直线和圆的方程8+3+3专题练习-2026年高考数学 （含解析）

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直线和圆的方程8+3+3专题练习-2026年高考数学
一、选择题
1．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．圆与圆的公切线的条数为（　　）
A． B． C． D．
3．直线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
4．已知圆与圆外切，则（　　）
A． B． C．7 D．13
5．已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知点满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
7．直线：与：交于点P，圆C：上有两动点A，B，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
二、多项选择题
9．已知直线，则（　　）
A．的倾斜角为
B．在轴上的截距为
C．原点到的距离为1
D．与坐标轴围成的三角形的面积为2
10．下列说法中不正确的是（　　）
A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线
B．平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
C．平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线
D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（　　）
A．圆C的方程是
B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为
C．若x，y满足圆C的方程，则的最大值是
D．过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为
三、填空题
12．若圆与直线交于A，B两点，则　 　.
13．已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为　 　．
14．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由圆的方程知：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所求弦长为.
故答案为：.
【分析】由圆方程得圆心，半径，代入点到直线距离公式得圆心到直线的距离，代入垂径定理求得结果.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：易知圆的标准方程为，圆心，半径为，
圆的圆心为，半径为，
，则两圆外切，两圆的公切线条数为.
故答案为：B.
【分析】先化圆的一般方程为标准式，求得圆心和半径，再利用两点间距离公式求圆心距，结合半径判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系确定切线条数即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：易知直线的斜率，则直线的倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：已知，可得圆的圆心，半径为，
，可得，
所以圆心为，半径为，
因为两圆外切，所，即，
则，解得．
故答案为：C.
【分析】先利用圆的标准方程分别求两圆的圆心和半径，再利用两圆外切可得，即可求解．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
因为点为线段的中点，设点的坐标为.
根据中点坐标公式和，
则，.
由此可得，.
因为点在上，
将，代入圆方程，
可得：，即，
两边同时除以，得：.
故答案为：C.
【分析】先设出点的坐标和点的坐标，再根据中点坐标公式建立点的坐标与点的坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而变形得到动点的轨迹方程.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：因为表示点到点的距离；
表示点到直线的距离，
又因为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，
则，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，从而得出抛物线的方程，设，再利用两点间的距离公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：直线：化为，可得直线恒过定点，
直线：化为，可得直线恒过定点，
因为，所以点的轨迹是以为直径的圆(去除，方程为，
圆心，半径，
作，则为的中点，根据勾股定理易求得，
如图所示：
当在同一条直线上时最小，因为，
所以，
则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】先整理直线方程分别求直线恒过的定点坐标，由，求得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作，则为的中点，求得最小值即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设点，
由圆，点和点，
可得 ，其中，点在圆外，点在圆内，
如图所示，
可得，
当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号，
所以的最大值为，
由，当且仅当为与圆的交点 时，取得等号，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】设点，再利用两点距离公式得出，其中，再结合和，从而得出的最大值和的最小值.
9．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：对于选项A：因为直线的倾斜角为，斜率，
所以，
由，得，故选项A正确；
对于选项B：令则
所以，直线在轴上的截距为，故选项B正确；
对于选项C：因为原点到的距离为，故选项C正确；
对于选项D：因为直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系和直线的倾斜角的取值范围，则判断出选项A；利用直线的截距判断出选项B；利用点到直线的距离公式判断出选项C；利用直线与坐标轴的围成的面积结合三角形的面积公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：A、当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误；
B、易知，则平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是线段，故B错误；
C、易知，则平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误；
D、设点为，则，即，
化简可得，即，轨迹是圆，故D正确.
故答案为：ABC.
【分析】当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线即可判断A；易知即可判断B；根据双曲线的定义即可判断C；设点为，由题意可得化简整理可得轨迹方程即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于A，设，因为，，，
所以，
化简得，
则，故A错误；
对于B，因为，圆心，半径，
所以，点在圆外，
设两条切线的夹角为，所以，
又因为，所以，则，故B正确；
对于C，设，
由题意，得直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离，
所以，解得，
则的最大值是，故C正确；
对于D，由题意，如图：
可得四边形的面积为
则只需求的最小值即可，
所以的最小值为点C到直线的距离，
则．
所以四边形的面积的最小值为，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】设点的坐标，再代入化简，则可判断选项A；设切线夹角为，可得，则判断出选项B；设，由题意得出直线与圆有公共点，再列式求解判断出选项C；由已知条件得出四边形面积的表达为，再利用二次型函数求最值的方法，从而得出四边形的面积的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
12．【答案】
【解析】【解答】解：由圆，
得圆心，半径.
所以圆心到直线的距离，
由圆的弦长公式，得，
又因为，
由余弦定理，得，
在三角形中，，所以.
故答案为：.
【分析】先由圆的方程得出圆心坐标和半径长，利用弦长公式得出AB的长，再根据和余弦定理以及三角形中的取值范围，从而得出的值.
13．【答案】
【解析】【解答】解：因为，，设，
则，
设，因为，
所以，即点在直线上运动，
设，点在直线上，如图所示：
所以，等号成立当且仅当重合.
故答案为：.
【分析】先利用题意得，由得点在直线上运动，再利用点到直线的距离公式即可求解.
14．【答案】
【解析】【解答】解：因为直线的斜率，直线的斜率，
如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为．
故答案为：
【分析】求出线段两个端点与点连线的斜率，再结合直线与线段有公共点的几何意义，确定直线斜率的取值范围.理解直线绕点旋转时，与线段有公共点的斜率边界是直线和的斜率.
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