空间向量与立体几何8+3+3专题练习-2026年高考数学 （含解析）

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空间向量与立体几何8+3+3专题练习-2026年高考数学
一、选择题
1．已知，且，则（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知点在棱长为1的正方体的内部且满足，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
6．下列说法正确的是（　　）
A．若，则的夹角是钝角
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．直线经过点，则到的距离为
D．直线的方向向量，平面的法向量，则
7．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知空间向量，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与夹角为锐角，则
10．如图，正方体边长为2，分别是中点，平面截正方体与棱分别交于点，下列选项正确的是（　　）
A．三线交于一点
B．是多边形边上的动点，的最大值是
C．正方体被截面分成上下两部分的体积之比为
D．棱锥的外接球的表面积为
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（　　）
A．平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形
B．向量在向量上的投影向量的模为
C．存在点P，使得
D．点P到棱距离的最小值为
三、填空题
12．在棱长为2的正四面体中，M，N分别是的中点，则　 　.
13．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则　 　.
14．三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】根据两向量平行的坐标关系，从而得出x，y的值.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B
【分析】利用空间向量基本定理结合向量的线性运算即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为1，所以，
，
因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，
则点到直线的距离为：.
故答案为：C.
【分析】 以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 写出相应的坐标，根据求出的坐标，再利用点到直线距离的向量法公式求解即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：在正方体中，设正方体棱长为2，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，，
则，
即和所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
所以，又，
令，则，，
因为，
所以，即，
又，
设，则，
所以，解得，即，
当且仅当时取等号，
所以，即的最小值为.
故答案为：B
【分析】将坐标用x，y，z表示，代入求模长可得，由题意，设，利用，化简整理，即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A、若，则的夹角是钝角或平角，该选项错误，不合题意；
B、假设三个向量共面，则，
所以，又是空间的一组基底，
所以，无解，即不共面，所以也是空间的一组基底，该选项正确，符合题意；
C、因为，，，则，，，故到的距离为，该选项错误，不合题意；
D、因为直线的方向向量，平面的法向量，
则，故与不共线，即不成立，该选项错误，不合题意；
故答案为：B
【分析】对于A，由，得到是钝角或平角判断；对于B，由令，判断三个向量是否共面；对于C，求直线l的方向向量，易得，从而即为所求；对于D，由与是否共线判断.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
又因为为直三棱柱，所以平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，
设直线与所成的角为，则，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再由为直三棱柱，可得平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，设，，
，，
因为，所以，即，
又因为，所以，，
则点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
且.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求动点的轨迹为线段，据此求解即可.
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A，，
，
又因为，，
所以，
解得，故A正确；
对于B，，
∴，
∴，
解得，故B正确；
对于C，因为在上的投影向量为，
则，
代入坐标化简，可得，
则，无解，故C错误；
对于D，与夹角为锐角，
∴，
解得且与不共线，
则，
解得，
则与夹角为锐角，
解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】结合向量垂直的坐标表示，从而得出x的值，则判断出选项A；结合向量的坐标运算和已知条件，从而得出x的值，则判断出选项B；利用投影向量的几何意义，则判断出选项C；根据数量积求向量的夹角公式和三角函数值在各象限的符号，再利用已知条件得出x的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：由分别是中点，
所以作直线必与交于一点，
又因为平面且与平面不平行，
所以与平面有且仅有一个交点，
因为为平面与棱的交点，
所以延长也必与交于一点，
由都在平面，
得、、交于同一点，故A对；
由选项A分析结合平面的基本性质，
可得如下图示的截面，则为面，
易知，，
作平行于正方体侧棱，分别交于，
又因为点是多边形边上的动点，
所以在底面上的投影在上运动，
要使最大，只需与夹角小于且在上投影最长，
如图，与重合，即当与重合时，在上投影最长，
此时，且，
又因为，
所以，故B对；
由上图，正方体被截的下部分体积，
所以正方体被截的上部分体积，
则，故C对；
由题意，棱锥的外接球的球心在过正方形中心且垂直于该平面的直线上，如下图示，
所以球体半径，
可得，所以，
则球体表面积，故D错.
故答案为：ABC.
【分析】利用平面的基本性质和三线共点的性质，则判断出选项A；利用数量积的几何意义，则点在底面上的投影在上运动，再利用余弦定理和数量积的定义，从而得出的最大值，则判断出选项B；利用棱锥的体积公式、正方体的体积公式，再利用作差法，从而求出正方体被截面分成上下两部分的体积，进而得出正方体被截面分成上下两部分的体积之比，则判断出选项C；先确定球心的位置，再由几何关系列方程求出棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式得出棱锥的外接球的表面积，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C
【解析】【解答】解：对A，如图直线与、的延长线分别交于、，连接、分别交、于、，连接、，
则五边形即为所得的截面图形，故A正确；
对B，，所以向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以，所以
所以向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量的模为，故B错误；
对C，借助B选项，，，，，
设，其中，所以，
又、、，所以，，，假设存在点，使得，
所以，整理得，
所以（舍去）或，故存在点，使得，故C正确；
对D ，由上知，所以点在的射影为，
所以点到的距离为：，
所以当时，，故D错误，
故答案为：AC．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算、截面图形绘制、投影向量计算及点到直线距离公式，逐一分析各选项的正确性.
12．【答案】
【解析】【解答】解：因为四面体是棱长为2的正四面体，所以，如图所示：
，
所以，
两边平方可得
，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用空间向量基本定理可得，再利用空间定理数量积两边平方即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：因为二面角的大小为，
所以与的夹角为，
又因为，
所以
，
则.
故答案为：.
【分析】根据二面角的大小为得出与的夹角，再利用空间向量基本定理，从而得到，再根据结合数量积的运算律和数量积的定义，从而得出AB的长.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
因为点为的重心，所以，
又因为为的中点，所以，
则，
因为四点共面，所以，
因为，
所以
，当且仅当时取等号，
则的最小值为.
故答案为：．
【分析】利用重心和中点的性质，用表示，再根据，可得，由共面，可得，最后利用基本不等式求解即可.
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