河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下期03月测试（二）数学试题（含答案0

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026 学年高二下期 03 月测试 (二) 数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数 ,则 的值为( )
A. B. C. -1 D.
2. 已知直线 与直线 平行,则 ( )
A. -3 B. 3 C. 12 D. -12
3. 数列 是各项均为实数的等比数列,则“ ” 是“数列 为递增数列” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某博物馆新增包括 在内的 8 件文物,其中 5 件是清朝的,3 件是唐朝的,且 都是清朝的. 现将这些文物摆成一排,要求 必须相邻,但唐朝的文物不得相邻,则所有不同的摆法种数为( )
A. 1440 B. 2160 C. 2880 D. 3050
5. 在空间直角坐标系中,已知 ,则点 到直线 的距离是 ( )
A. B. C. D.
6. 已知圆 ,直线 ,则下列结论错误的是 ( )
A. 直线 与圆 不可能相切
B. 当 时,圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 1
C. 恰有三条直线与圆 和圆 都相切
D. 直线 与直线 垂直
7. 已知函数 的导函数 满足: 对任意的 都有 ,若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点为 ， ， 为其右支上一点，直线 与左支交于点 ， 且 的平分线与 轴交于点 . 若 ，则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. B. 数列 为等差数列
C. D. 数列 为单调递减数列
10. 设 为坐标原点,已知抛物线 的焦点为 的准线与 轴交于点 ,过点 的直线 与 交于 两点,则()
A. B. 直线 的斜率的取值范围为
C.
D.
11. 设函数 ,则 ( )
A. 当 时, 是 的极大值点
B. 当 时, 有三个零点
C. 若 满足 ,则
D. 当 时,若 在 上有最大值,则
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在等比数列 中, ,则 _____.
13. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为_____.
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现: 已知平面内两个定点 及动点 ,若
( 且 ),则点 的轨迹是圆. 后人以他名字将此圆命名为阿波罗尼斯圆. 在平面直角坐标系中,已知 ,点 满足 ,直线 ,直线 ，若 为 与 的交点，则 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知圆 的圆心在直线 上,且直线 被圆 截得的弦长为 .
(1)求圆 的方程；
(2)过点 作圆 的切线，求切线的方程.
16. 已知单调递增的等差数列 的前 项和为 ,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求 .
17. 如图，在四棱锥 中， 与 均为等腰直角三角形，且 ， 为 的中点.
(1)若 分别为 的中点,求证: 平面 ;
(2)若 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点，求实数 的取值范围；
(3)若 在区间 上有且仅有一个零点,求实数 的取值范围.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的左焦点为 ,若 为直线 上一点,过点 且与 垂直的直线交椭圆 于 两点,线段 的中点为 .
(i) 证明: 点 在直线 上 ( 为原点);
(ii) 求 的面积的最大值,以及此时点 的坐标.
1. A
利用求导法则求导, 代入即可求解.
,所以 , 故选: A
2. A
根据直线平行列方程,由此求得 的值.
因为直线 与直线 平行,所以 ,
即 ,解得 . 经检验成立
故选: A.
3. A
由 ,可得 ,可得数列 为递增数列; 举反例说明反之不成立,根据充分不必要条件的定义即可得答案.
设数列 的公比为 ,
,
,可得 ,
于是数列 为递增数列;
反之不成立,例如数列 是递增数列,但 .
“ ”是“数列 为递增数列”的充分不必要条件.
故选: A.
4. C
用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题,再利用分步乘法原理即可得结果.
先排列 5 件是清朝的,由于 必须相邻,用捆绑法得排列数有: ; 由于唐朝的 3 件文物不得相邻,用插空法得排列数有: ;
由乘法原理得:所有不同的摆法种数为 ,
故选: C.
5. A
先求出 与 的坐标,再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以点 到直线 的距离为 .
故选: A.
