天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高三下学期第二次月反馈数学试卷（含答案）

天津市第一中学滨海学校 2025-2026 学年(下)高三级部 第二次月反馈数学试卷
一、单选题:本题共 9 小题, 共 45 分.在每小题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 的部分图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系, 某研究小组随机调查了 50 名学生,得到成对样本数据 ,其中 表示每日自主阅读时间 (单位: 小时), 表示语文成绩 (单位: 分). 经计算得回归直线方程为 . 下列说法正确的是( )
A. 该样本数据的相关系数为 5.2
B. 当阅读时间每增加 1 小时, 语文成绩平均增加 5.2 分
C. 该样本数据中,至少有一个点 在回归直线上
D. 若某学生每日阅读时间为 2 小时, 则他的语文成绩一定为 82.8 分
5. 已知 ,且 ,则()
A. B. C. D.
6. 已知数列 是公比为 的等比数列， ， ， ， ，则下列命题正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
7. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象, 则下列正确的是( )
A. 直线 是 图象的一条对称轴 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递增
8. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成, 且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点, 若下底面正方形边长为 2, 该几何体的高为 ，则该几何体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
9. 双曲线 的对称中心为 ,焦点为 ,过 的直线 与 的一条渐近线平行. 若 与以 为圆心, 为半径的圆相交于 两点,且 ,则 的离心率为 ( )
A. B. C. D. 4
二、填空题:本题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分.
10. 若复数 满足 ( 为虚数单位),则
11. 二项式 的展开式中常数项为_____.
12. 已知抛物线 的焦点为 ,准线 与 轴的交点为 ,点 在抛物线 上,过点 作 于 ,若 的面积为 2,则 _____.
13. 第十五届全国运动会共有约 5 万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆, 他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把 4 名新加入的志愿者全部随机分配到 三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到 1 名志愿者，共有_____种分配方法.设这 4 名志愿者中被分配到 场馆的人数为 ，则 的数学期望为_____.
14. 已知 是平面向量, 是单位向量. 若非零向量 与 的夹角为 ,向量 满足 . (1)当 与 共线时， _____；(2) 的最小值是_____.
15. 若关于 的方程 恰有三个不同的实数解 ，其中 ,且 的值为_____.
三、解答题:本题共 5 小题, 共 75 分.(解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，
(1)求 ；
(2) 求 :
(3)求 的值.
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 为直角梯形, 与 相交于点 ,点 满足
(1)求证: ；
(2)若点 到平面 的距离为 ；
(i) 求 ;
(ii) 求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知椭圆 过点 ,两个焦点坐标分别为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)已知 为椭圆 上异于 的两点，且直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形.
(i) 求证: 直线 的斜率为定值;
(ii) 求 面积的最大值.
19. 已知数列 满足 ,且 .
(1)求证:数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若数列 的前 项和为 ，且 ，求满足等式 成立的所有正整数 与 的值.
20. 已知函数 .
(1)求 在 内的单调性；
( 2 )若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(3)设方程 在区间 内的根从小到大依次为 ,试比较 与 的大小,并说明理由.
1. A
由题意得 ,
所以 或 ,
所以 .
2. A
通过指数幂比大小和充分条件、必要条件求解.
若 ,则有 ,
当 时,则 ; 当 时,则 ,故 ,
因此由 可推出 ,
若 ,不一定推出 ,如 ,
所以 是 的充分不必要条件.
3. A
先通过奇偶性排除 CD 选项, 再通过特定区间的函数符号排除 B 选项, 即可得解.
因为 ,所以 ,
所以 的图象关于原点中心对称,所以 CD 错误.
当 时, ,所以 错误.
故选: A.
4. B
根据相关系数范围可以判断 A; 由回归系数定义可以判断 B 对; 根据回归方程性质可以判断 .
对于 ,相关系数取值范围是 ,故错误;
对于 ,回归系数的含义是: 当自变量 每增加 1 个单位时,因变量 平均增加的量。
这里 表示每日自主阅读时间(小时)， 表示语文成绩(分)，所以当阅读时间每增加 1 小时, 语文成绩平均增加 5.2 分, 故正确；
对于 ,回归直线是对样本的拟合直线,不一定经过样本点,故错误;
对于 ,当 时, 为预测值,不是确定值,故错误.
