河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 322.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2025-2026 学年高一下学期月考 数学学科
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
A. B. C. D.
2. 已知圆心角为 的扇形的弧长为 ,则该扇形的面积是( )
A. B. C. D.
3. 设 是第二象限角， 为其终边上的一点，且 ，则 等于( )
A. B. C. D.
4. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一, 降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为 0,完成降噪 (如图所示)，已知噪音的声波曲线是 ，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是 (其中 ),则 ( ).
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 1 B. 是偶函数
C. 的图象关于直线 对称 D. 在区间 上单调递增
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象关于原点对称, 则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7. 函数 的部分图象如图所示,则下列正确的是 ( )
A.
B.
C. 为 的一条对称轴
D. 若 ,则 为奇数
8. 是定义在 上的函数,对于任意的 ,都有 且 时,有 ,则函数 的所有零点之和为 ( )
A. 10 B. 13 C. 22 D. 26
二、多选题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对得得部分分, 有错选得得 0 分.
9. 如图,质点 和 从单位圆 上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动,点 的起始位置坐标为 ,角速度为 (即每经过 ,射线 转过的角度为 ),点 的起始位置坐标为 ,角速度为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 在起始位置,扇形 的面积为
B. 经过 ，点 的坐标为
C. 经过 ，扇形 的弧长为
D. 经过 ,点 在单位圆上第二次重合
10. 下列说法正确的是( )
A. 若 是第二象限角，则 是钝角
B. 若 ,则 为第三象限角或第四象限角
C. 角 与角 的终边相同
D. 若 为第二象限角，则 为第一象限或第三象限角
11. 已知函数 ,且 在区间 上单调递减,则下列结论正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 恒成立,则满足条件的 有且仅有 1 个
C. 若 ,则 的取值范围是
D. 若 ，则 的取值范围是
三、填空题: 本题共 3 小题. 每题 5 分, 共 15 分.
12. 求函数 的定义域为_____.
13. 如图, 长为 2, 宽为 1 的矩形木块, 在桌面上作无滑动翻滚, 翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成 30° 角，则点 走过的路程是_____.
14. 已知函数 的图象在 上恰有两个最高点,则 的取值范围为_____.
四、解答题本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
(1)化简 ；
(2)若 ，求 的值.
16. 如图是一扇环形砖雕,可视为扇形 截去同心扇形 所得部分. 已知扇环周长为 ,大扇形半径 ,小扇形半径 ,则
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)若雕刻费用关于 的解析式为 ，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
17. 如图, 某公园里的摩天轮的旋转半径为 45 米, 最高点距离地面 100 米, 某游客在最低点的位置坐上摩天轮, 此时摩天轮开始运行, 运行一周的时间不低于 20 分钟, 在运行到 5 分钟时, 他距地面大约 32.5 米.
(1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？
(2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约 77.5 米时，摩天轮运行的时间是多少分钟
18. 已知函数 的最小正周期为 ,且 .
(1)求 的解析式;
( 2 )求 在 上的值域；
(3)设函数 ，若 ，求 的最小值.
19. 某同学用 “五点法” 画函数 在某一个周期内的图象时， 列表并填入了部分数据，如表:
0
0 2 0 -2 0
(1)求实数 的值和函数 的解析式；
(2)若函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象.
(i) 求 的单调递减区间;
(ii) 当 时,方程 有解,求 的取值范围.
1. A
利用诱导公式计算即可.
.
故选: A.
2. B
根据弧长、半径和圆心角的关系, 可求得扇形半径, 代入面积公式, 即可得答案.
设扇形的半径为 ,由题意圆心角为 ,
所以弧长 ,解得 ,
则该扇形的面积 .
故选: B
3. D
由三角函数的定义可得 ,故要想求 的值需要先求出 的值,可由 求出 的值,进一步求出 .
因为 是第二象限角,所以 ,即 .
又 ,解得 ,
所以 .
