江苏省扬州中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省扬州中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 99.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
江苏省扬州中学 2025-2026 学年第二学期 3 月自主学习评估 高一数学
2026.03
试卷满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟
注意事项:
1. 作答第 1 卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上 条形码
2. 将选择题答案填写在答题卡的指定位置上 (使用机读卡的用 2B 铅笔在机读卡上填涂), 非选择题一律在答题卡上作答, 在试卷上答题无效.
3. 考试结束后, 请将机读卡和答题卡交监考人员.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每题给出的四个选 项中只有一项是最符合题意的. (请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.)
1.
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 的值为 ( )
A. B.
C. D.
3. 若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
4. 若 为 所在平面内一点,且满足 ,则 为 ( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知两个不共线的向量 ，且 ， ， ，若 ， 三点共线，则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8. 已知 且满足 互不相同,集合 ,集合 ,则满足 的集合 的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列式子结果为 的是( )
① ;
② ；
③ ；
④ .
A. ① B. ② C. ③ D. ④
10. 如图, 是半径为 1 的圆 的两条不同的直径, ,则 ( )
A.
B.
C. 满足 的实数 与 的和为定值 4
D.
11. 已知函数 ，方程 在区间 上有且仅有 4 个解， 则( )
A. 的取值范围是
B. 的最小正周期可能是
C. 在区间 上有且仅有 3 个不同的零点
D. 在区间 上单调递增
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设 均为钝角,且 ,则 的值为_____.
13. 如图所示，以正方形 的四个边为底向外作四个腰长为 2 的等腰三角形，则该图形面积的最大值为_____.
14. 在平面直角坐标系 中,已知 ,且 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说明.
15. 已知平面上三个向量 ,其中 .
(1)若 ，且 ，求 的坐标；
(2)若 ，且 ，求 与 的夹角.
16. 已知 ,且 .
(1)求角 的大小.
(2) ,求函数 的值域.
17. 如图,在扇形 中, 的中点为 ,动点 分别在 上,且 .
(1)若 是线段 靠近点 的四分之一分点,用 表示向量 ；
(2)求 的取值范围.
18. 已知函数 .
(1)求 的单调减区间；
( 2 )若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 在区间 上有两个零点 ，求 的值.
19. 已知函数 ,若 的最小正周期为 .
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上有三个不同零点 ，且
① 求实数 取值范围；
②若 ，求实数 的取值范围.
1. A
2. C
将式子 两边同时平方,然后将两式相加,结合同角三角函数关系及两角差的余弦公式即可求解.
,
则
,
解得 .
3. A
先由二倍角公式,同角三角函数的平方关系及商数关系求得 ,再由二倍角公式求解 .
因为 , 所以 ,则 . 故选: A.
4. A
根据向量线性运算法则化简条件等式可得 ,两边平方化简可得 ,结合数量积的性质可得 ,由此可得结论.
由 ,得
所以 ,即 ,
两边平方并化简得 ,则 ,即 ,故 ,
所以 是直角三角形.
故选: A
5. D
由平面向量的线性表示与共线定理求解即可.
由 ,
所以 ,
因为 三点共线,所以存在实数 ,使得 ,
则 ,
因为向量 不共线,
所以 ,解得: ,
故选: D
6. D
已知条件 ,利用辅助角公式化简可得 ,利用二倍角公式可求得 ,再利用诱导公式计算即可求得结果.
由 化简可得: ,即 ,即
所以 ,
故选: D
7. A
利用向量 在向量 上的投影向量公式 求解.
, ,
向量 在向量 上的投影向量为 ,则其坐标为 . 故选: A.
8. B
由 两类情况讨论求解即可.
因为 ,
所以 ,
由 ,可知 且 ,
所以 ,或
当 时, 或
由 和 的图象可知,它们在 有且仅有一个交点,
即有唯一 ,使得 成立,
此时集合 的个数为 1,
当 时,即 ,
若 ,令 ,
因为 在 上单调递增, 在 上单调递减,
所以 在 上单调递增,
又 ,
由零点存在性定理和函数单调性可知, 在 上存在唯一零点,
即有唯一 ,使得 成立,
此时集合 的个数为 1,
综上可知: 集合 的个数为 2,
故选: B
9.