5. B
利用对数函数 在 上单调递减得到 . 利用对数函数 在 上单调递减得解.
由 ,得 .
因为对数函数 在 上单调递减,
又 ,所以 ,所以 .
因为对数函数 在 上单调递减, ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
6. C
根据等比数列的项的性质判断 ; 根据 时,判断 ; 根据基本不等式计算求解判断 ,根据常数列判断 ;
对于 选项,数列 是公比为 的等比数列,且 ,则 ,所以 或 ,故错误;
对于 选项，若 ，当 时，有 ，则 ，故错误；
对于 选项,数列 是公比为 的等比数列,则 ,
,
又因 ,所以 ,所以 ,故正确;
对于 选项，当等比数列 为公比为 1 的非零常数列时， 始终满足，
但 不一定成立,故错误;
7. C
利用辅助角公式化简函数 ,再根据函数图象的变换求出 ,结合三角函数的性质逐一判断即可.
,
函数 的图象向右平移 个单位长度可得,
对于 ,当 时, ,
因为 不是函数 的对称轴,故 A 错误;
对于 的最小正周期 ,故 错误;
对于 ,当 时, ,
因为 是函数 的对称中心,
所以 的图象关于点 对称,故 正确;
对于 ,当 时, ,
因为函数 在 上不是单调递增函数,故 错误.
8. B
先建立空间直角坐标系,求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标,再设外接球球心,利用球心到上下底面顶点距离均为半径 列方程,解出半径后计算外接球表面积.
取下底面正方形 的中心为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
因为下底面边长为 2,几何体的高为 ,故 ,
设几何体外接球的球心为 ,外接球半径为 .
在 中, ,
在 中,
则 ,解得 .
所以 . 故该几何体的外接球的表面积 故选: B.
9. D
设双曲线 的标准方程为 ,可求出双曲线的渐近线,从而可以求出过双曲线焦点的直线, 由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离, 再根据弦长公式可求出 ,和 相等,代换化简即可求出答案.
设双曲线 的标准方程为 ,
由题意可知双曲线的焦距为 ,
因为 ,所以可得 ,
不妨设 为双曲线的左焦点,则可知 ,
过点 的直线 与双曲线的一条渐近线 ,所以可知直线 的斜率为 ,
则可得直线 的方程为 ,即 ,
由点到直线距离公式可以求出原点到直线 的距离 ,
由垂径定理可知 ,
因 ,
代入可求得 ,化简可知 ,
又因 ,则 ,代入可知 ,
则 .
故选: D
10.
先根据复数的除法及乘法计算化简, 再应用模长公式计算求解.
由复数 满足 ,
可得 ,
所以 .
故答案为: .
11. -5
先根据二项式展开式的通项公式求出 展开式的通项,再令通项中 次数为 0,求出对应的 值,进而得到常数项.
二项式 的展开式的通项为
令 ,得 ,所以常数项为 .
因此二项式 的展开式中常数项为 -5 .
故答案为: -5
12. 2
利用抛物线的定义, 结合已知建立方程, 再利用给定的三角形面积列式求解.
抛物线 ,焦点为 ,准线为 , 准线与 轴交点 ;
设 ,由抛物线定义可得 ,且满足 ,
由于 ,则 ,
即 ,
故 ,可得 ,即得 ,
结合 ,可得 ,
的面积为 2,故 ,即 ,解得 .
13.
根据题意有两名志愿者去同一场馆, 进而根据排列组合分组分配问题得共有 (种) 分配方法; 再结合 的可能取值为 1,2,求解对应概率计算期望即可.
4 名志愿者被随机分配到 三个不同的场馆,每个场馆至少 1 名志愿者, 故有两名志愿者去同一场馆,有 种情况,再将这个 2 人小组和另外 2 名志愿者(共三个整体)分配到三个不同的场馆中，
故共有 (种)分配方法.
的可能取值为 1,2,且 ,
所以 .
14. 1 或
(1) 设 ,由 ,代入计算可得 或 ,计算即可求解;
(2)由 得 ，故 ，或 或 ，设 ,以 为原点, 的方向为 轴正方向,建立坐标系,得 点在以 为圆心，1 为半径的圆上， 的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心 到直线的距离减去半径,从而求得最小值.