故选: D.
4. D
根据题意, 结合余弦型函数的性质进行求解即可.
由于抵消噪音,所以振幅没有改变,即 ,
所以 ,要想抵消噪音,需要主动降噪芯片生成的声波曲线是 , 即 ,
因为 ,所以令 ,即 ,
故选: D.
5. D
对于 : 根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可; 对于 : 利用诱导公式整理可得 ,进而判断奇偶性; 对于 : 根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断; 对于 : 以 为整体,结合正弦函数单调性分析判断.
因为函数 ,
对于选项 A: 的最小正周期为 ,故 A 错误;
对于选项 B: 为奇函数,故 B 错误;
对于选项 C: 因为 ,不为最值,
所以 的图象不关于直线 对称,故 错误;
对于选项 D:因为 ，则 ，
且正弦函数在 内单调递增,所以 在区间 上单调递增,故 D 正确.
故选: D.
6. C
根据函数图象的平移变换,可得 ,根据函数图象关于原点对称的性质可列方程,得 ,再结合 即可得解.
的图象向右平移 个单位长度,
可得 ,
因为函数 的对称中心为 ,
若平移后的图象关于原点对称,
则 ,得 ,
因为 ,故当 时, 取得最小值 .
故选: C.
7. D
对 ,根据图像上两个零点间的距离求出周期,进而得出 判断; 对 ,由图象过
点 ,结合图象在该点附近的单调性求解判断; 对 ,将 代入验证判断; 对 D,由 ,解得 ,可知 为奇数.
对于 : 由图, ,所以 错误;
对于 : 图象过点 ,可得 ,可得 ,
解得 错误;
对于 : 由上可知 ,因为 , 所以 不是 的一条对称轴, 错误;
对于 D: 若 ,即 ,可得 ,解得 ,
因为 是偶数,3 是奇数,所以 为奇数, 正确.
故选: D.
8. D
根据函数的对称性可得函数的周期为 4 , 进而根据函数图象, 结合对称性即可求解.
因为对于任意的 ,都有 ,
所以 为 的一条对称轴, 为 的一个对称中心,
故
所以 为 的周期,
由 得 ,又由 时,有 ,
可以画出 与 的图象,如图:
由于 也关于 对称,且当 时, ,
由图象可得,函数 共有 13 个零点,故所有零点之和为 .
故选: D
9. BD
根据题意, 利用特殊角的三角函数, 以及扇形的弧长和面积公式, 逐项分析判断, 即可求解.
对于 ,由点 ,可知 ,
扇形 的面积 ，故 A 错误；
对于 ,经过 ,点 转过了 ,所以点 的坐标为 ,故 正确;
对于 ,经过 ,点 在 的终边上,点 在 的终边上,
所以扇形 的弧长为 ,故 错误;
对于 ,要使得点 第二次重合,则点 走过的弧长减去点 走过的弧长等于 , 设经过了 ,则 ,解得 ,故 正确.
故选: BD.
10. CD
对于 是第二象限角,但不是钝角, 错误;
对于 ,若 ,则 为第三或第四象限角或终边在 轴的负半轴上, 错误;
对于 正确;
对于 ,若 为第二象限角,则 ,所以 ,
若 为偶数时, 为第一象限角;
若 为奇数时,则 为第三象限角.
综上, 为第一象限或第三象限角, 正确.
11. ABD
据中心对称即可求值 ; 由周期的范围求出 的范围,利用函数平移求出周期判断 B 正确; 举例说明判断判断 ; 结合已知单调区间得出 范围判断 .
对于 ,由 及 在 上单调递减,
得 的图象关于点 对称,因此 , A 正确;
对于 ,若 恒成立,则 为函数 的周期或周期的倍数,
即 ,解得 ,而周期 ,则 ,
又 ,即 ,因此 ,即满足条件的 有且仅有 1 个, 正确;
对于 ,取 ,函数 在 上单调递减,
即 也满足要求, 错误;
对于 ,依题意, 为 单调递减区间的子集,
则 ,其中 ,解得 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 的取值范围是 正确.
