北京育才学校2026届高三3月月考数学试题（含答案）

2025-2026 学年度第二学期 北京育才学校高三数学 三月月考试卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中,既是奇函数又在 上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3. 若实数 满足 ,则下列不等式中成立的是( )
A. B.
C. D.
4. 若 ,则 ( )
A. -41 B. 41 C. -40 D. 40
5. 已知抛物线 ,经过点 的任意一条直线与 均有公共点,则点 的坐标可以为( )
A. B. C. D.
6. 设无穷等差数列 的前 项和为 ,则“对任意 ,都有 ”是“数列 为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若函数 ,恰有两个零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面 是矩形,侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成. 若 且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则 ().
A. B. C. D.
9. 在 中， ， ，点 为 所在平面内一点且 ， 则 的最小值为( )
A. 0 B. C. D.
10. 已知动直线 与圆 交于 两点,且 . 若 与圆 相交所得的弦长为 ,则 的最大值与最小值之差为( )
A. B. 1 C. D. 2
二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,则 _____.
12. 在 中， ， ， ，则 _____；若 为 边上一点，且 ，则 _____.
13. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ， 的一组值依次为_____.
14. 已知函数 是 上的奇函数,当 时 ,则 _____; 若存在 ,使得 ,则 的一个取值为_____.
15. 在数列 中,对任意的 都有 ,且 ,给出下列四个结论:
①对于任意的 ，都有 ；
②对于任意 ，数列 不可能为常数列；
③ 若 ，则数列 为递增数列；
④若 ，则当 时， . 其中所有正确结论的序号为_____.
三、解答题:本大题共 6 小题，共 85 分.
16. 如图,在四棱柱 中, 平面 ,在四边形 中, 为线段 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知函数 ,其中 . 再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使 存在,并完成下列两个问题.
(1)求 的值；
(2)当 时，若曲线 与直线 恰有一个公共点，求 的取值范围.
条件①: ;
条件②: 是 的一个零点;
条件③: .
注:如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
18. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:cm):
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 260 及以上 194及以上
良好 245~259 180~193
及格 205~244 150~179
不及格 204 及以下 149及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取 12 名同学, 将其立定跳远测试成绩整理如下 (精确到 1cm):
男生 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280
女生 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220
假设用频率估计概率, 且每个同学的测试成绩相互独立.
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;
(2)从该校全体高三男生中随机抽取 2 人，全体高三女生中随机抽取 1 人，设 为这 3 人中立定跳远单项等级为优秀的人数,估计 的数学期望 ;
(3)从该校全体高三女生中随机抽取 3 人，设“这 3 人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件 ，“这 3 人的立定跳远单项至多有 1 个是优秀”为事件 . 判断 与 是否相互独立. (结论不要求证明)
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，上、下顶点分别为 ， ，直线 的方程为 .
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2) 是椭圆上一点,且在第一象限内, 是点 关于 轴的对称点. 过 作垂直于 轴的直线交直线 于点 ,再过 作垂直于 轴的直线交直线 于点 . 求 的大小.
20. 已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线斜率为 0，求 的值；
(2)判断函数 单调性并说明理由;
(3)证明:对 ，都有 成立.
21. 已知 和 都是无穷数列. 若存在正数 ,对任意的 ,均有 ,则称数列 与 具有关系 .
(1)分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系 ，直接写出结论；
① ， ， ；
② ， ， .
( 2 )设 ， ， ，试判断数列 与 是否具有关系 . 如果是， 求出 的最小值,如果不是,说明理由;
(3)已知 是公差为 的等差数列，若存在数列 满足: 与 具有关系 ，且 中至少有 100 个正数，求 的取值范围.
1. B
解一元二次不等式求集合 ,利用集合交运算求 .
由题设 或 ,
所以 .
故选: B
2. A
根据常见函数的奇偶性和单调性进行判断即可.
对于 是奇函数,在 上单调递增,满足条件;
对于 是奇函数,因为导函数 ,所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,所以在 上不是单调函数, 不满足条件;
对于 的定义域为 ,不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数,不满足条件;
对于 是奇函数,但在 上不是单调函数,不满足条件.
故选: A.
3. D
对于 ,结合对数函数的单调性即可判断; 对于 ,取 即可判断.
由题意, ,所以 ,故 正确;
当 时, ,但 ,故 A, B, C 错误.
故选: D.
4. C
写出展开式的通项公式,求出 和 ,求出答案.
展开式的通项公式为 ,
令 得 ,故 ,
令 得 ,故 ,
所以 .
故选: C
5. D
根据点与抛物线的位置即可求解.
