江苏南京市金陵中学2026年高三下学期3月适应性训练数学试题（含答案）

金陵中学 2026 届高三 3 月适应性训练 数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3.本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.考试结束后, 将答题卡交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选顶中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. 3 B. C. 1 D. 5
3. 的展开式中 的系数是 ( ).
A. -6 B. 2 C. 10 D. 18
4. 若抛物线 的焦点在直线 上,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5. 已知角 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 在 中,角 的对边分别为 . 若 ,则角 的大小为( )
A. B. C. D.
7. 已知 ,则使得数对 唯一的条件是( )
A. B.
C. D.
8. 已知正数 满足 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的部分分, 有选错的得 0 分.
9. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措. 在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近 6 个月的出口额情况统计，若已求得 关于 的线性回归方程为 ,则 ( )
月份编号 1 2 3 4 5 6
出口额 /万元 16 25 43 77 102 159
A. 与 成正相关 B. 样本数据 的第 40 百分位数为 34
C. 当 时,残差的绝对值最小 D. 用模型 描述 与 的关系更合适
10. 已知曲线 ,则 ( )
A. 曲线 关于直线 对称
B. 曲线 上恰有四个整点(横坐标与纵坐标均为整数)
C. 曲线 上的点到原点距离的最大值为
D. 曲线 上存在点在圆 的内部
11. 若函数 的图象上存在两个不同的点 ,使得 在这两点处的切线重合, 则称函数 为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 服从 ,若 ,则 _____.
13. 设实数 满足 ,则 的最大值为_____.
14. 已知双曲线 都经过点 ,离心率分别记为 ,设双曲线 的渐近线分别为 和 . 若 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和,若 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 为数列 的前 项和，证明: ， .
16. 某高新区对 7 家企业的研发投入与专利产出数进行调研, 数据如下:
企业
研发投入 x (万元) 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年度专利产出数 (件) 3 5 7 6 9 10 11
(1)现从这 7 家企业中随机抽取 1 家.记事件 :抽到的企业“研发投入不超过 2000 万元”； 事件 : 抽到的企业“专利产出数超过 8 件”.
(i) 求条件概率 的值;
(ii) 判断事件 与 是否相互独立,并说明理由;
(2)从这 7 家企业中随机抽取 3 家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于 6 件的企业数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望 .
17. 已知函数
(1)函数 图像在 处的切线与函数 相切，求实数 的值；
(2)函数 与函数 图像有两个不同交点 ，
(i) 求 的取值范围;
(ii) 若 ,证明: .
18. 如图,在平面四边形 中, 为线段 上一点,且
(1)若 ，求 ；
(2) 记 ，
( i ) 证明: ;
(ii) 求 的值.
19. 已知一个圆柱 的上下底面都为椭圆,且其母线与底面垂直,若该圆柱的母线长的立方为 27,过点 在该圆柱下底面建立一个适当的平面直角坐标系,得到椭圆 的离心率为
0.5,焦点位于 轴上,且其短轴长的平方为 12
(1)求出椭圆 的长轴的长；
(2)若Q点为该圆柱中椭圆 上面的任意一点，且 为 中点， 是以点 为中点的一条弦,且直线 的方程为: .
(i) 探究 与 所满足的等式关系;
(ii) 设点 到平面 的距离长度为 ,试求出 的最小值.
1. C
化简集合 ,根据集合的交集的定义求结论.
不等式 的解集为 ,
所以 ,又 ,
所以 .
故选: C.
2. A
由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解.
由 ,所以 .
故选: A.
3. A
根据二项式的通项求展开式的系数即可.
二项式 的通项为 ,
当 产生 时,令 ,解得 ;
当 产生 时,令 ,解得 ;
所以展开式中 的系数为 .
故选: A.
4. B
将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数 的值.
由题知,抛物线 的焦点为 ,代入 得 ,解得 . 故选: B.
5. B
根据给定条件, 利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.
由 ,得
故选: B
6. B
根据正弦定理结合三角恒等变换得到 ,解得答案.
,即 ,
即 ,
,则 ,则 ,故 ,
,故 .
