椭圆8+3+3专题练习-2026年高考数学 （含解析）

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椭圆8+3+3专题练习-2026年高考数学
一、选择题
1．设椭圆的焦点为，离心率为，则“”是“上存在一点，使得”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.若的内切圆的周长为，则直线的方程是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（　　）
A．椭圆的焦距为
B．
C．椭圆的离心率
D．的面积的最大值是
6．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为8，则四边形面积的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．2
二、多项选择题
9．已知椭圆的右焦点为，左 右顶点分别为 两点，直线与椭圆相交于 两点，则（　　）
A．椭圆的焦距为4
B．为定值
C．直线和的斜率的乘积为
D．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为
10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，点为在第一象限部分上的一点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于，两点，设为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的离心率为
B．若点，则的最小值为
C．的面积不小于
D．
11．已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，（，），是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（　　）
A．的周长为16
B．当时，n的最大值为14
C．当时，
D．的最小值为
三、填空题
12．已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为　 　．
13．已知椭圆，抛物线，点是与在第一象限的交点，是的左顶点，直线交于点，若点恰为线段的中点，则的值为　 　.
14．如图所示，由半椭圆和两个半圆，组成曲线，其中点、分别是的上、下焦点和、的圆心.若过点、作两条平行线、分别与、和、交于、和、，则的最小值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，，如图所示：
则
椭圆上存在一点使得即
等价于，易知=，
，
若成立，不一定成立，即充分性不成立；
若成立，则一定成立，所以必要性成立，
所以“”是“上存在一点，使得”的必要而不充分条件.
故答案为：B.
【分析】设先利用数量数量积的坐标表示可得，再利用椭圆的几何性质可得，最后利用充要条件的定义判断即可求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由椭圆的定义，
可得：，
又因为，
所以，，
在中，，
所以，
解得，
又因为，
所以离心率.
故答案为：C.
【分析】由椭圆定义和，从而可知，，再由余弦定理得出的值，再利用焦距公式得出c的值，从而可得椭圆C的离心率.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点在轴上，所以，解得，
故选：D.
【分析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可建立关于的不等式组，解之即得．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：
设内切圆的圆心为，半径为，则周长，.
由椭圆的定义知，，.
由已知，，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，则，消去化简，得，.
设，，则，
则
，
解得，所以直线的方程为：，即或.
故答案为：D.
【分析】由内切圆周长求出半径，结合椭圆定义求出的面积；再设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理将面积用直线参数表示，进而求解直线方程.通过内切圆面积与椭圆定义的结合，建立面积表达式，再联立直线与椭圆方程求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
根据椭圆的标准方程：，得，，
所以.
所以：椭圆的焦距为：，故A错；
根据椭圆的定义：，故B错；
椭圆的离心率：，故C正确；
当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错.
故答案为：C
【分析】围绕椭圆的基本性质展开，包括焦距、椭圆上点到两焦点距离之和（椭圆定义）、离心率以及焦点三角形面积的最大值.根据椭圆的标准方程确定、的值，再计算的值，然后依次分析每个选项涉及的椭圆性质.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，，，
设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
因为平分，由角平分线定理可得，故，
所以，即，
故，所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查椭圆的定义、性质及向量垂直的应用，通过椭圆定义和勾股定理求出、，再利用角平分线性质和相似三角形（或坐标法 ）计算.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：椭圆的标准方程为，
如图所示：
易知椭圆的焦点为，设，，
由题意可得：，解得，即，
则，，，
.
故答案为：C.
【分析】化椭圆方程为标准方程，求得，设，根由题意求出，再根据余弦定理得到求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由于是点关于原点的对称点，也关于原点对称，故四边形为平行四边形，
由题意知，得，又，得，又，
解得，
三角形的面积为，
当取最大1时，三角形的面积最大，的最大值为，
所以四边形面积的最大值为.
故答案为：A
【分析】由题意得四边形为平行四边形，解得，代入面积公式，当取最大1时，三角形的面积最大，的最大值为即可根据面积公式即可求解.
9．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：由椭圆方程可知：，.
A：椭圆的焦距为，故A正确；
B：如图，设椭圆的左焦点为，连接，，
由椭圆的对称性有，故B正确；
C：因为，设点的坐标分别为，
代入椭圆方程可得，即，
所以，故C正确；
D：由题意得，且，
又因为四边形为平行四边形，则，
由关于轴对称可得点的坐标为，
代入椭圆方程得到，解得，
所以平行四边形的面积为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题的核心是利用椭圆的基本性质（焦距、定义、对称性），结合斜率公式和几何图形的特征，对四个选项逐一进行判断。
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，根据题意，得，，
则，
所以，椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，因为椭圆：，设点，
则，
将代入，得，
当时，取得最小值，故B错误；
对于C，设切线的方程为，
联立得，
所以，则，
所以，则，
将代入直线方程中，得，
又因为点在直线上，所以，
则，所以，，
易知，，
因此的面积为，
又因为，
所以，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
因为，，
所以，
要证，
只要证明即可，
当时，
，，，
所以，
将代入，得，
所以，
因为，，所以，
则，
当时，轴，此时点，直线方程为，
因为，，，
所以，则，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和焦距、短轴长的定义以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，再利用椭圆的离心率公式判断出选项A；利用两点间距离公式可判断选项B；先求出切线方程，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法，则可判断选项C；要证，只要证明即可，再分为和两种情况，再结合二倍角的正切公式、直线的斜率与直线倾斜角的关系式、两角和的正切公式，从而得出，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】解：对于A，由椭圆，得，
所以，
则焦点三角形的周长，故A正确；
对于B，由选项A，可得，则，
由等差数列的公差，
得，整理可得，
由，得，解得，
所以的最大值为，故选项B错误；
对于C，由，得，
所以
，故选项C正确；
对于D，由题意，可得，，，
则，令，
求导可得，
令，
由，解得，此时，则，符合题意；
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据椭圆的标准方程结合焦点三角形的性质可判断出选项A；根据椭圆顶点与焦点坐标，再利用等差数列的通项公式数列的单调性，从而得出n的最大值，则判断出选项B；利用已知条件和裂项相消法可判断出选项C；由题意构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，则得出的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由，易知与的中点重合，若且，
令，则，即，
所以且，
令，则，作差得，
所以，
综上，代入，则，故，
所以，整理得.
故答案为：
【分析】令所以且，用点差法得，可解，故，所以，整理得.
13．【答案】
【解析】【解答】解：易知，设，如下图所示：
因为点为线段的中点，可得，
且在上，即，解得，
又在上，则，解得，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】点为线段的中点，可得，代入抛物线方程得，代入椭圆方程得p.
14．【答案】
【解析】【解答】解：半圆的圆心为，半径为，
半圆的圆心为，半径为，
对于椭圆的焦距为，则，可得，
所以，椭圆的方程为，如图所示，
设直线与椭圆的另一个交点为，
由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称，
即点为线段、的中点，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
，
若的斜率不存在，则直线过点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，
故当时，取最小值，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据几何性质求出椭圆的方程，再设为直线与椭圆的另一个交点，由对称性得出，可得，将直线的方程为，与椭圆方程联立，消元列出韦达定理，结合弦长公式可求得的最小值.
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