湖北宜昌市葛洲坝中学2025-2026学年高二下学期3月巩固提升数学试题（含答案）

宜昌市葛洲坝中学高二年级 2026 年 3 月巩固提升 数学
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
注意事项:
1. 答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号 涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 用黑 色水性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题(每题 5 分，共 40 分)
1. 已知数列 为等比数列,其中 是方程 的两根，则 ( )
A. B. C. D.
2. 函数 的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3. 双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
4. 函数 在 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知点 在曲线 上,设该曲线在点 处的切线的倾斜角为 ,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 已知圆 被直线 所截得的弧长之比为 , 则实数 的值是( )
A. -3 B. 1 C. 3 D. 4
7. 如图,在空间四边形 中, , 点 分别在 上,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,关于 的方程 有且仅有 4 个不同的实根, 则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题(每题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数 的定义域为 ， 的导函数 的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 在 上单调递减
B. 是 的极小值点
C. 是 的极大值点
D. 曲线 在 处的切线斜率为 2
10. 下列说法正确的有( )
A. 在等差数列 中， ，则前 9 项和 .
B. 已知 为等比数列 的前 项和, ,则 .
C. 已知等差数列 的前 项和为 ,等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 .
D. 数列 为等比数列, ,则 .
11. 已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上的动点，则()
A. 满足 的点 恰有两个 B. 的最小值为 3
C. 的最小值为 -2 D. 的最大值为 3
三、填空题(每题 5 分，共 15 分)
12. 若 ，则与 方向相反的单位向量的坐标为_____.
13. 已知数列 满足 ，且 ，则 _____
14. 已知 ,对任意的 都有 ,则 的取值范围是_____
四、解答题(共 77 分)
15. 已知圆 .
(1)过点 作圆 的切线 ，求 的方程；
(2)若圆 与圆 相交于 、 两点，求公共弦 所在直线的方程及公共弦 的长.
16. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,且 . (1)证明: 为等差数列，并求 .
(2)若 ，数列 的前 项和 ，求证: .
17. 如图，在菱形 中， 为 的中点，将 沿 翻折至 ， 得到四棱锥 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 和平面 所成角的正弦值.
18. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ,且存在 ,使得 成立,求 的取值范围.
19. 已知椭圆 的右焦点为 ,且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)若直线 与椭圆 交于 两点，且直线 为 的角平分线，
(i) 证明: 直线 过定点;
(ii) 求 的最大值.
1. B
由条件列方程可得 ,由此判断 的符号,结合等比数列性质求 可得结论.
由题意可知, ,
易知 ,
由等比数列的性质可知, ,得 ,
由偶数项符号相同可知 .
2. B
求出导函数 ,在定义域内解不等式 可得单调递增区间.
因为 ,所以对函数求导得: , 令 ,即 ,
解得 ,
因此函数的单调递增区间为 .
故选: B.
3. B
因为双曲线 的离心率为 ,
所以 ,则 ,
所以 ,则 ,
所以双曲线的渐近线方程是 .
4. C
先由奇函数排除 选项,再由 时, ,可排除 选项,结合导数研究可得 在 上单调递增,在 上单调递减,结合图像分析即可求解.
由题意, 关于原点对称,又
为奇函数,可排除 选项;
又 时, 可得 ,可排除 选项,
当 时, ,
当 时, ,所以当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,结合图像分析 不对, 选项正确.
5. D
求导, 得到导函数的范围, 即切线斜率的范围, 从而得到倾斜角的范围.
由题意得 ,即 ,
由倾斜角的范围 ,解得 .
故选: D
6. B
根据所给方程,求出圆心 和半径 ,由条件分析可得圆心 到直线 的距离 , 根据点到直线距离公式, 即可求得答案.
将圆 化为标准方程可得 ,由 得, , 则圆心 ,半径 ,
因为圆 被直线 所截得的弧长之比为1:3,
则弧长对应的圆心角之比为1:3,即劣弧所对的圆心角为 ,优弧所对的圆心角为 ,
如图所示，设直线 与圆交于 、 两点，则 ，
在 Rt 中, ,则圆心 到直线 的距离 ,
又圆心到直线 的距离 ,
所以 ,解得 .
7. A
用向量 表示 ,再利用向量模长公式结合数量积计算 .
因为 ,所以
又 ,
所以 ,
所以
, 所以 . 故选: A.
8. A
利用导数判断函数 的单调性,即可作出其图象,由此可得到 的图象,将方程 有且仅有 4 个不同的实根,转化为 和 对应的方程 的根的总数为 4 个,数形结合,即可求解.