利用 即可得①正确； ，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由 与正切的和差角公式即可得③正确④错误.
对于①,由于 ,
所以
;
对于②，由于 ，
所以 ;
对于③，因为 ， ；
对于④，因为 ；
故选: ABC
10. BCD
根据所给线段长度关系判断 ,建立平面直角坐标系,利用坐标运算判断 ,根据三点共线判断 ,利用向量的坐标运算求向量夹角判断 .
,
,故 A 错误;
以 为原点,以 为 轴,以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系,
则 ,设 ,则 ,
则 ,
，故 正确；
,
三点共线, ,即 ,故 正确.
,
,
,
,故 D 正确.
11. AB
化简函数解析式后由题意根据正弦型函数的最值建立不等式, 根据不等式有 4 个整数解求 范围判断 ,由 范围可得周期范围,据此判断 ,由自变量范围得出 范围,结合正弦函数性质判断零点个数判断 ,由 得出 的范围,利用正弦函数的单调性判断 .
由函数 ,令 ,
则 ,方程 在区间 上有且仅有 4 个解,
即 有 4 个整数 符合,由 ,得 ,
即 ,则 ,即 ,故 正确;
对于 ,最小正周期 ,由 ,则 ,
又 的最小正周期可能是 ,故 正确;
对于 ,
,
当 时, 在区间 上有且仅有 3 个不同的零点;
当 时, 在区间 上有且仅有 4 个不同的零点,故 错误;
对于 ,又 ,
,又 在区间 上不一定单调递增,故 错误.
故选: AB.
12.
先求出 和 ,再运用两角和公式求解.
,且 ,
,
.
;
故答案为: .
13.
设等腰三角形的一个底角为 ,将题中的图形面积表示以角 为自变量的三角函数, 利用三角恒等变换思想化简函数解析式，并利用正弦函数的有界性可求得该图形面积的最大值.
设等腰三角形的一个底角为 ,则 ,等腰三角形的高为 .
则图形的面积为
,
,所以,当 时,图形面积最大为 .
故答案为: .
14.
利用向量的数量积的运算公式,求得 ,设 ,得到 ,求得 的坐标,根据向量的坐标运算,化简得到 ,结合三角函数的性质,即可求解.
由题意可得: ,
因为 ,可得 ,
即 ,所以 ,所以 ,
设 ,因为 ,可得 ,
又因为 ,可得 ,
则 ,
可得
令 ,可得 ,
则 ,其中 ,
因为 ,
当 时, 取得最大值,最大值为 ;
当 时, 取得最小值,最小值为 ;
所以 的取值范围为 .
15. (1) 或 ; (2) .
(1) 设 ,由 ,求出 ,由此能求出 ;
(2)设 与 的夹角为 ，由 ，且 ，求出 ，从而 ,即得解.
(1) 平面上三个向量 ,
设 ，
,解得 ,
或 .
(2)设 与 的夹角为 ，
,且 ,
,
,
与 的夹角为 .
16.
(2)
(1) 结合平方关系可求得 和 ,然后利用正弦的二倍角公式即可求出角 的大小.
(2)利用三角恒等变换，辅助角公式得到 ，即可得出结果.
(1) 因为 ,
且 ,
解得 .
又 ,
所以 或 或 (舍).
所以 .
(2)
因为 ,所以 .
17. (1) ; (2) .
(1) 连结 ,由题设条件得到四边形 是平行四边形,由此能求出 .
(2)设 ，则 ， ，由此结合题设条件，利用向量的数量积能求出 的取值范围.
解: (1) 连结 ,
扇形 的弧的中点为 ,动点 分别在 上,
且 ,
四边形 是平行四边形,
点 是线段 靠近点 的四分之一分点,
.
(2)设 ，则 ，
,
,
的取值范围是 .
18.
(2)
(3)
(1) 利用三角恒等变换把三角函数化为标准形式, 再利用正弦函数单调性求单调区间;
(2)把不等式恒成立问题转化为最值问题，分情况讨论求出最值，进而得出 的取值范围；
(3)把函数零点问题转化为方程解的问题，再利用正弦函数对称性求解.
