21.3.3 正方形 第3课时 跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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21.3.3 正方形 第3课时 跟踪练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件（ ）
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）

A． B． C．或 D．或
3．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．18 C．15 D．12
5．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．14
6．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在矩形的边AD上的点N处，点A落在点G处，有以下列结论：①△ABE≌△GNE，②四边形BFNE是菱形，③当点N与点D重合时，EF=2，④四边形BFNE的面积S的取值范围是：.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
7．如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____．
8．如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是__．
9．在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么______秒后四边形为矩形？
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE、BF．下列说法：
①四边形DEBF为平行四边形
②若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形
③若AE＝5，则四边形DEBF为菱形
④若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形
正确的有：_____（填序号）．
三、解答题
12．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值．
13．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的周长．
14．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长．
15．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为8，，则_________．
16．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B D D B D
1．D
【分析】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线必然互相垂直．
【详解】解：四边形的中点四边形是一个矩形，
四边形的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则，
设运动时间为，
当时，，，
∴，
，
∴(舍去)；
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：(舍去)；
综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形．
故选:B．
3．D
【分析】取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值．
【详解】解：因为，为的中点，
取的中点，连接MN，CN，
易得，
所以.
在点的运动过程中，的值不变，
因为，
当，，三点在同一条直线上时，最小，
此时．
故选：D
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．
4．D
【分析】令与的交点为O，可得，解答即可．
【详解】令与的交点为O，
则
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，注意：求不规则图形的面积可由三角形的面积相加．
5．B
【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
6．D
【分析】①由矩形的性质，折叠可知：∠A=∠G=90°AB=GN，BE=EN，可以证明Rt△ABE≌Rt△GNE（HL），故①正确；
②由矩形的性质，折叠可知：EN∥BF，BF=FN，所以得到∠NEF=∠BFE，可以证EN=BF，又因为EN∥BF，所以四边形EBFN为平行四边形；又因为BF=NF，即可证明四边形EBFN为菱形；故②正确；
③当点N与点D重合时，如图所示：可得AB=CD= ，BC=3，在Rt BCN中，由勾股定理可得BN ，求出NO=NC=，证明Rt NOF Rt NCF（HL），得到FC=FO，在Rt NFC中，设FC=x，则NF=3-x，由勾股定理可得 ，解得：FC=FO=1，所以EF=2FO=2，故③正确；
④当N和D重合时，菱形BFNE面积最大，S最大= ；当N和A重合时，菱形BFNE面积最小，S最小= ，可以四边形BFNE的面积S的取值范围得④正确；
【详解】①由矩形的性质，折叠可知：∠A=∠G=90°AB=GN，BE=EN
在Rt△ABE和Rt△GNE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△GNE（HL），故①正确；
②由矩形的性质，折叠可知：EN∥BF，BF=FN
∵EN∥BF
∴∠NEF=∠BFE，
又因为∠BFE=∠NFE，
∴∠NEF=∠NFE
∴EN=FN，
∴EN=BF
又因为EN∥BF
∴四边形EBFN为平行四边形；
又因为BF=NF
∴四边形EBFN为菱形；故②正确；
③当点N与点D重合时，如图所示：
AB=CD= ，BC=3，
在Rt BCN中，由勾股定理
BN= ，
，
∴N0=NC= ，
在Rt NOF和Rt NCF中，
∴Rt NOF Rt NCF（HL），
∴FC=FO
在Rt NFC中，设FC=x，则NF=3-x，由勾股定理可得，
∴
解得：x=1
∴FC=FO=1，
∴EF=2FO=2，故③正确；
当N和D重合时，
菱形BFNE面积最大，S最大= ；
当N和A重合时，
菱形BFNE面积最小，S最小= ，
四边形BFNE的面积S的取值范围是：
故④正确；
故正确的序号是：①②③④；
故选：D
【点睛】本题考查了矩形折叠问题，此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键；
7．5
【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
菱形的面积为10，
，，
，F，G，H分别是边的中点，
、、分别为、、的中位线，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
平行四边形为矩形，
四边形的面积为：，
故答案为：
8．27
【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形．由三角形中位线定理推出，，得到四边形是平行四边形，由，，，推出，得是矩形，即可求出四边形的面积．
【详解】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
四边形是矩形，
四边形的面积．
故答案为：27．
9．5
【分析】设动点的运动时间为秒，根据题意得，，根据矩形的对边相等，求出的值，即可解决问题．
【详解】解：设动点的运动时间为秒，
由题意得：，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
解得．
即当秒时，四边形是矩形．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的性质．
10．①②③
【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2．
【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
11．①②③
【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．
【详解】解：∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDO=∠EBO，∠DFO=∠OEB，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形，故①正确；
∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，
∴，
假设DE⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∴当AE=3.6时，DE⊥AB，
∴四边形DEBF为矩形，故②正确；
∵AB=10，AE＝5，AD⊥BD，
∴ED=BE=AE，
∴四边形DEBF为菱形，故③正确；
由③得，当AE＝5时，四边形DEBF为菱形，
∴当AE＝4.8时，四边形DEBF不为菱形，
∴若AE＝4.8，四边形DEBF不可能为正方形，故④错误；
故答案为：①②③ ．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
12．DN＋MN的最小值为10．
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，确定最小值为BM的长度，再由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，
∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点N为AC上的动点，
∴由三角形两边之和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，
∠BCM＝90°，
BM＝，
即DN＋MN的最小值为10.
【点睛】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
13．(1)见解析
(2)25
【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
（1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形；
（2）由（1）得，结合，，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点，
点E、F、G、H分别是边的中点，
是的中位线，即，
同理，是的中位线，即，
是的中位线，即，
是的中位线，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，
，，
，
四边形的周长为：．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可；
（2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接相交于点O，
点分别是四边形各边的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）点分别是四边形各边的中点，
，
矩形的周长为12，面积为7，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
．
15．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90°，即可得出结论；
（2）先证△BCD是等边三角形，得BD=BC=8，再由勾股定理得OC=4，则AC=2OC=8，然后由矩形的性质得CE=OD=4，∠OCE=90°，最后由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE∥AC，DE=AC，
∴DE=OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD=8，OB=OD，AO=OC=AC，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=8，
∴OD=OB=4，
∴，
∴AC=2OC=8，
由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE=OD=4，∠OCE=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形1性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）作图见解析，
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
与关于对称，
连接交于，则的长即为的最小值，
过作于，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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