故选: B
7. B
由题意可得动点 的轨迹方程,由点到直线距离公式,可得向量的取值范围以及等号成立条件,分别判别四个选项,可得答案.
由 ,则点 是直线 上的点,
同理可得点 是直线 上的点.
由 ,则 ,
可得原点 到直线 的距离 ,
原点 到直线 的距离 .
由题意可得 ,当且仅当等号同时成立时 唯一即 唯一取值,
此时 ,由 ,则 .
对于 ,当 时, 存在两个取值,由 ,则 ,此时 也存在两个取值, 故 A 错误.
对于 ,
当且仅当等号成立时 唯一即 唯一取值,故 正确;
对于 ,由 ,则 ,令
,即 ,
令 ,可得 ,化简可得 ,由
,则 存在两个根,故 错误;
对于 ,由 ,则 ,即 ,
可得 ,解得 ,故 错误.
故选: B.
8. A
将 看成常数,然后根据题意表示出 ,再结合导数证明恒不等式 ,从而作差比较出大小即可得解.
由 ,得 ,则 ,得 ,
则由 得 ,故 ,
令 ,则 ,
所以函数 在 上单调递增,则 ,
所以 ,即 ,
又 ,所以 ,
综上, .
故选: A.
9. AD
A 项由表中数据 的变化及回归方程中 项的系数可知; B 项利用百分位数定义及求解步骤即可得; 项由样本中心点代入方程求出 ,利用回归方程求出估计值与相应样本数据作差求出残差, 再比较绝对值大小即可; D 项由散点图可知.
A 项,由图中表格数据可知,当 的值增加时, 的相应值也呈现增加的趋势,
又由回归方程 中, 项的系数 ,也可以看出 与 成正相关,故 正确; B 项,样本数据 的 6 个取值从小到大依次是16,25,43,77,102,159,
由 ,则第 40 百分位数为第 3 个数据 43,故 错误;
C 项, ,
将 代入 ，得 ，即 ，
令 ,得 ,所以相应残差的绝对值为 ,
令 ,得 ,所以相应残差的绝对值为 ,故 错误;
D 项，如下图作出散点图，
可以看到相较 “样本点分布在某一条直线模型 的周围”,
“样本点分布在某一条指数函数 曲线的周围”这样的描述更贴切,
所以用模型 描述 与 的关系更合适些,故 正确.
故选: AD.
某外贸企业近6个月出口额
10. AC
根据点的对称代入方程中即可验证 ,根据方程有解由判别式可得 ,结合 为整数时,对应 的值即可判断 ,由均值不等式的性质一节点到点的距离公式即可判断 .
对于 ,将坐标 代换成 得 ,与原曲线方程相同,
故曲线 关于直线 对称,故选项 正确;
对于 ,由方程得: ,因为 有解,
所以 ,可得 ,
若 为整数,则 ,
当 时, 没有整数解,
当 时,解得 的整数解为 0 和 3,
当 时,解得 的整数解为 -3 和 3 ,
当 时,解得 的整数解为 0 和 -3 ,
所以曲线 经过 个整点,故选项 B 错误.
对于 ,
所以 ,故 ,当且仅当 时等号成立, 正确;
对于 ,由 得 ,故 ,
当且仅当 时等号成立,
所以曲线 上任一点 到原点的距离最小值为 ,故选项 D 错误;
故选: AC
11. ABC
求出导函数, 确定切线斜率, 选项 AB, 过图象最高点 (或最低点) 处的切线是同一条直线, 可判断, 选项 C, 由导函数斜率相等的点有无数组, 结合函数单调性, 确定斜率为 1 的切线, 可判断结论, 选项 D, 导函数是单调增函数, 因此不存在斜率相等的两点, 这样易判断结论.
对 ,
时, 取得最大值 ,
直线 是函数图象的切线,且过点 ,所以函数是 “切线重合函数”;
对 时, ,
此时 是函数的最大值,直线 是函数图象的切线,且过点 , 函数是 “切线重合函数”；
对 , 时,
过点 的切线方程是 ,即 , 因此该切线过 图象上的两个以上的点,函数是 “切线重合函数”;
对 ,令 ,
则 ,所以 即 是 上增函数,因此函数图象上不存在两点,它们的切线斜率相等,
也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”.