故选: ABD
12.
根据给定的函数有意义, 列出不等式组, 再利用正余弦函数的性质求解作答.
函数 有意义,则 ,即 ,
解 ,得 ,
解 ,得 ,于是 ,
所以所求定义域为 .
故答案为:
13. .
易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分, 算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案.
第一次是以 为旋转中心,以 为半径旋转 ,
此次点 走过的路径是 .
第二次是以 为旋转中心,以 为半径旋转 ,此次点 走过的路径是 .
第三次是以 为旋转中心，以 为半径旋转 ，此次点 走过的路径是 ，
点 三次共走过的路径是 .
故答案为: .
14.
根据区间 上,求出 的范围,由于在区间 上恰有 2 个最高点, 建立不等式关系,求解即可.
因为 ,所以 ,
依题意得 ，解得 .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 利用诱导公式将角全部化成 ,再约分化简即可.
(2)由条件代入解析式得 ,利用诱导公式求解即可.
( 1 )
(2)因为 ，
所以 ,
故 .
16. ;
(2)5.
(1) 利用扇形弧长公式计算即可;
(2)先计算扇环面积, 再化简变形利用基本不等式计算最值即可.
(1)由题意可知: ,
则 ,即 ,
又 ,所以即 ,
所以 ;
(2)易知大扇形 与小扇形 的面积分别为: ，
所以扇环的面积为 ,
结合 (1) 得 ,
则砖雕面积与雕刻费用之比为 ,
整理得
,当且仅当 时等号成立,
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为 5 .
17. (1)30
(2)10或20
(1) 根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式, 再代入对应点解方程, 进而可得摩天轮运行一周的时间;
(2)由已知代入，解方程，解方程即可.
(1)设游客坐上摩天轮的时间为 ,不妨设摩天轮逆时针旋转,
则游客距地面的高度 ,
又摩天轮的半径为 45 , 最高点距离底面高度为 100 ,
则 ,则 ,
所以 ,
又当 时， ，
解得 ,
则 ,
又 时, ,
解得 或 ,
又运行一周的时间不低于 20 分钟,
即 ,解得 ,
即 ,
所以运行一周所需时间 分;
(2)由(1)得 ，
由已知,令 ,
则 或 ,
又 ,则 或 20 .
18. (1)
(2)
(3)
(1) 根据函数的周期可求 的值,再根据 ,结合 的取值范围,可求 的值,进而可得 的解析式.
(2)利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域.
(3)先得到 的解析式，再结合 ，利用正切函数的周期性，可求 的最小值.
(1) 因为最小正周期 . 所以 ,解得 .
因为 ,
所以 ,则 .
解得 .
由 ,得 ,从而 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 ,即 在 上的值域 .
(3)由(1)知 .
因为 ,所以 ,
所以 ,解得 ,
因为 ,所以当 时, 的最小值为 .
19. ;
(2) (i) ; (ii)
(1) 由题意可得 过点 ,且其最大值为 2,即可求得函数的解析式,再分别由 和 求解即可;
(2)(i)由图象的平移可得 ，结合正弦函数的性质求解即可；
(ii) 求得函数 在 上的值域为 ,由 求解即可.
(1) 根据表中已知数据可知: 过点 ,
且其最大值为 2,故可得 ,
由 ,解得 ,
故 ,
所以 ,解得: ,
,解得: ,
,解得: .
综上, ;
(2) (i) ,
令 ,解得: ,
即 ,
所以 的单调递减区间为 ;
(ii) 当 ,使得方程 有解,即 有解,
即 ,
因为 ,所以 ,
所以当 ,即 时, ,
当 ,即 时, ,
所以 ,
解得: .
故 的取值范围为 .