在 轴上,所以 在抛物线外部,
将 代入抛物线 中,则 ,所以 在抛物线外部,
将 代入抛物线 中，则 ，所以 在抛物线外部，
将 代入抛物线 中，则 ，所以 在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来,只有点 在抛物线内部,故当点 位于点 处,此时经过点 的任意一条直线与 均相交,故均有公共点,
故选: D
6. A
利用定义法直接判断.
充分性: 因为 时任意 ,都有 ”,所以 , 所以“数列 为递增数列”成立. 故充分性满足;
必要性: 因为 “数列 为递增数列”,取数列: -1,1,3,5...... 符合数列 为无穷等差数列,且 为递增数列,但是 . 故必要性不满足.
故“对任意 ，都有 ”是“数列 为递增数列”的充分而不必要条件.
故选: A
7. D
分析该分段函数在各段上的零点情况,将问题转化为直线 与 在 上有一个交点的问题,结合函数的图象即得参数 的范围.
当 时,由 可得 ,
依题意， 时， 有 1 个零点，
即方程 在 上有一个实根,
也即直线 与 在 上有一个交点.
如图作出函数的图象.
因 在 上单调递增,由图可知,此时 .
综上,实数 的取值范围是 .
故选: D.
8. B
取 的中点 ,连接 ,
过点 作 面 于点 ,过点 作 面 于点 ,作 于点 ,连接 ,
因为底面 是矩形,所以 ,
又因为 面 , 面 ,所以 面 ,
又因为 面 ,面 面 ,
所以 ,
因为面 ,面 都与底面 所成的角相等,
所以点 在直线 上,且 ,
因为侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成,
所以 ,
所以 为面 与面 所成的角,
面 面 ,所以 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 ，所以 为面 与面 所成的角，
所以 ，又 为公共边，
所以 ，所以 ，同理 ，
所以 .
故选: B.
9. C
以 所在直线为 轴,以其上的高线为 轴建立平面直角坐标系,设出点 的坐标, 写出各个点坐标, 利用数量积的坐标运算, 求解问题.
在三角形 中,由余弦定理 ,故 为钝角;
又 ,故 点在三角形 底边 的高线上,
则以 所在直线为 轴,以其上的高线为 轴建立平面直角坐标系如下所示:
又 ,则 ,
故 ；
则 ,设 ,
故 ,当且仅当 时取得等号;
也即 的最小值为 .
故选: C.
10. D
根据题意当动直线经过圆 的圆心时,可得到弦长的最大值为该圆的直径,再设线段 的中点为 ,从而得到动直线 在圆 上做切线运动,当动直线 与 轴垂直且点 的坐标为 时,即可得到弦长的最小值,进而即可求解.
由题意可知圆 的圆心 在圆 上,
则当动直线经过圆心,即点 或 与圆心 重合时,如图 1,
此时弦长 取得最大值，且最大值为 ；
设线段 的中点为 ,
在 中,由 ,且 ,则 ,
则动直线 在圆 上做切线运动,
所以当动直线 与 轴垂直,且点 的坐标为 时,如图 2,
此时弦长 取得最小值,且最小值为 ,
所以 的最大值与最小值之差为 2 .
故选: D.
图1
图2
11.
根据复平面内点的坐标得到复数 ,再根据复数的除法法则计算 即可.
因为复数 对应的点的坐标是 ,
所以复数 ,
所以 .
故答案为:
12.
空 1 使用余弦定理求解即可, 空 2 使用正弦定理求解即可.
在 中，由余弦定理得 ，又 则
在 中,由正弦定理得: ,所以 .
故答案为: .
13. (答案不唯一,满足 即可)
根据渐近线可得 ,即可得结果.
因为双曲线 的渐近线方程为 ,
则 ,即 ,
例如 .
故答案为:1；-4(答案不唯一，满足 即可).
14. 4(答案不唯一)
利用函数的奇偶性可求得 的值; 先求得 ,函数 的单调性,进而可得 的单调性,进而可求得 的取值范围.
因为函数 是 上的奇函数,且 时, ,
所以 .
当 时,由 ,可得 ,
令 ,即 ,解得 ,
所以函数 在 单调递减,在 单调递增,
所以 时,
由为函数 是 上的奇函数,可得 时, ,又 ,
由 ,可得 或 ,
所以 的取值范围为 .
故答案为:-3；4(答案不唯一).
15. ③④
对数列递推关系变形得到 ,得到 与 同号,当 时, ,①错误;
当 时,推导出此时 为常数列,② 错误;
作差法结合 时, ,求出数列 为递增数列,③ 正确;
由 与 同号,得到当 ,有 ,结合作差法得到 为递减数列,④正确.