(1)
正弦型函数 的单调递减区间为 ,
则 ,解得 ,
的单调减区间为 .
(2)不等式 在 时恒成立，即 ，在 内恒成立；
当 时, ,
,则 ,
当 时, 恒成立, ;
当 时, 的最小值为 1,故 ;
当 时， 的最大值为 ，故 ；
综上, 的取值范围是 .
(3)函数 在区间 上有两个零点 ，即 ， 当 时, ,
方程 有两个解,则 ,即 ,
两解 关于对称轴 对称,故 ,
.
19. (1)
(2)① ；②
(1)利用三角恒等变换化简 ，根据题意求解即可；
(2)①根据(1)，利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设 为方程 的两个不相等的实数根,由①可求得 的取值范围,根据 ,结合三角函数的性质和三角恒等变换求得 的关系,根据韦达定理求解 ,代入 的关系式中,即可求得 的取值范围.
(1)
因为 的最小正周期为 ,所以 ,即 ,
所以 ;
(2)①由(1)知 ，
由 ,可得 ,
令 ,则 ,
若函数 在 有三个零点,
即 在 有三个不相等的实数根,
也就是关于 的方程 在区间 有一个实根,另一个实根在 上,
或一个实根是 1,另一个实根在 ,
当一个根在 ,另一个实根在 ,
所以 ,即 ,解得: ,
当一个根为 0 时,即 ,所以 ,此时方程为 ,所以 ,不合题意,
当一个根是 ,即 ,解得 ,此时方程为 ,所以 ,不合题意,
当一个根是 1,另一个实根在 ,由 得 ,此时方程为 ,解得 或 ,这两个根都不属于 ,不合题意, 综上 的取值范围是 ;
② 设 为方程 的两个不相等的实数根,则 , 由①知， ， ，
所以 ,即 ,
,所以 ,即 ,
由 得 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,且 ,所以 ,
所以 ,
整理得 ,因为 ,所以 ,
解得 或 ,又 ,所以 ,
所以 的取值范围是 .
2026.03
试卷满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟
注意事项:
1. 作答第 1 卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上 条形码
2. 将选择题答案填写在答题卡的指定位置上 (使用机读卡的用 2B 铅笔在机读卡上填涂), 非选择题一律在答题卡上作答, 在试卷上答题无效.
3. 考试结束后, 请将机读卡和答题卡交监考人员.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每题给出的四个选 项中只有一项是最符合题意的. (请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.)
1.
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 的值为 ( )
A. B.
C. D.
3. 若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
4. 若 为 所在平面内一点,且满足 ,则 为 ( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知两个不共线的向量 ，且 ， ， ，若 ， 三点共线，则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8. 已知 且满足 互不相同,集合 ,集合 ,则满足 的集合 的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列式子结果为 的是( )
① ;
② ；
③ ；
④ .
A. ① B. ② C. ③ D. ④
10. 如图, 是半径为 1 的圆 的两条不同的直径, ,则 ( )
A.
B.
C. 满足 的实数 与 的和为定值 4
D.
11. 已知函数 ，方程 在区间 上有且仅有 4 个解， 则( )
A. 的取值范围是
B. 的最小正周期可能是
C. 在区间 上有且仅有 3 个不同的零点
D. 在区间 上单调递增
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设 均为钝角,且 ,则 的值为_____.
13. 如图所示，以正方形 的四个边为底向外作四个腰长为 2 的等腰三角形，则该图形面积的最大值为_____.
14. 在平面直角坐标系 中,已知 ,且 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说明.
15. 已知平面上三个向量 ,其中 .
(1)若 ，且 ，求 的坐标；
(2)若 ，且 ，求 与 的夹角.
16. 已知 ,且 .
(1)求角 的大小.
(2) ,求函数 的值域.
17. 如图,在扇形 中, 的中点为 ,动点 分别在 上,且 .
(1)若 是线段 靠近点 的四分之一分点,用 表示向量 ；
(2)求 的取值范围.
18. 已知函数 .
