21.3.3 正方形 第1课时 跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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21.3.3 正方形 第1课时 跟踪练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）．
A．4 B．8 C．12 D．16
3．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（ ）
A．146 B．76 C．84 D．60
6．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
7．如图，点E、F分别是正方形内部、外部一点，四边形与四边形均为菱形、则的度数等于______．
8．如图，四边形是正方形，延长到点，使，则______．
9．如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____．
10．如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______．
11．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是______．
12．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________．
13．如图，在正方形中，连接，F为边上一点，连接交于点E，连接，若，则的度数为_____°；
三、解答题
14．如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证：
(1)；
(2)平分．
15．已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
16．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知．
(1)求证：；
(2)求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B B D A
1．B
【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵是正三角形，
∴，
∴．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形的面积的一半是解题的关键．
【详解】解：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=，
∵正方形的边长为，
∴阴影部分的面积=．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断．
【详解】
解：根据图③的剪法，展开后所得图形为，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解．
【详解】解：连接，，
由题意知：四边形，四边形都是正方形，
，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查求四边形面积，涉及正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识，熟记正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识是解决问题的关键．
先由正方形性质得到，，在中，由勾股定理求出正方形边长，最后由梯形面积公式代值计算即可得到答案．
【详解】解：在正方形中，，，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
四边形的面积为，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可．
【详解】解：连接，
由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，
根据题意，得阴影部分的面积是，
故选：A．
7．/度
【分析】利用正方形和性质证明是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，四边形与四边形均为菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形和菱形性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
8．
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由正方形的性质可得，进而由等腰三角形的性质得，再根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．9
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴四边形的面积为：
．
故答案为：9．
10．42
【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可．
【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4，
∴三个正方形的面积和为,
∵三点分别是正方形的中心，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：42．
11．/
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，由已知，且，
，
，
，
，是的中点，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得，即．
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答．
【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴
∵
∴，
∴，
则，
故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积，
∴，
那么两个正方形重叠的部分的面积等于，
故答案为：．
13．70
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键；由正方形的性质、三角形外角的性质可求得的度数；证明，得，即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
故答案为：70．
14．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形是判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合正方形的性质得，证明，即可作答．
（2）结合，得出，根据，即，则，得证平分．
【详解】（1）解：∵四边形，都是正方形，
∴，
则，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点分别作，如图所示：
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
则，
即点A在的平分线上，
∴平分．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键．
（1）只需要利用证明即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得到，再导角即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．(1)见解析；
(2)的长为．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证；
（）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
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