由 可得定义域为 ,且 ,
当 且 时, ,函数 单调递增;
当 时, ,函数 单调递减,
所以: 是极大值点, ;
当 时, ; 当 时, ;
由此可作出函数 的图象:
令 ,则原方程 可化为: ,
得 或 ,
原方程 有且仅有 4 个不同的实根,等价于 和 对应的方程 的根的总数为 4 个; 结合 的图象可得 的图象:
由题意知 以及 ,故 ,且 ,
结合 图象,要使得 和 有且仅有 4 个不同的实根,
需满足 且 ,即得 ,此时 有 1 个解, 有 3 个解, 即 .
9. CD
根据导数的正负与函数单调性的关系, 极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误.
由导函数 的图像可知, 时, 在 上单调递增, 当 时, 在 上单调递减,
则 在 上单调递增,故 A 错误,
不是 的极小值点,故 错误,
是 的极大值点,故 正确,
由导函数 的图像可知 ,
所以曲线 在 处的切线斜率为 2,故 正确.
故选: CD.
10. AD
A: ,正确.
B: ,
,所以 ,错误.
C: 由 ,错误.
D: ,所以 , 正确.
11. BCD
先求出抛物线焦点坐标, 再利用抛物线的定义, 结合平面几何知识求解即可.
因为 ,所以焦点为 ,
因为 ,所以点 位于线段 的垂直平分线上,其直线方程为 ,
与抛物线 仅有一个交点,故 错误;
如图 1,点 在抛物线 外,故 的最小值为 ,故 正确;
如图 2,过 作 轴的平行线,与准线交于点 ,与抛物线交于点 ,
根据抛物线定义 ,此时 有最小值 ,故 正确;
因为 ,当且仅当 三点共线且 在 之间时取等号,故 正确.
图1 图2
12.
因为 ,所以 , 则与 方向相反的单位向量为 .
13. 1013
利用数列递推式推出数列 是常数列,求出数列 的通项,即可求得答案.
由 ,可得 ,即数列 是常数列,
因 ,则 ,即得 ,故 .
故答案为: 1013 .
14.
把 转化成 ,设 ,通过分析函数 的单调性, 得到 ,再分离参数,转化成 ,设 ,转化为恒成立问题,求函数 的最小值即可.
令 ,则
,当 时,
在 上单调递增
令 ,则 ,由 ,
所以 在 上单调递减,在
所以 .
故答案为:
15. (1) 或
(2)
(1) 求出圆心和半径,求出 的值判断出 在圆 的外部,分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解, 当切线的斜率存在时, 利用点斜式设出切线方程, 求出圆心 到直线切线的距离 ，由 得到 的方程，解出 的值，将 代入切线方程得到所求.
(2)两圆相减得到公共弦 所在直线的方程；求出圆心 到直线 的距离为 ， 则 计算得解.
(1) ,
,
,
在圆 的外部,
当切线不存在斜率时,切线方程为 ,
此时圆心 到直线 的距离为 ,
则直线 不是圆 的切线;
当切线存在斜率时,设切线方程为 ,
即 ,
圆心 到直线 的距离为 , 解得 或 ,
当 时,切线方程为 ,即 ;
当 时,切线方程为 ,即 ;
综上可得,切线 的方程为 或 .
(2) ①，
②,
①②这两个等式相减，得到 ，即 ，
则公共弦 所在直线的方程为 ;
圆心 到直线 的距离为 ,
则
即公共弦 的长为 .
16.(1) ,
所以数列 是以 为首项， 2 为公差的等差数列,
所以 ;
(2) , .
17.(1)由题意得， 为等边三角形，
又 为 中点,所以 ,故 .
又因为 ,所以 平面 .
又因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)如图，以 为原点， ， 以及垂直于平面 的直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
由( 1 )知， ，
又 ,所以 即为二面角 的平面角,即 .
则 .
,
设平面 的法向量 ,
则 ,即 ,取
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.
(2)
(1) 求导, 即可根据点斜式求解切线方程,
(2)求导，可得函数的单调性，进而对 与 的大小讨论，即可分类求解.
(1) 当 时, ,有 ,由 ,有 , 故曲线 在点 处的切线方程为 .
(2) ，其中 ， ，
时, 时, ,
故 在 上单调递减,在 上单调递增.
若 ,则 时, ,不符合题意;
若 ,则 时, ,
由题意,有 ,即 ,
因为 ,有 ,即 ,得 ,
故 的取值范围是 .
19.(1) 因为椭圆右焦点坐标为 ,所以 ,因为椭圆过点 ,所以 ,因为 , 所以解得 ,所以椭圆 方程为 .
(2)(i)设直线 与直线 交于点 ，所以 ，所以
,所以 ,
显然,直线 的斜率存在且不为 0,则直线 的方程为 ,且
由 可得 ,所以 ,
所以 ,整理可得,
所以 ,解得 ,所以直线 的方程为 ,所以直线 过定点 .
(ii) 由 (i) 可得 ,由 , 解得 ,且 ,所以
代入可得 ,令 ,所以
所以当 ,即 ,所以 的最大值为 .