抛物线8+3+3专题练习-2026年高考数学 （含解析）

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抛物线8+3+3专题练习-2026年高考数学
一、选择题
1．拋物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
2．已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知抛物线上两点满足，若线段的中点的纵坐标的最小值为4，则（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（　　）
A．4 B． C．8 D．
6．设为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
7．记抛物线的准线为，焦点为为上两点，直线过，点在上，若，设为坐标原点，则的面积为（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（　　）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若，则线段的中点到轴的距离为6
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切
10．已知抛物线的焦点为，准线为，点是上第一象限内一点，且的延长线与交于另一点的反向延长线与交于点，与轴交于点，设是抛物线上一动点，则（　　）
A．
B．
C．以为直径的圆与轴相切
D．满足的点有且仅有2个
11．过抛物线的焦点的直线交于两点，其中是的中点，点到轴的最短距离为，为坐标原点，则下列命题正确的是（　　）
A．若直线的方程为，则
B．
C．点的轨迹方程是
D．
三、填空题
12．设为抛物线 的焦点，过的直线与相交于两点，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则(其中为坐标原点) 的值为　 　
13．已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为　 　．
14．已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由拋物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，即，
故抛物线的准线方程为.
故答案为：D.
【分析】本题考查抛物线的标准方程与准线公式，核心是先确定抛物线的开口方向，再由标准形式求出参数p，进而得到准线方程。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线方程为，
由抛物线定义可得：点到准线的距离为，则点到轴的距离为.
故答案为：B.
【分析】题目给出抛物线方程为，点到焦点F的距离为4，求点P到y轴的距离。根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。
【分析】题目给出抛物线方程为，点到焦点的距离为4，求点到轴的距离。根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。
【解答】
【1】确定抛物线的焦点和准线
抛物线的标准形式为，其中，故焦点坐标为，准线方程为。
【2】利用抛物线定义求点到准线的距离
根据抛物线定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，因此点到准线的距离为4。
【3】计算点到轴的距离
点到准线的距离为（因为抛物线上的点），故，解得。因此，点到轴（即）的距离为。
【点睛】
本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终答案为点到轴的距离为3，对应选项B。
【答案】B
【分析】题目给出抛物线方程为，点到焦点的距离为4，求点到轴的距离。根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。
【解答】
【1】确定抛物线的焦点和准线
抛物线的标准形式为，其中，故焦点坐标为，准线方程为。
【2】利用抛物线定义求点到准线的距离
根据抛物线定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，因此点到准线的距离为4。
【3】计算点到轴的距离
点到准线的距离为（因为抛物线上的点），故，解得。因此，点到轴（即）的距离为。
【点睛】
本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终答案为点到轴的距离为3，对应选项B。
【答案】B
【分析】题目给出抛物线方程为，点到焦点的距离为4，求点到轴的距离。根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。
【解答】
【1】确定抛物线的焦点和准线
抛物线的标准形式为，其中，故焦点坐标为，准线方程为。
【2】利用抛物线定义求点到准线的距离
根据抛物线定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，因此点到准线的距离为4。
【3】计算点到轴的距离
点到准线的距离为（因为抛物线上的点），故，解得。因此，点到轴（即）的距离为。
【点睛】
本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终答案为点到轴的距离为3，对应选项B。
【答案】B
【分析】题目给出抛物线方程为，点到焦点的距离为4，求点到轴的距离。根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，因此可以通过准线方程和抛物线性质求解。
【解答】
【1】确定抛物线的焦点和准线
抛物线的标准形式为，其中，故焦点坐标为，准线方程为。
【2】利用抛物线定义求点到准线的距离
根据抛物线定义，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，因此点到准线的距离为4。
【3】计算点到轴的距离
点到准线的距离为（因为抛物线上的点），故，解得。因此，点到轴（即）的距离为。
【点睛】
本题关键在于利用抛物线的定义，将焦点距离转化为到准线的距离，进而通过准线方程求解点的坐标。最终答案为点到轴的距离为3，对应选项B。
【答案】B
3．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，解得或（舍去），
则．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线定义及几何特征得其焦点和准线方程，设，代入两点间距离公式，及代入抛物线方程，得到方程组，解得，由焦半径公式得到答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：显然直线的斜率存在，设直线，
联立方程，消去y可得，
则，且，
由题意可得，整理可得，
又因为，
令，则，
构建
当，即时，在内单调递增，
则，即，
可得，解得，不合题意；
当，即时，在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可得，解得，符合题意；
综上所述：.