6. B
对于 项,求出直线 经过的定点坐标,判断该点与圆的关系,即可判断; 对于 项,代入 ,得出直线的方程,求出圆心到直线的距离,即可得出答案; 对于 项,根据两直线的系数计算即可得出; 对于 项,根据已知可知两圆外切,根据已知求出两圆圆心、半径, 列出方程, 求解即可得出答案.
对于 A 项,整理直线
可得出 ,
解方程组 可得 ,直线 过定点 .
圆 的圆心为 ,半径为 ,
则 ,
所以点 在圆内,即直线 过圆内一定点,
所以,直线 与圆 一定相交,不可能相切.故 正确;
对于 项,当 时,直线 化为 .
此时有圆心 到直线 的距离 ,且 ,
因此圆 上只有两个点到直线 的距离等于 1 . 故 B 错误;
对于 项,圆 可化为 ,
圆心为 ,半径为 .
因为 ,所以两圆外切,
即恰有三条直线与圆 和圆 都相切,故 正确;
对于 项，因为 ，
所以直线 与直线 垂直，故 项正确.
故选:
7. A
由 构造 ,得到其单调性,对不等式变形后得到 ,从而由单调性解不等式,求出答案.
设 ,则 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增,
可变形为 ,
即 ,
由 的单调性可知 ,解得 ,
实数 的取值范围是 .
故选: A
8. B
根据给定条件,利用角平分线性质得到 ,再利用双曲线定义结合余弦定理建立方程求出离心率.
因为 的平分线为 ,所以根据角平分线定理,点 到 和 的距离相等,
所以 ,
由双曲线的定义得到 ,解得 ,
又因为 ,所以
结合 ,解得 ,
所以 ,所以 为等边三角形,即 ,
所以在 中由余弦定理得到 ，
即 ,解得 ,
所以双曲线 的离心率为 .
故选: B.
9.
根据所给递推公式令 求出 ,当 时作差得到 ,即可求出 的通项公式,即可判断 ; 结合等差数列的定义可判断 ; 再根据等比数列求和公式判断 C.
因为 ①,
当 时， ，所以 ，
当 时， ②，
①-②得 ，所以 ，经检验当 时 也成立，所以 ，
则 ,所以 ,即 ,故 A 错误, D 正确;
又 是以 为首项, 为公比的等比数列,则 , 故数列 是公差为 -1 的等差数列,故 B 正确;
,所以 ,即 正确.
故选: BCD.
10. AC
由题设 求参数判断 ,再令 且 ,联立抛物线,应用判别式求参数范围,进而确定斜率范围判断 ,由向量数量积的坐标表示及韦达公式求 判断 ,由抛物线的定义及韦达公式求 判断 .
由题设 ,则 ,故 对, 由题意,直线 的斜率存在且不为 0,令 且 ,联立抛物线得 , 所以 ,则 ,可得 或 , 所以 或 ,则直线 的斜率的取值范围为 错,
由 ,而 ,
所以 ,
所以 对,
由 ,则 ,
而 ,则 , D 错.
故选: AC
11. AC
根据导数的形式讨论导数的符号后可判断 的正误,再讨论单调性后可判断 的正误,根据题设中的恒等式可求 的值,故可判断 的正误.
对于 ,
当 时, 或 时, ; 当 时, ,
故 为 的极大值点,故 正确;
对于 ,当 时,由 的分析同理可得:
当 或 时, ; 当 时, ,
故 在 为减函数,在 上为增函数,
而 ,
,故 只有一个零点;
对于
,
由题设可得 恒成立,
故 即 ,故 正确.
对于 ,取 ，由 的分析可得:
在 为增函数，在 上为减函数，在 为增函数，
而 ,此时 在 无最大值,
故选: AC.
12. 2
根据等比数列通项公式得 ,化简得关于 的方程,解出 的值, 而 ,代入即可.
设等比数列 的公比为 ,首项为 ,显然由题知 , ,
化为 ,解得 或 -1 (舍去),
,
故答案为: 2 .
