湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试数学试题（人教版）（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试数学试题（人教版）（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 625.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ）
A．62 B．66 C．56 D．46
4．平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（ ）
A． B． C．-4 D．4
5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么10h后的污染物含量是初始含量的（ ）
A． B． C． D．
6．游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（ ）
A．336 B．120 C．56 D．24
7．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥
C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立
10．已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以4为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有4个零点
11．过点的直线分别交正半轴于点，则（ ）
A．△面积最小时，的方程为
B．最小时，点到直线的距离为
C．的最小值为
D．周长最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量，若，则 ．
13．已知等差数列的首项，公差，前项和，则 ．
14．已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
16．已知曲线在处的切线为.
(1)求切线的方程；
(2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）.
17．已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
18．已知椭圆的长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知曲线为该曲线上不同的三点，若直线均与椭圆相切，请判断直线与椭圆是否相切并说明理由．
19．甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走.若第（）次抛掷得到的点数（），记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走.记数列的前项和为，次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时.
(1)当时，求的概率和的概率；
(2)当时，求随机变量的概率分布列和期望；
(3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件（，）的联系，并求的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试
数学试题（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D B D C D BD BC
题号 11
答案 ACD
12由题意，.
故答案为：.
13．因为等差数列的首项，公差，前项和，
由得，
解得.
故答案为：6.
14因为点是的外心，所以过作的垂线，交于点，则为的中点.
由题可知，，所以，所以.
因为，所以.所以为等腰三角形.
连接，延长交于点，则为的中点.
设，则.
由，得；
所以；
由，，
得.
所以，解得.
设，则，，所以，.
由，得，所以，所以.
所以.
15．（1）由，得，
即，得，又，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
则，所以.
（2）由（1）知，，
，
两式相减得，
所以.
16．（1）由，得，所以，
又，所以切线方程为，即；
（2）结合（1），令，则，
令，则，
令，得，所以时，时，
所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增，
注意到，所以有唯一根，
时，在上单调递减，
时，在上单调递增，
所以函数，则，当且仅当时取等号，
所以切线在曲线的下方（切点除外），得证.
17．（1）时，，，
时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以.
（2），
时，，在上单调递增，无极值；
时，时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以的极大值为，
令，则，
所以在区间上单调递增，由已知，
所以，解得，
综上，.
18（1）由题意可得，解得，
又因为离心率为，所以，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）直线与椭圆相切，理由如下：
设，
则．
直线的方程为，
即．
同理可得直线的方程为，
直线的方程为，
与椭圆方程联立得，
化简得．
由与椭圆相切可得，即，①
由与椭圆相切同理可得，②
那么若证出③，则与椭圆相切．
下证与椭圆相切：
由①②可知，可以看作方程的两个根，
由韦达定理得.
所以
，
故③成立，
所以直线与椭圆相切.
19．（1），，
的情形有：，，
合计8种，.
（2）由（1）可知，，
的情形有，，，
，合计9种，，
的情形有，，，
，合计9种，，
的情形有：，，
，合计10种，，
的概率分布列为
. 0 1 2 3
的数学期望.
（3），
事件（，）表示40个相乘后得到的组合方式的数量，
表示第40次抛掷骰子后，甲在C处，那么，其方法数为对应式子中（）时所有的数量之和，
所以，
展开式中令，得到，
令，得到，
因此，，
令，得到，
又因为，虚部为0，
所以，
因此，，
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ）
A．62 B．66 C．56 D．46
4．平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（ ）
A． B． C．-4 D．4
5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么10h后的污染物含量是初始含量的（ ）
A． B． C． D．
6．游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（ ）
A．336 B．120 C．56 D．24
7．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥
C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立
10．已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以4为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有4个零点
11．过点的直线分别交正半轴于点，则（ ）
A．△面积最小时，的方程为
B．最小时，点到直线的距离为
C．的最小值为
D．周长最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量，若，则 ．
13．已知等差数列的首项，公差，前项和，则 ．
14．已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
16．已知曲线在处的切线为.
(1)求切线的方程；
(2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）.
17．已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
18．已知椭圆的长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知曲线为该曲线上不同的三点，若直线均与椭圆相切，请判断直线与椭圆是否相切并说明理由．
19．甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走.若第（）次抛掷得到的点数（），记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走.记数列的前项和为，次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时.
(1)当时，求的概率和的概率；
(2)当时，求随机变量的概率分布列和期望；
(3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件（，）的联系，并求的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
湖南省衡阳市2026年高三第一次模拟考试
数学试题（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D B D C D BD BC
题号 11
答案 ACD
12由题意，.
故答案为：.
13．因为等差数列的首项，公差，前项和，
由得，
解得.
故答案为：6.
14因为点是的外心，所以过作的垂线，交于点，则为的中点.
由题可知，，所以，所以.
因为，所以.所以为等腰三角形.
连接，延长交于点，则为的中点.
设，则.
由，得；
所以；
由，，
得.
所以，解得.
设，则，，所以，.
由，得，所以，所以.
所以.
15．（1）由，得，
即，得，又，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
则，所以.
（2）由（1）知，，
，
两式相减得，
所以.
16．（1）由，得，所以，
又，所以切线方程为，即；
（2）结合（1），令，则，
令，则，
令，得，所以时，时，
所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增，
注意到，所以有唯一根，
时，在上单调递减，
时，在上单调递增，
所以函数，则，当且仅当时取等号，
所以切线在曲线的下方（切点除外），得证.
17．（1）时，，，
时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以.
（2），
时，，在上单调递增，无极值；
时，时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以的极大值为，
令，则，
所以在区间上单调递增，由已知，
所以，解得，
综上，.
18（1）由题意可得，解得，
又因为离心率为，所以，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）直线与椭圆相切，理由如下：
设，
则．
直线的方程为，
即．
同理可得直线的方程为，
直线的方程为，
与椭圆方程联立得，
化简得．
由与椭圆相切可得，即，①
由与椭圆相切同理可得，②
那么若证出③，则与椭圆相切．
下证与椭圆相切：
由①②可知，可以看作方程的两个根，
由韦达定理得.
所以
，
故③成立，
所以直线与椭圆相切.
19．（1），，
的情形有：，，
合计8种，.
（2）由（1）可知，，
的情形有，，，
，合计9种，，
的情形有，，，
，合计9种，，
的情形有：，，
，合计10种，，
的概率分布列为
. 0 1 2 3
的数学期望.
（3），
事件（，）表示40个相乘后得到的组合方式的数量，
表示第40次抛掷骰子后，甲在C处，那么，其方法数为对应式子中（）时所有的数量之和，
所以，
展开式中令，得到，
令，得到，
因此，，
令，得到，
又因为，虚部为0，
所以，
因此，，
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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