(1)当 与 共线时,设 ,
因为向量 满足 ,
所以 ,即 ,解得 或 ,
所以 或 ,即 或 3 .
(2)设 ， ，以 为原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示坐标系，
则 ,令 ,则 ,
由 ,或 或 ,
得点 在以 为圆心,1 为半径的圆上,
又非零向量 与 的夹角为 ,则设 的起点为原点,则终点在不含端点的两条射线 上,
则 的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离,则其最小值为圆心 到直线的距离减去半径,不妨以 为例,
则 的最小值为
故答案为: 1 或 3； .
15. 1
由 ,可得 . 令 ,则 或 . 由 ,得 . 此方程有两个不等实根,所以其中一根必为 -2 或 2 .根据韦达定理可得另一根,代回 ,可求出 ,从而得到 的值.
由 ,可得 ,
所以 ,即 ,
即 .
所以 恰有三个不同的实数解 .
令 ,
当 时, ; 当 时, .
所以 或 .
由 ,得 ,即 .
设方程 的两个实根为 ,且有一个根为 -2 或 2 .
若 ,则 ,解得 .
因为 ,所以 .
由 ,得 ,解得 ;
由 ,得 ,即 ,解得 .
所以 .
若 ,则 ,方程无解.
综上所述， .
16.
(2)
(3)
(1)由 及正弦定理得 ，又 ， 所以 ,从而 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 .
(2)由 及余弦定理得 ， 解得 ,从而 .
(3)由(1)得 ，
所以 ，
所以 .
17. (1)由已知,以 为坐标原点, 方向分别为 轴, 轴, 轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 .
则 ,
由 得,即 ,
因为 ,
所以 ,即 .
(2)(i)由(1)得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,又 ,
所以点 到平面 的距离为 ,
解得, .
(ii) 易知平面 的一个法向量为 .
由(1)和(i)得， ，
设平面 的一个法向量为 ,又 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1) 设椭圆 的方程为 ,
显然 ,
将点 代入椭圆方程 ,即 ,解得 或 (舍去) 所以椭圆 的方程为 .
(2)(i)法一:
设直线 的方程为 (由对称性知 存在)，如下图:
联立 得 ,化简得 ,
由 知 ,则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
化简得 ,因为直线 不过点 ,所以 ,
故 .
法二:
设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,化简 ,
得 ,
由 知 ,即 ,则 ,
又 ,所以 ,
因为直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形,所以 , 同理可得 ,
由此可知 ,
则直线 的斜率 ,
故直线 的斜率为定值 .
法三:
因为直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形,所以 , 因为 为椭圆上异于 的两点,
所以可设直线 为 不同时为 0,
联立 与 ,
得 ,
等式两边同时除以 ,记 ,
化简得 ,
由于 ,所以 ,说明直线 的斜率为定值 .
(ii) 设直线 为 ,
联立 与 ,得 ,
因为 ,所以 .
由韦达定理知
法一:
过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,则点 的坐标为 ,
,即 ,
化简得 .
当且仅当 时， 的面积取最大值 2 .
法二:
易知 ,
点 到直线 的距离 ,
所以 ,
当且仅当 时, 的面积取最大值 2 .
19.(1) 因为 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列
(2)由(1)知 ，所以 ，
所以 .
(3)因为 ，
又 ,所以 ,
所以 ,
由 可得 ,
变形可得 ,
整理可得 ,等式两边同时乘以 得 ,
即 ,
当 时,则有 ,可得 ,这样的正整数 不存在;
当 时,则有 ,可得 ,这样的正整数 不存在;
当 时,则有 ,即 ,解得 ,符合题意;
当 时, ,而 ,等式不成立.
综上所述, .
20.(1) .
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
所以, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)由题可知存在 ,使得 成立,
时, ,故存在 ,使得 .
令 ,其中 ,
且 不恒为零,故函数 在 上单调递减,
则 ,故 .
(3) .
证明: 由 可得 ,
令 ,则 .
因为 ,则 ,
所以 ,所以函数 在 上单调递减,
因为 ,
所以,存在唯一的 ,使得 ,
所以, ,
同理可得 ,
且 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以,
因为函数 在 上单调递减,
故 ,即 ,
取 ,则 ,