(1)求 的单调减区间；
( 2 )若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 在区间 上有两个零点 ，求 的值.
19. 已知函数 ,若 的最小正周期为 .
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上有三个不同零点 ，且
① 求实数 取值范围；
②若 ，求实数 的取值范围.
1. A
2. C
将式子 两边同时平方,然后将两式相加,结合同角三角函数关系及两角差的余弦公式即可求解.
,
则
,
解得 .
3. A
先由二倍角公式,同角三角函数的平方关系及商数关系求得 ,再由二倍角公式求解 .
因为 , 所以 ,则 . 故选: A.
4. A
根据向量线性运算法则化简条件等式可得 ,两边平方化简可得 ,结合数量积的性质可得 ,由此可得结论.
由 ,得
所以 ,即 ,
两边平方并化简得 ,则 ,即 ,故 ,
所以 是直角三角形.
故选: A
5. D
由平面向量的线性表示与共线定理求解即可.
由 ,
所以 ,
因为 三点共线,所以存在实数 ,使得 ,
则 ,
因为向量 不共线,
所以 ,解得: ,
故选: D
6. D
已知条件 ,利用辅助角公式化简可得 ,利用二倍角公式可求得 ,再利用诱导公式计算即可求得结果.
由 化简可得: ,即 ,即
所以 ,
故选: D
7. A
利用向量 在向量 上的投影向量公式 求解.
, ,
向量 在向量 上的投影向量为 ,则其坐标为 . 故选: A.
8. B
由 两类情况讨论求解即可.
因为 ,
所以 ,
由 ,可知 且 ,
所以 ,或
当 时, 或
由 和 的图象可知,它们在 有且仅有一个交点,
即有唯一 ,使得 成立,
此时集合 的个数为 1,
当 时,即 ,
若 ,令 ,
因为 在 上单调递增, 在 上单调递减,
所以 在 上单调递增,
又 ,
由零点存在性定理和函数单调性可知, 在 上存在唯一零点,
即有唯一 ,使得 成立,
此时集合 的个数为 1,
综上可知: 集合 的个数为 2,
故选: B
9.
利用 即可得①正确； ，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由 与正切的和差角公式即可得③正确④错误.
对于①,由于 ,
所以
;
对于②，由于 ，
所以 ;
对于③，因为 ， ；
对于④，因为 ；
故选: ABC
10. BCD
根据所给线段长度关系判断 ,建立平面直角坐标系,利用坐标运算判断 ,根据三点共线判断 ,利用向量的坐标运算求向量夹角判断 .
,
,故 A 错误;
以 为原点,以 为 轴,以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系,
则 ,设 ,则 ,
则 ,
，故 正确；
,
三点共线, ,即 ,故 正确.
,
,
,
,故 D 正确.
11. AB
化简函数解析式后由题意根据正弦型函数的最值建立不等式, 根据不等式有 4 个整数解求 范围判断 ,由 范围可得周期范围,据此判断 ,由自变量范围得出 范围,结合正弦函数性质判断零点个数判断 ,由 得出 的范围,利用正弦函数的单调性判断 .
由函数 ,令 ,
则 ,方程 在区间 上有且仅有 4 个解,
即 有 4 个整数 符合,由 ,得 ,
即 ,则 ,即 ,故 正确;
对于 ,最小正周期 ,由 ,则 ,
又 的最小正周期可能是 ,故 正确;
对于 ,
,
当 时, 在区间 上有且仅有 3 个不同的零点;
当 时, 在区间 上有且仅有 4 个不同的零点,故 错误;
对于 ,又 ,
,又 在区间 上不一定单调递增,故 错误.
故选: AB.
12.
先求出 和 ,再运用两角和公式求解.
,且 ,
,
.
;
故答案为: .
13.
设等腰三角形的一个底角为 ,将题中的图形面积表示以角 为自变量的三角函数, 利用三角恒等变换思想化简函数解析式，并利用正弦函数的有界性可求得该图形面积的最大值.
设等腰三角形的一个底角为 ,则 ,等腰三角形的高为 .
则图形的面积为
,
,所以,当 时,图形面积最大为 .
