湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 329.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
衡阳县五中 2026 年春高二 3 月月考 数学
分值: 150 分 时间: 120 分钟
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每小题四个选项中只有一 项符合题目要求.
1. 已知复数 满足 ，则 在复平面上对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知点 ,曲线上的动点 到 的距离之差为 6,则曲线方程为 ( )
A. B.
C. D.
3. 若抛物线 的焦点与椭圆 的左焦点重合,则 的值为( )
A. B. C. -2 D. 2
4. 直线 与圆 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与 有关
5. 甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有 ( )
A. 720 种 B. 1440 种 C. 2880 种 D. 4320 种
6. 数列 满足 ,则 的前 100 项之和等于( )
A. B. C. D.
7. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 ， 的中点，则直线 到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,且 ,则 ( )
A. -100 B. 0 C. 100 D. 10200
二、选择题, 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 的长轴长为
C. 的短轴长为4
D. 的离心率为
10. 设抛物线 的焦点为 . 点 在 轴上,若线段 的中点 在抛物线上, 且点 到抛物线准线的距离为 ，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
11. 已知数列 满足 ,则下列结论正确的有( )
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前 项和
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 的展开式中的常数项为_____.
13. 已知圆 ,直线 上至少存在一点 ,使得以点 为圆心, 1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的最小值是_____.
14. 设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆上一点，
，则椭圆离心率的取值范围为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知直线 ，直线 ，直线 .
(1)若 与 的倾斜角互补，求 的值；
(2)当 为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.
16. 如图,在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①: ;
条件②: .
注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17. 记 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明: .
18. 已知斜率为 的直线 与抛物线 相交于 两点.
(1)求线段 中点纵坐标的值；
(2)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线相交于 ， 两点(异于 ， ). 则在 轴上是否存在一定点 ,使得直线 恒过该点 若存在,求出点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19. 已知椭圆 的离心率为 ,椭圆 上的点到两焦点的距离之和为 4 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，点 在椭圆 上，直线 与直线 ， 分别交于点 . 设 与 的面积分别为 ,比较 与 的大小.
1. D
先由复数的除法运算法则求得复数 ,再由复数的几何意义求解即可
因为 ,
所以 ,
所以 在复平面上对应的点 所在的象限是第四象限,
故选: D
2. A
由题意可得 ,根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解.
由题意可得 ,
由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线一支,且 ,即 ,
所以 .
又因为焦点在 轴上,所以曲线方程为 .
故选:A.
3. A
因为椭圆的左焦点坐标为 ,抛物线的焦点坐标为 ,所以 ,即 ,故选 A
4. A
根据圆心在直线上, 利用直线与圆的位置关系即可求解.
由题可得,圆心为 ,又点 满足直线 方程,
即直线 经过圆心 ，
所以直线 与圆 相交.
故选: A.
5. B
依题意环排问题转换为线排问题, 再根据插空法求解.
环排问题线排策略, 增加一个凳子.
九个凳子排一排, 甲放一号和九号, 中间剩余七个位置可选, 再将其他五人放入中间有 种.
甲、乙、丙两两不相邻. 乙、丙只能放中间四空中共有 种,
由分步计数原理得总数 种.
故选: B.
6. B
利用裂项相消法求和.
,
,
,
故选: B.
7. B
以 为原点建立空间直角坐标系,利用空间坐标运算,即可求得点 到平面 的距离,又可证得 平面 ,即可得出直线 到平面 的距离.
在直三棱柱 中, ,
如图所示,以 为原点建立空间直角坐标系,
因为 ， 、 分别为 ， 的中点，
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
即 ,取 ,则 ,
所以 是平面 的一个法向量,
又因为 ,
所以点 到平面 的距离为 .
因为在直三棱柱 中, 分别为 的中点,
则 且 ,所以四边形 是平行四边形,
所以 ,又 平面 平面 ,
所以 平面 ，
则点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离.
故选: B.
8. A
对 分成偶数和计算两种情况进行分类讨论,结合分组求和法求得正确答案.
若 为偶数,则 ,
所以 ,
所以数列 的偶数项是首项为 ,公差为 -4 的等差数列;
若 为奇数,则 ,
所以 ,
所以数列 的奇数项是首项为 ,公差为 4 的等差数列.
所以
.
故选: A
9.
由题意可得椭圆的焦点在 轴上,且 ,可得 ,求出椭圆的方程, 然后逐一判断各选项即可.
由题意可得椭圆的焦点在 轴上,且 ,
所以 ,且 ,
解得 ,故 A 正确;
所以椭圆 ,
所以 ,
所以 的长轴长为 ，故 正确；
所以 的短轴长为 ，故 错误；
所以 ,故 错误.
故选: AB.
10.
