指数函数与对数函数8+3+3专题练习-2026年高考数学 （含解析）

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指数函数与对数函数8+3+3专题练习-2026年高考数学
一、选择题
1．已知实数满足，则下列关系一定不成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．4
3．已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（　　）
A．0 B． C． D．1
4．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
5．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（　　）（参考数据： ）
A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟
6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（　　）
A． B． C．5 D．6
7．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知函数则下列结论正确的有（　　）
A．是的极大值点
B．是的极小值点
C．恰有两个零点
D．当，若，则
10．设是函数的三个零点，则（　　）
A．
B．
C．若成等差数列，则成等比数列
D．若成等差数列，则
11．函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数在区间上有1个零点
D．对于任意的，关于的方程总有奇数个根
三、填空题
12．已知函数在有零点，则实数的取值范围为　 　．
13．已知函数，当时恒成立，则的最小值为　 　.
14．函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是　 　.
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在上单调递增
③“囧函数”图象关于y轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：设，则，
取对数得，在同一平面直角坐标系中作出三条直线的大致图象如图所示：
三条直线的交点记为，则直线自上而下运动时与三条直线的交点的横坐标分别为，则依次出现，这7种可能的情况，
故答案为：B．
【分析】由题意画出图象，三条直线的交点记为，则直线自上而下运动时与三条直线的交点的横坐标分别为，由图象可得7种可能情况.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
若，则，
设，则，即，，
，
函数单调递增，当取最小值时，有最小值，
，当且仅当，即时等号成立，
故.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，设，由，结合对数的运算求得，化简根据可得，由指数函数的单调性可知：当取最小值时，有最小值， 利用基本不等式求的最小值即可求得的最小值.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：由，可得，
因为在上恰有两个不同的零点，
所以函数与在上恰有两个不同的交点，
又因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
作出两函数的图象，
可得，
由图可知，，
可得，则.
故答案为：C．
【分析】由题意，将问题转化为函数与在上恰有两个不同的交点，利用函数的单调性和端点、极值，从而作出函数的图象，再利用函数的图象得出实数m的取值范围，从而得到，进而得出，再结合余弦型函数的单调性，从而得出的取值范围.
4．【答案】D
5．【答案】B
【解析】【解答】解：若，由题意可得，即；
设水温从降至，需要的时间为t分钟，，即，
，，
则水温从降至，大约还需要10分钟．
故答案为：B．
【分析】 若 ，由题意，利用公式求得，再将数据代入得方程并利用对数的运算性质求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，
所以，
解得，
则当时，，
当时，则，，
所以，
由和在R上单调递减，
知在上单调递减，
则当时，.
故答案为：B.
【分析】根据得出的值，利用奇函数定义求出当时的函数解析式，再由函数的单调性得出函数在给定区间的最大值.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由二次函数（其中）的图象可得，
所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD；
因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B；
故答案为：A
【分析】根据二次函数的图象特征确定相关参数或范围，再结合指数函数的图象性质进行分析推理，即可得出判断结果.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，函数是周期为的周期函数，
又因为，所以在上的图象如图所示，
由函数的解析式可知，当单调递增，
又因为，
当在上单调递减，上单调递增，
则，
所以的图象如图所示，
令，将所求函数零点问题转化为函数交点问题，
则在上的交点个数即为所求零点个数，
如图所示，在时，有个交点；在时，有个交点，
综上所述，两函数共有个交点，
则函数有个零点.
故答案为：.
【分析】利用函数的周期性和单调性， 令， 则将函数的零点数转化成两函数的交点个数问题，再利用两函数的图象得出两函数在区间内的交点个数，从而得出函数在区间内的零点个数.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：当时，，
令，解得或，
则函数在和上单调递增；
令，解得，
则函数在上单调递减，
当时，，
则函数在上单调递增，
综上可知：函数在和上单调递增，在上单调递减，
由函数在上单调递增，
则不是函数的极值点，故A错误；
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极小值点，故B正确；
当时，令，解得或；
当时，令，解得（舍去），
则函数恰有两个零点为与，故C正确；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，，，，
则当时，
若，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，再根据导数求函数极值点的方法，则判断出选项A和选项B；利用函数零点求解方法，则判断出选项C；利用函数的单调性和a的取值范围，从而得出函数的值域，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、当时，，显然不符合题意；
当时，分别画出与的图像，如图所示：
显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，A正确；
B、令，可得，设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为，
要使得有两个大于0的零点，则，故B错误；
C、由题意，所以，
由于成等差数列，所以，所以，
所以，所以成等比数列，故C正确；
D、由，得，所以，
由于，解得，
又，则，故，
则，又故舍去，
因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将零点问题转化为的交点问题，结合函数单调性、数列性质分析选项：
1. 分析时与的交点，判断的范围；
2. 构造函数求的取值范围；
3. 结合等差数列条件推导等比关系及差值。
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：由为函数的一个对称中心，
得，，
由为的一条对称轴，
得，，
将以上两式相减，得：，
设函数的周期为，因为函数在上单调递减，，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以或，此时或，
当时，由为的一条对称轴，且函数在上单调递减，
所以，
则，
所以，，
因为，此时无解；
当时，由，
得，
所以，，
因为，此时，
所以满足题意，故A错误；此时，
由，故B正确；
当时，，此时，
得，故C正确；
由，
可知函数关于点对称，
所以，过这个对称中心的直线与函数的图象至少有一个交点点，
再根据函数是关于这个点的中心对称图象，
所以除这个对称中心之外的交点是成对出现的，
则对于任意的，关于的方程总有奇数个交点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用正弦型函数的对称中心和对称轴，从而得出满足的关系式，再利用正弦型函数的周期性确定的取值范围，再通过分类讨论确定的取值，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数图象的对称性，则判断出选项B；利用零点存在性定理判断出选项C；利用正弦型函数图象的对称性得出任意的，关于的方程的根的个数，则判断出选项你D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由，
得
易知在上单调递增，且.
①当时，即当时，恒成立，
则在上单调递增，
因为，
所以函数在无零点；
②当时，即当时，，
令，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为且函数在有零点，
所以，
解得，
综上所述，.
故答案为：．
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再利用导数的正负判断函数单调性，从而得出函数的最值，再利用零点存在性定理判断函数零点情况，再根据已知条件得出实数a的取值范围．
13．【答案】
【解析】【解答】解：设，，
则，且在单调递增，
当时，；
当时，，
当时恒成立，函数为上的连续函数，
所以有一个零点为1，且当时，；当时，，
所以，
令，
因为，所以有一个零点，且当时，；当时，，
所以，且，
所以.
故答案为：.
【分析】通过分析的零点和函数在零点两侧函数值的正负，从而得出在时的零点和函数在零点两侧函数值的正负，再利用研究二次函数的零点分布情况，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最小值.
14．【答案】③⑤
【解析】【解答】解：①令，方程无解，
所以不可能为零，
则“囧函数”的值域为R，故①错误；
②当时，取，
得，
则，
所以“囧函数”在上单调递增，故②错误；
③因为函数定义域关于原点对称且，
所以“囧函数”图象关于y轴对称，故③正确；
④令，方程无解，
所以无零点，“囧函数”有两个零点，故④错误；
⑤令，
则①，
或②，
当时，对于①有，必有正根；
当时，对于②有，必有负根，
则方程至少有一根，
所以“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点，故⑤正确.
故答案为：③⑤.
【分析】解方程判断出序号①；举反例进行排除，则判断出序号②；利用奇偶性的概念判断出序号③；解方程判断出序号④；令，分类讨论去绝对值，再研究方程的根判断出序号⑤，从而找出正确命题的序号.
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