故答案为: .
14.
利用向量的数量积的运算公式,求得 ,设 ,得到 ,求得 的坐标,根据向量的坐标运算,化简得到 ,结合三角函数的性质,即可求解.
由题意可得: ,
因为 ,可得 ,
即 ,所以 ,所以 ,
设 ,因为 ,可得 ,
又因为 ,可得 ,
则 ,
可得
令 ,可得 ,
则 ,其中 ,
因为 ,
当 时, 取得最大值,最大值为 ;
当 时, 取得最小值,最小值为 ;
所以 的取值范围为 .
15. (1) 或 ; (2) .
(1) 设 ,由 ,求出 ,由此能求出 ;
(2)设 与 的夹角为 ，由 ，且 ，求出 ，从而 ,即得解.
(1) 平面上三个向量 ,
设 ，
,解得 ,
或 .
(2)设 与 的夹角为 ，
,且 ,
,
,
与 的夹角为 .
16.
(2)
(1) 结合平方关系可求得 和 ,然后利用正弦的二倍角公式即可求出角 的大小.
(2)利用三角恒等变换，辅助角公式得到 ，即可得出结果.
(1) 因为 ,
且 ,
解得 .
又 ,
所以 或 或 (舍).
所以 .
(2)
因为 ,所以 .
17. (1) ; (2) .
(1) 连结 ,由题设条件得到四边形 是平行四边形,由此能求出 .
(2)设 ，则 ， ，由此结合题设条件，利用向量的数量积能求出 的取值范围.
解: (1) 连结 ,
扇形 的弧的中点为 ,动点 分别在 上,
且 ,
四边形 是平行四边形,
点 是线段 靠近点 的四分之一分点,
.
(2)设 ，则 ，
,
,
的取值范围是 .
18.
(2)
(3)
(1) 利用三角恒等变换把三角函数化为标准形式, 再利用正弦函数单调性求单调区间;
(2)把不等式恒成立问题转化为最值问题，分情况讨论求出最值，进而得出 的取值范围；
(3)把函数零点问题转化为方程解的问题，再利用正弦函数对称性求解.
(1)
正弦型函数 的单调递减区间为 ,
则 ,解得 ,
的单调减区间为 .
(2)不等式 在 时恒成立，即 ，在 内恒成立；
当 时, ,
,则 ,
当 时, 恒成立, ;
当 时, 的最小值为 1,故 ;
当 时， 的最大值为 ，故 ；
综上, 的取值范围是 .
(3)函数 在区间 上有两个零点 ，即 ， 当 时, ,
方程 有两个解,则 ,即 ,
两解 关于对称轴 对称,故 ,
.
19. (1)
(2)① ；②
(1)利用三角恒等变换化简 ，根据题意求解即可；
(2)①根据(1)，利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设 为方程 的两个不相等的实数根,由①可求得 的取值范围,根据 ,结合三角函数的性质和三角恒等变换求得 的关系,根据韦达定理求解 ,代入 的关系式中,即可求得 的取值范围.
(1)
因为 的最小正周期为 ,所以 ,即 ,
所以 ;
(2)①由(1)知 ，
由 ,可得 ,
令 ,则 ,
若函数 在 有三个零点,
即 在 有三个不相等的实数根,
也就是关于 的方程 在区间 有一个实根,另一个实根在 上,
或一个实根是 1,另一个实根在 ,
当一个根在 ,另一个实根在 ,
所以 ,即 ,解得: ,
当一个根为 0 时,即 ,所以 ,此时方程为 ,所以 ,不合题意,
当一个根是 ,即 ,解得 ,此时方程为 ,所以 ,不合题意,
当一个根是 1,另一个实根在 ,由 得 ,此时方程为 ,解得 或 ,这两个根都不属于 ,不合题意, 综上 的取值范围是 ;
② 设 为方程 的两个不相等的实数根,则 , 由①知， ， ，
所以 ,即 ,
,所以 ,即 ,
由 得 ,所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,且 ,所以 ,
所以 ,
整理得 ,因为 ,所以 ,
解得 或 ,又 ,所以 ,
所以 的取值范围是 .
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