焦点为 ,准线为 ,由中点坐标公式可得 ,由抛物线定义可列方程解得 ,即可依次求得 .
由题意得,焦点为 ,准线为 ,
设 的坐标为 ,由 为 的中点得 ,即
由点 到抛物线准线的距离为 得 ,解得 ,
则抛物线为 ,则 ,故
故 的坐标为 或
故选: BC
11. AB
将给定的递推公式两边取倒数, 构造等比数列, 求出通项并逐项判断作答.
,
,又 ,
是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,故 A 正确;
所以 ,则 ,
,故 B 正确;
因为 ,所以 为递减数列,故 C 错误;
数列 的前 项和
,故 D 错误.
故选: AB.
12. 60
利用 展开式的通项公式 ,可求常数项.
展开式的通项为 .
令 ,得 ,则 的常数项为 .
故答案为: 60 .
13.
将圆 的方程化为标准方程,得 ,故圆心为 ,半径 . 因为直线 上至少存在一点 ,使得以点 为圆心,1 为半径的圆与圆 有公共点, 所以点 到直线 的距离小于或等于 2,
即 ,解得 ,所以实数 的最小值是 .
14.
设 ,则 ,由椭圆定义可得 即 ,由勾股定理可得 ,两式相除可得 ,再令 由函数的性质可得 的范围,进而可得椭圆离心率的取值范围.
设 ,由椭圆的定义可得 ,
设 ,则 ,所以 ,即 ,①
因为 ,所以 ,②
两式相除可得 ,
令 可得 ,
所以
因为 ,所以 ,
所以当 即 时 取得最小值 ,此时 最小为 ,
当 或 即 时 取得最大值 ，此时 最大为 ，
所以椭圆离心率的取值范围为 ,
故答案为: .
15.
(2) .
(1) 根据题意得 ,进而求解得答案;
(2)根据题意，分别讨论 与 垂直， 与 垂直， 与 垂直求解，并检验即可得答案.
( 1 )解:因为 与 的倾斜角互补，
所以 ,
直线 变形为 ，故
所以 ,解得
(2)解:由题意，若 和 垂直可得:
,解得 ,
因为当 时, ,构不成三角形,
当 时,经验证符合题意; 故 ;
同理,若 和 垂直可得: ,解得 ,舍去; 若 和 垂直可得: ，解得 或 ,经验证符合题意;
故 的值为: .
16. (1)取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形,
而 ,则 ,
而 平面 平面 ,故 平面 ,
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ,
故平面 平面 ,而 平面 ,故 平面 ,
(2)因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ,故 平面 ,
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系,则 ,
故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,从而 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,则
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ,而 ,故 ,
而 ,故 ,
所以 ,故 ,
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系,则 ,
故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,从而 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,则
17.(1) 解: 当 时, ,
当 时, ,
当 时,上式也成立,
所以 ;
(2)当 时， ，
所以 成立,
假设当 时,不等式成立,
即 ,
则当 时, ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
即当 时,不等式也成立.
综上， .
18.
(2)存在， 的坐标为
(1) 设 ,代入抛物线方程相减(点差法)即可得；
(2)设 轴上存在定点 ，设直线 ，同时设 ， ， ,直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得 ,由三点共线得 ,结合直线 的斜率可得 值. 即定点坐标.
(1)设 ，其中 .
由 ,得 . 化简得 .
,即 .
线段 中点纵坐标的值为 .
(2)设 轴上存在定点 ，由题意，直线 斜率存在且不为 0，设直线
由 ,消去 ,得 .
.
.
三点共线,
. 解得 .
同理,可得 .
又 ,
. 解得 .
直线 恒过定点 .
19.
(2)
(1) 根据椭圆定义以及离心率可求出 ,再根据 的关系求出 ,即可得到椭圆方程;
(2)法一:联立直线方程求出点 坐标，即可求出 ，再根据 ，即可得出它们的大小关系.
法二: 利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到 ,再根据三角形的面积公式即可解出.
(1) 由椭圆可知, ,所以 ,又 ,所以 ,
,
故椭圆 的方程为 ;
(2)联立 ，消去 得， ，
整理得, ①,
又 ，所以 ， ，
故①式可化简为 ,即 ,所以 ,
所以直线 与椭圆相切, 为切点.
设 ,易知,当 时,由对称性可知, .
故设 ,易知 ,
联立 ,解得 ,
联立 ，解得 ，
所以
故 .
法二: 不妨设 ,易知,当 时,由对称性可知, .
故设 ,
联立 ,解得 ,
联立 ,解得 ,
若 ,则 ,
由对称性,不妨取 ,则 ,
,所以 ,
同理,当 时, ,
当 时,则 , 又 ,所以 ,
所以
,
则 ,即 ,
所以 .