因为 ,所以 ,
因为任意的 都有 ,所以 ,
所以 与 同号,当 ,则 时,都有 ,①错误;
当 时， ，所以 ，同理得: ，此时 为常数列，② 错误;
,
由 选项知: 若 ,则 ,
所以 ,
则数列 为递增数列,③正确；
由 与 同号,当 ,则 时,都有 ,
且此时 ,
所以数列 为递减数列,
综上: 若 ,则当 ,时, ,④正确.
故答案为:③④
16. (1)连接 .
因为 为 的中点，
所以 .
又 ，所以四边形 为平行四边形.
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 .
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)因为 平面 ，
所以 .
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,
且 平面 ,
所以 平面 .
所以 .
所以 两两垂直.
如图建立空间直角坐标系 ,
则 .
所以 .
因为 平面 ,
所以 是平面 的法向量.
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 . 于是 .
设平面 与平面 夹角为 ，
则 .
17.(1)选条件①: 无意义，所以选条件①时 不存在，故不能选①，
选条件②.
由题设 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
所以 .
选条件③，由题设 . 整理得
以下同选条件②.
(2)由(1)
因为 ,所以 .
于是,当且仅当 ,即 时, 取得最大值 1 ;
当且仅当 ,即 时, 取得最小值 .
又 ,即 时, .
且当 时, 单调递增,所以曲线 与直线 恰有一个公共点, 则 或
的取值范围是 .
18.
(2)
(3) 与 相互独立
(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为 4 ，获得优秀的女生人数为 6 , 计算频率得到优秀率的估计值;
(2)由题设， 的所有可能取值为0,1,2,3. 算出对应概率的估计值，得到 的数学期望的估计值;
(3)利用两个事件相互独立的定义判断即可.
(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为 4 ，获得优秀的女生人数为 6 ,
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为 ; 估计高三女生立定跳远单项的优秀率为 .
(2)由题设， 的所有可能取值为0,1,2,3.
估计为 ;
估计为 ;
估计为 ;
估计为
估计 的数学期望 .
(3) 估计为 ;
估计为 ;
估计为 ,
,所以 与 相互独立.
19.
(2)
(1) 首先由直线 的方程求出 的坐标,即可求出 的值,从而求出 , 即可得到椭圆方程与离心率；
(2)设 ，则 ，求出 点坐标，再求出直线 的方程， 即可求出 点坐标,从而求出 ,即可求出 的倾斜角,即可得解.
( 1 )因为直线 的方程为 ，
所以 ， ，即 ， ，所以 ，
所以椭圆方程为 ,离心率
(2)依题意，设 ， ，则 ，
且点 是椭圆上一点,可得 ,
直线 的方程为 ,由 ,可得 ,
所以 ,
直线 的方程为 ,令 ,
得 ,
即 ,
所以 ,
即直线 的倾斜角是 ,所以 .
20. (1) 函数 ,求导得 ,
依题意, ,即 ,解得 ,
所以 .
(2)函数 在 上单调递增，
依题意,函数 定义域为 ,求导得 ,
而 ,即 ,
所以函数 在区间 上单调递增.
(3)当 时，显然有 ，不等式成立；
当 时,不妨设 ,
由(2)知，函数 在区间 上单调递增，
即有 ,
则
由 ,得 ,即 ,因此 ,
所以对任意的 成立.
21. (1)①因为 ，若数列 与 是否具有关系 ， 则对任意的 ，均有 ，
即 ,即 ，但 时， ，
所以数列 与 不具有关系 .
②数列 与 具有关系 ，理由如下:
因为 ,又因为
所以有 ,所以 ,
所以数列 与 是具有关系 .
(2)证明:因为 ，所以 ，
所以 ,
所以数列 与 具有关系 .
设 的最小值为 ,
因为 ,所以 .
若 ,则当 时, ,
则 ,这与“对任意的 ,均有 ”矛盾, 所以 ,即 的最小值为 1 .
(3)因为 是公差为 的等差数列，所以 . 若存在数列 满足: 与 具有关系 ,
则 ,都有 .
即 ,即 .
则 ,即 ,
当 时, ,都有
与 中至少有 100 个正数矛盾.
当 时,可取 ,
则 ,且 均为正数,符合题意.
当 时,可取 ,
则 ,且 均为正数,符合题意.
当 时,可取 ,
则 ,
即 中有 100 个正数.
综上所述 的取值范围是 .