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
A. B. C. D.
2. 已知圆心角为 的扇形的弧长为 ,则该扇形的面积是( )
A. B. C. D.
3. 设 是第二象限角， 为其终边上的一点，且 ，则 等于( )
A. B. C. D.
4. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一, 降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为 0,完成降噪 (如图所示)，已知噪音的声波曲线是 ，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是 (其中 ),则 ( ).
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 1 B. 是偶函数
C. 的图象关于直线 对称 D. 在区间 上单调递增
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象关于原点对称, 则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7. 函数 的部分图象如图所示,则下列正确的是 ( )
A.
B.
C. 为 的一条对称轴
D. 若 ,则 为奇数
8. 是定义在 上的函数,对于任意的 ,都有 且 时,有 ,则函数 的所有零点之和为 ( )
A. 10 B. 13 C. 22 D. 26
二、多选题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对得得部分分, 有错选得得 0 分.
9. 如图,质点 和 从单位圆 上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动,点 的起始位置坐标为 ,角速度为 (即每经过 ,射线 转过的角度为 ),点 的起始位置坐标为 ,角速度为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 在起始位置,扇形 的面积为
B. 经过 ，点 的坐标为
C. 经过 ，扇形 的弧长为
D. 经过 ,点 在单位圆上第二次重合
10. 下列说法正确的是( )
A. 若 是第二象限角，则 是钝角
B. 若 ,则 为第三象限角或第四象限角
C. 角 与角 的终边相同
D. 若 为第二象限角，则 为第一象限或第三象限角
11. 已知函数 ,且 在区间 上单调递减,则下列结论正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 恒成立,则满足条件的 有且仅有 1 个
C. 若 ,则 的取值范围是
D. 若 ，则 的取值范围是
三、填空题: 本题共 3 小题. 每题 5 分, 共 15 分.
12. 求函数 的定义域为_____.
13. 如图, 长为 2, 宽为 1 的矩形木块, 在桌面上作无滑动翻滚, 翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成 30° 角，则点 走过的路程是_____.
14. 已知函数 的图象在 上恰有两个最高点,则 的取值范围为_____.
四、解答题本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
(1)化简 ；
(2)若 ，求 的值.
16. 如图是一扇环形砖雕,可视为扇形 截去同心扇形 所得部分. 已知扇环周长为 ,大扇形半径 ,小扇形半径 ,则
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)若雕刻费用关于 的解析式为 ，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
17. 如图, 某公园里的摩天轮的旋转半径为 45 米, 最高点距离地面 100 米, 某游客在最低点的位置坐上摩天轮, 此时摩天轮开始运行, 运行一周的时间不低于 20 分钟, 在运行到 5 分钟时, 他距地面大约 32.5 米.
(1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？
(2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约 77.5 米时，摩天轮运行的时间是多少分钟
18. 已知函数 的最小正周期为 ,且 .
(1)求 的解析式;
( 2 )求 在 上的值域；
(3)设函数 ，若 ，求 的最小值.
19. 某同学用 “五点法” 画函数 在某一个周期内的图象时， 列表并填入了部分数据，如表:
0
0 2 0 -2 0
(1)求实数 的值和函数 的解析式；
(2)若函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象.
(i) 求 的单调递减区间;
(ii) 当 时,方程 有解,求 的取值范围.
1. A
利用诱导公式计算即可.
.
故选: A.
2. B
根据弧长、半径和圆心角的关系, 可求得扇形半径, 代入面积公式, 即可得答案.
设扇形的半径为 ,由题意圆心角为 ,
所以弧长 ,解得 ,
则该扇形的面积 .
故选: B
3. D
由三角函数的定义可得 ,故要想求 的值需要先求出 的值,可由 求出 的值,进一步求出 .
因为 是第二象限角,所以 ,即 .
又 ,解得 ,
所以 .
故选: D.
