四川成都高新实验中学2026届高三下学期3月考试数学试题（含答案）

2026 届高三下学期 3 月考试 数学试卷
注意事项:
1、本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.
2、本堂考试 120 分钟, 满分 150 分.
3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B 铅笔填涂.
4、考试结束后,将答题卡交回.
第 1 卷 (选择题部分, 共 58 分)
一、单项选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 为奇函数,则 的值为( ).
A. 0 B. -2 C. 2 D. 1
4. 已知 为非零向量，则“存在实数 ，使 ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若函数 既存在极大值点,又存在极小值点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 在该椭圆上，若满足
为直角三角形的点 共有 8 个，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 一个半径为 5 米的水轮示意图,水轮的圆心 距离水面 2 米,已知水轮自点 开始 1 分钟逆时针旋转 9 圈,水轮上的点 到水面的距离 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 满足函数关系式 ,则有( )
A. B.
C. D.
8. ,在 上单调递增,且 为它的一条对称轴, 是它的一个对称中心,当 时, 的最小值为 ( )
A. B. C. D. 0
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知函数 ，则( )
A.
B. 的图象关于点 中心对称
C. 在区间 单调递减
D. 在 有 3 个零点
10. 在边长为 2 的正方形 中， 是 的中点， 是 的中点，将 ， 分别沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合于点 ,则 ( )
A.
B. 三棱锥 的体积为
C. 三棱锥 的外接球的表面积为
D. 点 到平面 的距离为
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线, 如星形线、心形线、卵形线等、已知卵形线 C: ,则 ( )
A. 曲线 关于 轴对称
B. 曲线 上横、纵坐标均是整数的点恰有 4 个
C. 曲线 上存在点 ,使得 到点 的距离小于 1
D. 曲线 围成区域的面积大于 4
第 II 卷 (非选择题部分, 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 从0,1,2,3中任取 3 个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是_____. (用数字作答)
13. 已知 ,且 ,则 的最大值为_____;
14. 已知曲线 与曲线 有两条公切线,且它们的斜率之积为 1 , 则实数 的取值范围为_____,
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知曲线 在 处的切线方程为 .
(1)求实数 的值；
(2)求函数 在区间 上的值域.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 且
(1)求 ；
( 2 )若 的外接圆半径为 ，周长为 ，且 ，求 .
(3)若 ，求 面积的最大值.
17. 如图,四棱锥 中,底面 为平行四边形, 底面 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
18. 已知数列 的前 项和为 .
(1)证明:数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 ；
(3)若 对任意 恒成立. 求实数 的取值范围.
19. 已知数列 中至少含有 5 项,从该数列中任意取出三项,按从小到大的顺序排列,构成 的子列,若该子列中的一项等于该子列中其余项的和,则称该子列为数列 的完美子列.
(1)求数列2,3,4,5,6,7的所有完美子列；
(2)将数列 的所有完美子列的个数记为 , 求数列 的通项公式;
(3)证明:若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
1. B
因为 ,
所以复数 在复平面内对应的点为 ,位于第二象限.
2. C
先解一元二次不等式可得集合 ,再由交集的定义可得.
因为 ,解得 ,
所以 ,
所以 .
3. C
根据奇函数的性质 求解即可.
因为函数 为奇函数,
当 时, ,则 ,所以 ,
又 ,则 ,即 .
故选: C
4. B
根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可.
若存在实数 ,使 ,则 共线;
若 ,则 同向;
所以“存在实数 ,使 ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
5. A
由题意可得 有 2 个正根,所以 有 2 个正根, 通过换元可得 有两个正根,即 有两个正根,令 ,求导可得 的单调性,结合图象即可求得实数 的取值范围.
由题意得 ,因为 存在极大值点,又存在极小值点, 所以 有 2 个正根,即 有 2 个正根.
当 时, 在 上单调递增,
此时 至多 1 个零点,不符合题意,故 ;
令 ,由 ,得 ,即 ,
即 有两个正根,
令 ,则 与 有两个不同的交点,
求导得 ,
所以当 时, ,函数 在 上单调递增,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
所以 ,
画出函数 的图像如图所示:
由 在 上有两个正根,则 ,
所以 ,所以实数 的取值范围是 .
故选: A
6. A
数形结合,问题转化成 ,进而利用 的关系求离心率的取值范围.
如图:
因为使 为直角三角形的点 有 8 个,所以在 中,必有 ,即 ,
所以 ,即 ,可得 .