13.
由题意得到 在 上恒成立,参变分离,只需 ,求出 ,从而得到答案.
,
由题意得 在 上恒成立,
因为 ,所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,只需 ,
其中 ,所以 .
故答案为:
14.
首先根据阿波罗尼斯圆的定义求出点 的轨迹方程,再确定直线 与 的交点 的轨迹,最后根据点与圆的位置关系求出 的最大值.
设 ,由 得到, ,
化简得到 ,因此,点 的轨迹是以 为圆心、半径 的圆,
直线 ，变形为 ，则直线 恒过定点 ，
直线 ,变形为 ,则直线 恒过定点 ,
又因为 ,所以 ,
则点 的轨迹是以 和 为直径端点的圆,圆心坐标为 ,半径为 , 两圆的圆心距为 ,两圆内含.
根据点与圆的位置关系， 的最大值等于两圆的圆心距加上两圆的半径之和，
即 .
故答案为: .
15. (1)
(2) 或 .
(1) 根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果;
(2)分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果.
(1)圆 的圆心为 ,
由圆心在直线 上可得 ,即圆心 ;
易知圆心到直线 的距离为 ,
由弦长公式可得 ,解得 ;
所以圆 的方程为 ;
(2)当切线斜率不存在时,过点 的直线方程为 ，
显然 到 的距离等于 3,符合题意;
当切线斜率存在时,可设过点 的直线方程为 ,
则圆心 到 的距离为 ,解得 ;
此时切线方程为 ,即 ;
综上可知,切线的方程为 或 .
16. (1)
(2)
(1) 设公差为 ,利用等比中项概念与等差数列前 项和的基本量运算可求得 ,从而可写出通项公式;
(2)利用裂项相消法与分组求和法即可求得答案.
(1)设等差数列 的公差为 ,则 ,
因为 成等比数列,所以 ,
由于 ,
所以 ,化简得 .
解得 或 ,又 ,所以 .
故数列 的通项公式为 ;
(2)由(1)得 ，则 ，
则 ,
所以 ,
则
.
17.(1)解法 1: 与 为等腰直角三角形且 ， 所以 .
E 为 的中点， ，
,即 ,
四边形 为平行四边形,故 ,
分别为 的中点, ,所以 ,
平面 平面 平面 ;
解法 2: 取 的中点 的中点 ,连接 ,
与 为等腰直角三角形且 ,
由 .
分别为 的中点,
,且 .
,
四边形 为平行四边形, ,
平面 平面 平面 ;
(2) 平面 ， 以 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设 ,则 ,
,
设平面 的一个法向量为 ,
,取 .
设 与平面 所成角为 ,
则 ,
即 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(1) 若 ,
则 ,
令 ,解得 ,令 ,解得 ,
所以函数 单调递减区间为 ,单调递增区间为 ;
(2)由 ，可得 ，
由 有两个极值点,则 有两个变号零点,即 有两个正根,
所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 ;
(3)由 在区间 上有且仅有一个零点，得 在区间 有一个根， 即 在区间 有一个根,
即 与 在 上有一个交点,
由 ,可得 ,
因为 ,所以 ,
所以 对 恒成立,所以 在 上单调递增,
又 ,
因为 ,可得 ,当 时, ,
所以函数 单调递减,所以 ,所以 ,
所以 时, ,
所以 ,所以实数 的取值范围为 .
19.(1) 由题知 ,
又 ,
椭圆 的标准方程为 .
(2)(i)由题可设 ， ， 的中点为 ，
若直线 的斜率为 0,不存在满足 的点 ,故设 的方程为 ,
代入椭圆方程得 ，
则
的方程为 ,令 ,得 ,
, 过 的中点,即点 在直线 上.
(ii) 由 (i) 可得,
,
而 ,
当且仅当 ,即 时等号成立.
，当且仅当 时等号成立.
的面积最大值为 ，及此时点 的坐标 .