4. D
根据题意, 结合余弦型函数的性质进行求解即可.
由于抵消噪音,所以振幅没有改变,即 ,
所以 ,要想抵消噪音,需要主动降噪芯片生成的声波曲线是 , 即 ,
因为 ,所以令 ,即 ,
故选: D.
5. D
对于 : 根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可; 对于 : 利用诱导公式整理可得 ,进而判断奇偶性; 对于 : 根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断; 对于 : 以 为整体,结合正弦函数单调性分析判断.
因为函数 ,
对于选项 A: 的最小正周期为 ,故 A 错误;
对于选项 B: 为奇函数,故 B 错误;
对于选项 C: 因为 ,不为最值,
所以 的图象不关于直线 对称,故 错误;
对于选项 D:因为 ，则 ，
且正弦函数在 内单调递增,所以 在区间 上单调递增,故 D 正确.
故选: D.
6. C
根据函数图象的平移变换,可得 ,根据函数图象关于原点对称的性质可列方程,得 ,再结合 即可得解.
的图象向右平移 个单位长度,
可得 ,
因为函数 的对称中心为 ,
若平移后的图象关于原点对称,
则 ,得 ,
因为 ,故当 时, 取得最小值 .
故选: C.
7. D
对 ,根据图像上两个零点间的距离求出周期,进而得出 判断; 对 ,由图象过
点 ,结合图象在该点附近的单调性求解判断; 对 ,将 代入验证判断; 对 D,由 ,解得 ,可知 为奇数.
对于 : 由图, ,所以 错误;
对于 : 图象过点 ,可得 ,可得 ,
解得 错误;
对于 : 由上可知 ,因为 , 所以 不是 的一条对称轴, 错误;
对于 D: 若 ,即 ,可得 ,解得 ,
因为 是偶数,3 是奇数,所以 为奇数, 正确.
故选: D.
8. D
根据函数的对称性可得函数的周期为 4 , 进而根据函数图象, 结合对称性即可求解.
因为对于任意的 ,都有 ,
所以 为 的一条对称轴, 为 的一个对称中心,
故
所以 为 的周期,
由 得 ,又由 时,有 ,
可以画出 与 的图象,如图:
由于 也关于 对称,且当 时, ,
由图象可得,函数 共有 13 个零点,故所有零点之和为 .
故选: D
9. BD
根据题意, 利用特殊角的三角函数, 以及扇形的弧长和面积公式, 逐项分析判断, 即可求解.
对于 ,由点 ,可知 ,
扇形 的面积 ，故 A 错误；
对于 ,经过 ,点 转过了 ,所以点 的坐标为 ,故 正确;
对于 ,经过 ,点 在 的终边上,点 在 的终边上,
所以扇形 的弧长为 ,故 错误;
对于 ,要使得点 第二次重合,则点 走过的弧长减去点 走过的弧长等于 , 设经过了 ,则 ,解得 ,故 正确.
故选: BD.
10. CD
对于 是第二象限角,但不是钝角, 错误;
对于 ,若 ,则 为第三或第四象限角或终边在 轴的负半轴上, 错误;
对于 正确;
对于 ,若 为第二象限角,则 ,所以 ,
若 为偶数时, 为第一象限角;
若 为奇数时,则 为第三象限角.
综上, 为第一象限或第三象限角, 正确.
11. ABD
据中心对称即可求值 ; 由周期的范围求出 的范围,利用函数平移求出周期判断 B 正确; 举例说明判断判断 ; 结合已知单调区间得出 范围判断 .
对于 ,由 及 在 上单调递减,
得 的图象关于点 对称,因此 , A 正确;
对于 ,若 恒成立,则 为函数 的周期或周期的倍数,
即 ,解得 ,而周期 ,则 ,
又 ,即 ,因此 ,即满足条件的 有且仅有 1 个, 正确;
对于 ,取 ,函数 在 上单调递减,
即 也满足要求, 错误;
对于 ,依题意, 为 单调递减区间的子集,
则 ,其中 ,解得 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 的取值范围是 正确.
