，其渐近线方程为；
令，化简可得，解得，满足，则渐近线斜率可以是，故C正确；
D、若该双曲线是等轴双曲线，当时，，此方程无解；
当时，，此方程无解，则该双曲线不可能是等轴双曲线，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据方程表示双曲线可得，解不等式求得m的范围即可判断A；再分和求得双曲线方程，根据双曲线的性质逐项分析即可判断BCD.
10．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、由双曲线方程得，，
∵点P在双曲线的右支上，∴，该选项正确，符合题意；
B、离心率，该选项正确，符合题意；
C、渐近线方程为，该选项错误，不合题意；
D、渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】选项A，由双曲线方程得，双曲线的定义右支特征得；选项B，由A，代入离心率公式即可；选项C，求出渐近线方程；选项D，代入点到直线的距离公式即可.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】解：因为的一条渐近线的倾斜角为，
所以，解得，故A错误；
由选项A知双曲线，
设直线的方程为，
则，
作差得，
又因为，所以，
则，所以，直线的方程为，经验证符合题意，故B正确；
因为焦点到渐近线的距离为，故C正确；
因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，
又因为，所以，
则，所以，
则，
解得，
又因为点在双曲线的右支上，
所以，
则点的轨迹方程是，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】根据双曲线的渐近线方程得出渐近线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得到方程，解方程得出m的值，则判断出选项A；设直线的方程为，利用作差法得到，再根据两点求斜率公式得出直线的斜率，从而得出直线l的方程，则判断出选项B；利用点到直线的距离公式，从而得出焦点到渐近线的距离，则判断出选项C；利用双曲线的定义得出点的轨迹是双曲线的右支，再结合求出实数的取值范围，从而得出点Q的轨迹方程，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
12．【答案】
【解析】【解答】解：因为的渐近线方程为，圆的圆心坐标为，
则点到直线的距离为，由圆和渐近线相切，可得.
故答案为：.
【分析】先求出渐近线方程为，算出利用圆心到渐近线的距离等于圆的半径，建立方程即可解得.
13．【答案】2
【解析】【解答】解：易知双曲线： 中，
双曲线： 中，
由题意可得：，可得，则双曲线，
离心率为.
故答案为：2.
【分析】分别求双曲线中的，根据焦距相等列方程得，再根据双曲线离心率公式求解即可.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理，
可知，，，
因为在轴上，所以，
则
，
所以，，，
则双曲线的方程为：，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，
再设，，与圆分别相切于点，，，
由切线长定理，得
，
又因为，两式相加得，
所以是双曲线的右顶点，轴，则的横坐标为，
同理可得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，
由双曲线渐近线为，倾斜角分别为，
要使直线与双曲线的右支交于两点，
则，有，
在，中，
则，，
因为，所以，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立．
故答案为：.
【分析】先结合双曲线的定义、圆的切线长定理得出、的值，则得出双曲线的标准方程，再结合三角形内切圆性质得出的值，设直线的倾斜角为，则，从而得出，，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出与的内切圆的半径之和的最小值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)