故答案为：B.
【分析】将直线设为，联立消元利用韦达定理，代入弦长公式可得，又，运用对勾函数单调性分析最值即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线的准线方程为，依题意，，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查抛物线的定义，核心是利用 “抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离” 这一性质，结合已知条件列方程求解。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由在第一象限内，且，则，且，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝，
整理得，等式两边同除，则，
解得或 (舍去).
故答案为：A.
【分析】结合双曲线的定义、性质，用余弦定理建立关于、的方程，进而求解离心率.通过双曲线定义表示出三角形三边，用余弦定理结合已知倾斜角余弦值列方程，化简后求离心率 .
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知，抛物线的焦点为，
如图所示，易知直线的斜率存在且不等于0，设直线的方程为，
联立，消y整理得，
设，所以，
因为，且点在上，所以点为直线与准线的交点，
所以点坐标为，所以，
因为，所以，整理可得.
由，消元整理可得，
即，解得或（舍去）.
所以
故选：B.
【分析】先求得点F的坐标，根据题意设出直线的方程为，联立直线AB与抛物线方程，根据韦达定理得到与系数的关系，再结合向量的坐标表示得到关于的方程，求解方程即可求得的值，进而利用三角形公式计算即可求得的面积.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，设抛物线方程为且，
因为在抛物线上，所以，解得，
又因为且，所以P到该抛物线焦点F的距离为米.
故答案为：A.
【分析】由题意，设抛物线为且，根据在抛物线上求得的值，再利用抛物线定义求到该抛物线焦点的距离.
9．【答案】C,D
【解析】【解答】A、抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误；
B、设点，由抛物线的定义可得，
解得，则线段的中点到轴的距离为，故B错误；
C、易知的中点为， 则点到轴的距离为，
即以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；
D、，则以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】根据抛物线方程求焦点坐标即可判断A；设点，根据抛物线的焦点弦公式以及中点坐标公式求解即可判断B；根据抛物线的定义，中点坐标公式，再利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离等于半径即可判断C、D.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A：由抛物线的定义可知，，解得，故A正确；
B：将点代入，得，解得，则，
由和可知直线的方程为，则，
将与联立，得，解得，
所以，则，故B错误；
C：的中点坐标为，到轴的距离为，
且，故以为直径的圆与轴相切，故C正确；
D：由上知的中点坐标为，
则的中垂线方程为，即，
与抛物线方程联立消去得，，
即存在两个这样的点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先利用抛物线定义求p，再求直线 AF方程，联立抛物线求点B坐标，再判断各选项，利用中点、距离公式判断圆与 y 轴的位置关系，利用垂直平分线与抛物线的交点个数判断点P的存在性。
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：显然，
当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线为，联立得，
，设，则，，
设，则，
其中，
所以，
点到轴的最短距离为，显然当时，取得最小值，
故，解得，
A、若直线的方程为，则，故，，
所以，故A正确；
B、由焦半径公式得，，
其中，，
所以，
所以，故B错误；
C、由于，，消去可得，
故点的轨迹方程是，故C正确；
D、，，
故，，，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】设，先联立可得，利用根与系数关系可得，易知当时，取得最小值，求出，当时，代入可得，，即可判断A；B选利用焦半径公式得，，可得即可判断B；消去可得，即可判断C；计算出，，，即可判断D.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由抛物线，得，
设直线的方程为，，
、
联立，消得，
则，
由，得，
所以过点作的切线的斜率为，
故切线方程为，即，
令，则；令，则，
即，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】设直线的方程为，，联立直线AB与抛物线的方程，利用韦达定理求出，再根据导数的几何意义求出切线方程，再赋值求出两点的坐标，从而得出向量的坐标，再由数量积的坐标表示得出的值.
13．【答案】
【解析】【解答】解：设，
由抛物线方程，
得焦点，准线，
因为点为准线与轴的交点，作于点，
则．，
则
，当且仅当时，即当时取等号，
则的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，由两点间距离公式和抛物线定义，从而可得关于y的表达式，再由基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，，，
因为抛物线以为焦点，所以，解得，即抛物线方程为，
在中，由正弦定理，
可得，，解得，
由椭圆定义，可得，
又因为在抛物线上，所以，
由椭圆的焦半径公式，可得，解得，
则，
，整理得，解得，
又因为，所以．
故答案为：．
【分析】易知，由为抛物线的焦点，求得抛物线方程，在中，利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率的取值范围．
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