又椭圆的离心率 ,所以 .
故选: A
7. A
根据题意可得周期,由 可得 ,由最值可得 ,然后可得答案.
因为水轮自点 开始 1 分钟逆时针旋转 9 圈,
函数周期 ,所以
由图知,点 到水面距离的最大值为 7,所以 ,得 .
故选: A
8. C
利用正弦函数的对称性得出 ,根据单调性得出 ,从而确定 , 结合对称轴与对称中心再求出 ,得出函数解析式,利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
因为函数 在 上单调递增,且 为它的一条对称轴,
所以 时函数取最大值,又因为 是它的一个对称中心,
所以
设 的最小正周期为 ,由正弦函数的对称性可知 ,
即 ,所以 ,
又 在 上单调递增,则 ,
所以 ,解得 ,又 ,所以 ,
则 ,所以 时, ,
所以 ,
当 时, ,
由正弦函数的单调性可知 .
故选: C.
9. ACD
根据两角差的余弦公式,二倍角公式,降幂公式及辅助角公式化简 ,即可判断 A; 根据正弦函数的性质即可判断 BCD.
,
对于 ,所以 ,故 正确;
对于 ,所以 的图象关于点 中心对称,故 错误;
对于 ,当 时, ,
所以 在区间 单调递减,故 正确;
对于 ,令 ,
当 时, ,
所以当 ,即 时, ,
所以 在 有 3 个零点,故 正确;
故选: ACD.
10. ACD
先根据折叠前后的几何关系证出 平面 ,利用等体积法结合三棱锥体积公式计算体积; 再将三棱锥补成长方体, 根据外接球的性质计算表面积; 利用等体积法, 先计算 的面积，再用体积公式计算点到平面的距离.
如图,在正方形 中, ,
折叠后, ,
因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,故选项 正确,
由选项 ,知 平面 ,所以 为三棱锥 的高,
已知正方形边长为 是 的中点， 是 的中点，则 ，
则 ,
所以 ,故选项 B 错误.
由于 ,所以三棱锥
的外接球就是以 为棱的长方体的外接球,所以
,则 ,
因此外接球的表面积 ,故选项 正确.
设点 到平面 的距离为 ,由选项 可知 ,
在 中,根据余弦定理
，则
所以 ,
因此 ,即 ,解得 ,故选项 正确.
故答案选:ACD
11. ABD
根据曲线方程分析曲线的性质,有曲线 为封闭曲线,过点 ,关于 轴对称,画出曲线大致图形,结合圆 、四边形 在曲线 内部判断各项的正误.
由 ,则 ,对于曲线上任意点 ,其关于 轴对称点为 ,
代入 成立,曲线关于直线 对称, A 对;
所以 ,所以 ,则 ,故 ,
时 时 时 ,故曲线过点 ,曲线 上恰好有 4 个整点, B 对;
对于曲线上任意一点 ,则 ,
当 时, ,则 ,
,此时曲线上点在圆 外,
当 时, ,则 ,
,此时曲线上点在圆 外,
所以曲线上的所有点均在圆 外,即曲线 上不存在点 ,使得 到点 的距离小于 1 ，C 错；
如图, ,四边形 的面积 ,
当 时,直线 ,曲线 ,即
设 ,
,判别式 恒成立,
即函数 单调递增,且: ,
当 时, ,
,即 ,
,即 ,
,即 .
设点 在直线 上,点 在曲线 上,则 ,即曲线上的点在直线上方, 由对称可知,当 时,上面的结论依然成立.
当 时,直线 ,由 得 ,曲线 方程等价于 ,又等价于 ,
设函数 ,则 ,
即函数 在 上单调递增,且 ,
所以当 时, ,即 ,
,即 ,
则 ,即 .
设点 在直线 上,点 在曲线 上,则 ,即曲线上的点在直线下方,
由对称可知,当 时,上面的结论依然成立.
故四边形 在曲线 内部,故曲线 所围成区域的面积大于 , D 对. 故选: ABD.
12. 18
先确定百位数字, 再从剩余 3 个数字中选 2 个分别作为十位和个位, 最后用乘法计算总和即可.
根据题意, 该三位数的百位数字不能为 0 , 所以只能从 1, 2, 3 中任取 1 个数字, 有 种选择;
而十位数字和个位数字可从剩余的 3 个数字中任选 2 个即可,有 种选择,
所以从0,1,2,3中任取 3 个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为 种选择.