故选: ABC.
12.
利用正态曲线的对称性可求得 的值.
因为 ,则 . 故答案为: 0.3 .
13.
利用 ,可得 ,结合已知可得 ,可求最大值.
通过观察式子可得:
,
因为 ,代入可得 ,
所以 的最大值为 .
故答案为: .
14. 1
分 和 两种情况讨论,当 时,不妨设 ,分别将双曲线 的方程用 表示,再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解.
当 时,点 在渐近线上,不合题意;
当 时,不妨设 ,
则 ,
因为双曲线 经过点 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,则双曲线 的焦点在 轴上,
所以 ,
同理 ,
因为 ,所以 ,则双曲线 的焦点在 轴上,
所以 ,
所以 ,即 ,
综上所述， .
故答案为: 1 .
15.(1)由等差数列的性质可得 ,则 ,
.
设 的公差为 ,从而有 ,
,
从而 ,由于公差不为零,故 ,
的通项公式为 ;
(2) ，
,
,
两式相减得,
,即
.
16.(1) (i) ,
.
(ii) 事件 与 不相互独立
理由如下:
法 1: 利用条件概率:
,
所以 不相互独立.
法 2: 利用独立性定义:
,
所以 不相互独立.
(2)这 7 家企业中，专利产出数大于 6 的企业有 4 家，所以 的所有可能取值为0,1,2,3，
( 服从超几何分布, )
故 的分布列为: 故 的数学期望 .
0 1 2 3
1 35 12 35 18 4 35
17.(1) 由 得到 ,
所以 ,而 ,所以切线方程为
因为 得 ,
由题意得: ,解得 .
(2)(i) 由题意得 化简得 ,令 函数 与函数 图像有两个不同交点等价于 有两个解 ,令 ,解得
所以 时, 单调递增;
时, 单调递减.
而 时, 时, ,
所以 ,解得:
故 的取值范围是
(ii) 由 (i) 可得: ① ②
①+②得: ③
②-①得: ④
由 ③④ 消去 得:
令 ,所以 ,
令 ,
令 ,则
故
所以 在 上单调递增,所以
所以 ,所以 .
18. (1) 在 中,由 ,且 ,
可得 ,
由余弦定理可得 ,
即 ,即 ,
又 ,所以 ,
即 ,
所以在 中，
由正弦定理可知 ， 即 ,即 ;
(2)(i)在 中，易知 ，
则 ，
所以 ,
在 中,由余弦定理可知 ,
又在 中，
由余弦定理可知 ,
则 ,化简可得 ,
即 ,
所以 ,
在 中,由余弦定理可知 ,
在 中， ，
则由余弦定理可知 ,
所以 ,
即 成立;
(ii) 由 (i) 可得 ,
即 ,
又 ,
则 ,
整理可得 ,
即 ,
又在 中可知 ，
所以 ,
则 .
19. (1)4
(2) (i) (ii)
(1) 由离心率定义结合已知条件可得长轴.
(2)(i)首先根据中点条件建立椭圆上的点与另外两点的关系，再通过联立直线方程用 ， 表示椭圆上的点,最后代入化简即可.
(ii) 先用几何法找到点到面的距离 ,再用三角形面积法建立椭圆上 与 的等式,用
(i) 结论建立不等式求出 的最小值,即可确定 的最小值.
(1) ，所以 ，所以椭圆 的长轴的长为 4 .
(2)(i)由(1)知椭圆的方程为 ，设 、 、 ，
所以 ,联立 ,得 ,
得 ,
所以 ,
所以 ,将点 代入方程得 ,
化简得 ,由于 ,
得 .
(ii) 过 作 于点 ,连接 ,作 于点 .
由 平面 ,又 平面 ,
又 平面 ,
又 平面 .
,
又 平面 平面 ,则 .
设 ,根据等面积法, ,
所以当 取到最小值时, 也取到最小值.
在椭圆平面内, ,由 (i) 得: ,
则 ,所以 .