故选: ABD
12.
根据给定的函数有意义, 列出不等式组, 再利用正余弦函数的性质求解作答.
函数 有意义,则 ,即 ,
解 ,得 ,
解 ,得 ,于是 ,
所以所求定义域为 .
故答案为:
13. .
易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分, 算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案.
第一次是以 为旋转中心,以 为半径旋转 ,
此次点 走过的路径是 .
第二次是以 为旋转中心,以 为半径旋转 ,此次点 走过的路径是 .
第三次是以 为旋转中心，以 为半径旋转 ，此次点 走过的路径是 ，
点 三次共走过的路径是 .
故答案为: .
14.
根据区间 上,求出 的范围,由于在区间 上恰有 2 个最高点, 建立不等式关系,求解即可.
因为 ,所以 ,
依题意得 ，解得 .
故答案为: .
15.
(2)
(1) 利用诱导公式将角全部化成 ,再约分化简即可.
(2)由条件代入解析式得 ,利用诱导公式求解即可.
( 1 )
(2)因为 ，
所以 ,
故 .
16. ;
(2)5.
(1) 利用扇形弧长公式计算即可;
(2)先计算扇环面积, 再化简变形利用基本不等式计算最值即可.
(1)由题意可知: ,
则 ,即 ,
又 ,所以即 ,
所以 ;
(2)易知大扇形 与小扇形 的面积分别为: ，
所以扇环的面积为 ,
结合 (1) 得 ,
则砖雕面积与雕刻费用之比为 ,
整理得
,当且仅当 时等号成立,
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为 5 .
17. (1)30
(2)10或20
(1) 根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式, 再代入对应点解方程, 进而可得摩天轮运行一周的时间;
(2)由已知代入，解方程，解方程即可.
(1)设游客坐上摩天轮的时间为 ,不妨设摩天轮逆时针旋转,
则游客距地面的高度 ,
又摩天轮的半径为 45 , 最高点距离底面高度为 100 ,
则 ,则 ,
所以 ,
又当 时， ，
解得 ,
则 ,
又 时, ,
解得 或 ,
又运行一周的时间不低于 20 分钟,
即 ,解得 ,
即 ,
所以运行一周所需时间 分;
(2)由(1)得 ，
由已知,令 ,
则 或 ,
又 ,则 或 20 .
18. (1)
(2)
(3)
(1) 根据函数的周期可求 的值,再根据 ,结合 的取值范围,可求 的值,进而可得 的解析式.
(2)利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域.
(3)先得到 的解析式，再结合 ，利用正切函数的周期性，可求 的最小值.
(1) 因为最小正周期 . 所以 ,解得 .
因为 ,
所以 ,则 .
解得 .
由 ,得 ,从而 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 ,即 在 上的值域 .
(3)由(1)知 .
因为 ,所以 ,
所以 ,解得 ,
因为 ,所以当 时, 的最小值为 .
19. ;
(2) (i) ; (ii)
(1) 由题意可得 过点 ,且其最大值为 2,即可求得函数的解析式,再分别由 和 求解即可;
(2)(i)由图象的平移可得 ，结合正弦函数的性质求解即可；
(ii) 求得函数 在 上的值域为 ,由 求解即可.
(1) 根据表中已知数据可知: 过点 ,
且其最大值为 2,故可得 ,
由 ,解得 ,
故 ,
所以 ,解得: ,
,解得: ,
,解得: .
综上, ;
(2) (i) ,
令 ,解得: ,
即 ,
所以 的单调递减区间为 ;
(ii) 当 ,使得方程 有解,即 有解,
即 ,
因为 ,所以 ,
所以当 ,即 时, ,
当 ,即 时, ,
所以 ,
解得: .
故 的取值范围为 .
同课章节目录