分值: 150 分 时间: 120 分钟
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每小题四个选项中只有一 项符合题目要求.
1. 已知复数 满足 ，则 在复平面上对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知点 ,曲线上的动点 到 的距离之差为 6,则曲线方程为 ( )
A. B.
C. D.
3. 若抛物线 的焦点与椭圆 的左焦点重合,则 的值为( )
A. B. C. -2 D. 2
4. 直线 与圆 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与 有关
5. 甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有 ( )
A. 720 种 B. 1440 种 C. 2880 种 D. 4320 种
6. 数列 满足 ,则 的前 100 项之和等于( )
A. B. C. D.
7. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 ， 的中点，则直线 到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,且 ,则 ( )
A. -100 B. 0 C. 100 D. 10200
二、选择题, 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 的长轴长为
C. 的短轴长为4
D. 的离心率为
10. 设抛物线 的焦点为 . 点 在 轴上,若线段 的中点 在抛物线上, 且点 到抛物线准线的距离为 ，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
11. 已知数列 满足 ,则下列结论正确的有( )
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前 项和
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 的展开式中的常数项为_____.
13. 已知圆 ,直线 上至少存在一点 ,使得以点 为圆心, 1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的最小值是_____.
14. 设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆上一点，
，则椭圆离心率的取值范围为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知直线 ，直线 ，直线 .
(1)若 与 的倾斜角互补，求 的值；
(2)当 为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.
16. 如图,在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， 分别为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①: ;
条件②: .
注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17. 记 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明: .
18. 已知斜率为 的直线 与抛物线 相交于 两点.
(1)求线段 中点纵坐标的值；
(2)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线相交于 ， 两点(异于 ， ). 则在 轴上是否存在一定点 ,使得直线 恒过该点 若存在,求出点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19. 已知椭圆 的离心率为 ,椭圆 上的点到两焦点的距离之和为 4 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，点 在椭圆 上，直线 与直线 ， 分别交于点 . 设 与 的面积分别为 ,比较 与 的大小.
1. D
先由复数的除法运算法则求得复数 ,再由复数的几何意义求解即可
因为 ,
所以 ,
所以 在复平面上对应的点 所在的象限是第四象限,
故选: D
2. A
由题意可得 ,根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解.
由题意可得 ,
由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线一支,且 ,即 ,
所以 .
又因为焦点在 轴上,所以曲线方程为 .
故选:A.
3. A
因为椭圆的左焦点坐标为 ,抛物线的焦点坐标为 ,所以 ,即 ,故选 A
4. A
根据圆心在直线上, 利用直线与圆的位置关系即可求解.
由题可得,圆心为 ,又点 满足直线 方程,
即直线 经过圆心 ，
所以直线 与圆 相交.
故选: A.
5. B
依题意环排问题转换为线排问题, 再根据插空法求解.
环排问题线排策略, 增加一个凳子.
九个凳子排一排, 甲放一号和九号, 中间剩余七个位置可选, 再将其他五人放入中间有 种.
甲、乙、丙两两不相邻. 乙、丙只能放中间四空中共有 种,
由分步计数原理得总数 种.
故选: B.
6. B
利用裂项相消法求和.
,
,
,
故选: B.
7. B
以 为原点建立空间直角坐标系,利用空间坐标运算,即可求得点 到平面 的距离,又可证得 平面 ,即可得出直线 到平面 的距离.
在直三棱柱 中, ,
如图所示,以 为原点建立空间直角坐标系,
因为 ， 、 分别为 ， 的中点，
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
即 ,取 ,则 ,
所以 是平面 的一个法向量,
又因为 ,
所以点 到平面 的距离为 .
因为在直三棱柱 中, 分别为 的中点,
则 且 ,所以四边形 是平行四边形,
所以 ,又 平面 平面 ,
所以 平面 ，
则点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离.
故选: B.
8. A
对 分成偶数和计算两种情况进行分类讨论,结合分组求和法求得正确答案.
若 为偶数,则 ,
所以 ,
所以数列 的偶数项是首项为 ,公差为 -4 的等差数列;
若 为奇数,则 ,
所以 ,
所以数列 的奇数项是首项为 ,公差为 4 的等差数列.
所以
.
故选: A
9.
由题意可得椭圆的焦点在 轴上,且 ,可得 ,求出椭圆的方程, 然后逐一判断各选项即可.
由题意可得椭圆的焦点在 轴上,且 ,
所以 ,且 ,
解得 ,故 A 正确;
所以椭圆 ,
所以 ,
所以 的长轴长为 ，故 正确；
所以 的短轴长为 ，故 错误；
所以 ,故 错误.
故选: AB.
10.