故答案为: 18 .
13. 9
先观察条件等式和所求式子, 由 “和定积最大” 将条件等式变形成两因式之和为定值的形式.
由题意, ,所以
,当且仅当 时取 “=”. 即
的最大值为 9 .
故答案为: 9
14.
根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式, 令
,可知 有两个不相等的实数根,且互为倒数,即可得 ,由 可求出实数 的取值范围.
设 ,
由题意得存在实数 使得 在 处的切线和 在 处的切线重合,
所以 ,即 ,
由 ,即 ,
又由 ,即 ,
令 ,则题目转化为 有两个不相等的实数根,且互为倒数,
设两根分别为 ,
则由 得 ,
化简得 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
故 的取值范围为 .
故答案为:
15.
(2)
(1) 结合切线的点与斜率,联立函数值与导数值的方程求解 ;
(2)求导分析函数单调性, 计算区间内关键点的函数值, 确定值域.
(1) 由切线方程 ,得 .
,故 .
求导得 ,切线斜率为 3,故 .
联立 ,解得 .
(2)由(1)得 ，求导得 .
在 上, ,
故: 时, 单调递减; 时, 单调递增.
故 在 上的值域为 .
16.
(2)
(3)
(1) 由切化弦及和角正弦公式得 ,再利用正弦定理化简求解.
(2)利用正弦定理边化角求得 ,再利用三角恒等变换求解.
(3)利用余弦定理，结合基本不等式求出 的最大值，进而求出面积最大值.
(1)在 中， ， 依题意, ,由正弦定理得 . 而 ,则 ,又 ,所以 .
(2) 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 ， 由 ,得 ,而 , 于是 , 则 ,由 ,得 ,因此 ,所以 .
(3)由余弦定理得 ，当且仅当 时取等号，
的面积 ,
所以 面积的最大值为 .
17. (1) 因为 ，所以 ， ，
又 ，所以在 中，由余弦定理，得 ，即 ,
所以 ,则 ,
又 底面 平面 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 .
(2)因为 底面 平面 ，所以 ，
结合(1)可知 两两垂直.
故以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示空间直角坐标系,
所以 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,取 ,则平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,取 ,则平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
(3)由(2)知平面 的一个法向量 ， 所以点 到平面 的距离 .
18.(1) 由 ,则 ,又 ,
所以数列 是首项、公差均为 的等差数列,则 ,
所以 .
(2)由 ，则
,
所以 ,
所以 .
(3)由(1)(2)，则 ，整理得 恒成立，
令 ,则 ,
当 时 ,当 时 ,当 时 ,
所以 ,即 的最小值为 ,
综上, .
19. (1)该数列的所有完美子列如下: 2，3，5，2，4，6，2，5，7；3，4，7.
(2)数列 的完美子列
按首项分类, 有如下情况:
若首项为 1,则完美子列为: ,共 个完美子列; 若首项为 2,则完美子列为: ,共 个完美子列;
......
若首项为 ,则完美子列为: ; ,共 4 个完美子列;
若首项为 ,则完美子列为: ,共 2 个完美子列.
因此, .
(3)设等比数列 的公比为 ，易知 ，
① 当 时，若 ，则 为非零常数列，即 ，取出 3 项后，
由于 ,即其中任意一项都不等于另外两项之和,因此此时不存在完美子列;
若 ,则 为 ,易知其亦不存在完美子列;
② 当 时,假设 存在完美子列.
(i) 若 ,当 时,设 的一个完美子列为 ,
则 ,且 ,
但事实上 ,所以上述等式不可能成立,此时 不存在完美子列;
当 时,此时 中项的绝对值随 的增大逐渐增大,同理 不存在完美子列.
(ii) 若 ,由①知不需要讨论 的子列中的项全为正数或全为负数的子列,
当 的一个完美子列中的项为两正一负时,设该完美子列为 ,
其中 ,(点拨: 当 时,无论 的首项是正是负,
数列 中的项均为一正一负交替出现,所以不需要再讨论首项与 0 的大小关系)
此时应有 ,则 ,(提示:只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正数).
若 ,则 ,
若 ,则 ,
所以等式 不可能成立;
同理两负一正的情况也不成立。所以 不存在完美子列.
综上, 若一个等比数列的公比为整数, 则该数列不存在完美子列.