焦点为 ,准线为 ,由中点坐标公式可得 ,由抛物线定义可列方程解得 ,即可依次求得 .
由题意得,焦点为 ,准线为 ,
设 的坐标为 ,由 为 的中点得 ,即
由点 到抛物线准线的距离为 得 ,解得 ,
则抛物线为 ,则 ,故
故 的坐标为 或
故选: BC
11. AB
将给定的递推公式两边取倒数, 构造等比数列, 求出通项并逐项判断作答.
,
,又 ,
是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,故 A 正确;
所以 ,则 ,
,故 B 正确;
因为 ,所以 为递减数列,故 C 错误;
数列 的前 项和
,故 D 错误.
故选: AB.
12. 60
利用 展开式的通项公式 ,可求常数项.
展开式的通项为 .
令 ,得 ,则 的常数项为 .
故答案为: 60 .
13.
将圆 的方程化为标准方程,得 ,故圆心为 ,半径 . 因为直线 上至少存在一点 ,使得以点 为圆心,1 为半径的圆与圆 有公共点, 所以点 到直线 的距离小于或等于 2,
即 ,解得 ,所以实数 的最小值是 .
14.
设 ,则 ,由椭圆定义可得 即 ,由勾股定理可得 ,两式相除可得 ,再令 由函数的性质可得 的范围,进而可得椭圆离心率的取值范围.
设 ,由椭圆的定义可得 ,
设 ,则 ,所以 ,即 ,①
因为 ,所以 ,②
两式相除可得 ,
令 可得 ,
所以
因为 ,所以 ,
所以当 即 时 取得最小值 ,此时 最小为 ,
当 或 即 时 取得最大值 ，此时 最大为 ，
所以椭圆离心率的取值范围为 ,
故答案为: .
15.
(2) .
(1) 根据题意得 ,进而求解得答案;
(2)根据题意，分别讨论 与 垂直， 与 垂直， 与 垂直求解，并检验即可得答案.
( 1 )解:因为 与 的倾斜角互补，
所以 ,
直线 变形为 ，故
所以 ,解得
(2)解:由题意，若 和 垂直可得:
,解得 ,
因为当 时, ,构不成三角形,
当 时,经验证符合题意; 故 ;
同理,若 和 垂直可得: ,解得 ,舍去; 若 和 垂直可得: ，解得 或 ,经验证符合题意;
故 的值为: .
16. (1)取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形,
而 ,则 ,
而 平面 平面 ,故 平面 ,
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ,
故平面 平面 ,而 平面 ,故 平面 ,
(2)因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ,故 平面 ,
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系,则 ,
故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,从而 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,则
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ,而 ,故 ,
而 ,故 ,
所以 ,故 ,
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系,则 ,
故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,从而 ,取 ,则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,则
17.(1) 解: 当 时, ,
当 时, ,
当 时,上式也成立,
所以 ;
(2)当 时， ，
所以 成立,
假设当 时,不等式成立,
即 ,
则当 时, ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
即当 时,不等式也成立.
综上， .
18.
(2)存在， 的坐标为
(1) 设 ,代入抛物线方程相减(点差法)即可得；
(2)设 轴上存在定点 ，设直线 ，同时设 ， ， ,直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得 ,由三点共线得 ,结合直线 的斜率可得 值. 即定点坐标.
(1)设 ，其中 .
由 ,得 . 化简得 .
,即 .
线段 中点纵坐标的值为 .
(2)设 轴上存在定点 ，由题意，直线 斜率存在且不为 0，设直线
由 ,消去 ,得 .
.
.
三点共线,
. 解得 .
同理,可得 .
又 ,
. 解得 .
直线 恒过定点 .
19.
(2)
(1) 根据椭圆定义以及离心率可求出 ,再根据 的关系求出 ,即可得到椭圆方程;
(2)法一:联立直线方程求出点 坐标，即可求出 ，再根据 ，即可得出它们的大小关系.
法二: 利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到 ,再根据三角形的面积公式即可解出.
(1) 由椭圆可知, ,所以 ,又 ,所以 ,
,
故椭圆 的方程为 ;
(2)联立 ，消去 得， ，
整理得, ①,
又 ，所以 ， ，
故①式可化简为 ,即 ,所以 ,
所以直线 与椭圆相切, 为切点.
设 ,易知,当 时,由对称性可知, .
故设 ,易知 ,
联立 ,解得 ,
联立 ，解得 ，
所以
故 .
法二: 不妨设 ,易知,当 时,由对称性可知, .
故设 ,
联立 ,解得 ,
联立 ,解得 ,
若 ,则 ,
由对称性,不妨取 ,则 ,
,所以 ,
同理,当 时, ,
当 时,则 , 又 ,所以 ,
所以
,
则 ,即 ,
所以 .
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