高考专题 立体几何动态轨迹问题
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“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型之一，它通过引入运动变化的点、线、面元素，打破了传统立体几何的静态框架，使试题形式更加新颖、内涵更加丰富。同时，动态元素的加入也极大拓展了立体几何的命题空间，使其能够与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题，以及解析几何问题等实现自然串联与综合考查，提升了解题的灵活性与综合性。
在解决立体几何中的轨迹问题时，常用的策略可归纳为以下五种方法：
1、定义法：直接依据圆锥曲线或平面几何中的定义判断轨迹形状。
2、交轨法：通过引入参数表示两条动态轨迹，联立消参得到动点满足的方程。
3、几何法：利用立体几何的公理与性质，通过推理确定动点所在的位置或轨迹。
4、坐标法：建立空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程求解。
5、向量法：以向量为工具，通过向量运算刻画长度、角度、垂直等关系，建立轨迹方程。
这五种方法各有侧重，在具体问题中可灵活选用或结合使用，以有效突破动态几何问题中的难点。
（多选）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
如图，在圆柱中，AB为底面直径，E是的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若，且，则线段OM的轨迹面积为（ ）
A． B． C． D．6
在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为
如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为_____.
（多选）两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动（不包括端点），下列说法正确的是（ ）
A．线段长的最小值为
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．若和的长度保持相等，则平面
D．若和的长度保持相等，则线段长的最小值为
已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
（多选）如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点(含边界)，点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．若保持，则点M的运动轨迹长度为
C．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面面积为
在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则（ ）
A．1 B． C． D．2
将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为△ABC，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为______.
（多选题）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为
在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是
A．线段为定长 B．
C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧
如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率 ．
如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为 .
如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
①平面平面；②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段 B．抛物线的一段
C．双曲线的一段 D．一段圆弧
在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是
A．线段为定长 B．
C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧
如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .
1、在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
2、在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
3、如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4、如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（ ）
B． C． D．
5、已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ）
A．4 B． C． D．
6、若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
7、已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8、正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．π B． C． D．2
9、，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .
10、如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .
11、如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是 .
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当
＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
13、如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
14、正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ．
参考答案
题型深研
1．AC
【分析】取CD中点G，连接BG、EG，计算截面的面积后判断A的正误，取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，故可判断B的正误，取MN的中点F，则可判断，故可判断C的正误，而即为平面与平面所成二面角，计算其正弦值后可判断D的正误.
【详解】
取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，
而，，
故梯形面积为，A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．
故选：AC.
2、【答案】C
【解析】如图所示，
取MD中点O，连接OP，OQ，∵为MD中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
又平面，，平面，平面，∴平面平面.
又平面，平面，平面平面，平面平面，
∴，∴在中，.
故选：C.
3、B
【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，得到点M的轨迹为PQ，由线段长度及三角函数值得到轨迹面积.
【详解】如图，
连接OE，作，交CF于点N，
是的中点，
，
平面ABE，平面ABE，
，
，AB，平面ABCF，
平面ABCF，又平面ABCF，
，
又，，OE，平面ONE，
平面ONE，设平面ONE与上底面交于PQ，
，
∴点M的轨迹为PQ，线段OM的轨迹为等腰三角形，
，D是母线BC中点，
，
，，，
.
故选：B.
4、D
【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.
【详解】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为，
所以，，当时，；当时，；
取，，，，
连接，，，，则，，
所以四边形为矩形，
则，，即，，
又，且平面，平面，
所以平面，
又，，所以为中点，则平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为四边形，
因此点不可能是棱的中点，即A错；
又，，所以，则点的轨迹不是正方形；
且矩形的周长为，故C错，D正确；
因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由，求出动点轨迹图形，即可求解.
5、
【分析】建立空间直角坐标系，利用平面求出点坐标，再利用模长公式结合函数的性质即可求出.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，，
由题意得，，，，
，，，
平面，
，解得，，
，，，，
线段的长的最大值为：.
故答案为：.
6、ACD
【分析】根据题意先建立空间直角坐标系，设的坐标；对于A选项利用向量法求公垂线即可；对于B，三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点，进而求半径，则用计算即可；对于C，先求的坐标，用向量法判断即可；对于D，求最小值即可.
【详解】因为平面平面，且平面平面,
，平面，根据面面垂直的性质定理知平面，
，从而，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则,0,，,0,，,1,，,1,，
设由知 ，
则.
对于A：要使最小，则是的公垂线，即,
,
故，
解得，
故此时，故，
故的最小值为，故A选项正确；
对于B：三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点，
所以外接球直径为，，
因此，外接球表面积为，故B错；
对于C：当时，设 ，
则，易知平面的一个法向量.
因为，所以，又平面，
于是平面，故C正确；
对于D：由C选项可知，,，
则，
当且仅当时等号成立，所以线段长的最小值为，故D正确.
故选：ACD
7、C
【分析】根据给定条件可得点的轨迹是以为球心，半径为的球面与正三棱柱表面的交线，再按点所在位置分类求解.
【详解】由，得点在以为球心，半径为的球面上，
而点在正三棱柱表面上，因此点的轨迹是球与正三棱柱表面的交线，
当点在面内时，由平面，平面，则，
，此时点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，弧长为；令弧的端点为，则，
当点在面内时，点的轨迹分别是以为圆心，为半径，
圆心角为的圆弧，弧长都为；
当点在侧面内时，取中点，连接，
由平面，平面，则，
而，平面，则平面，
又平面，因此，而，则，
此时点的轨迹是以为直径的半圆，弧长为，
所以动点的轨迹的长度为.
故选：C
8、BCD
【分析】把正方形、正方形展开在同一平面内计算判断A；求出点的轨迹计算判断B；过作与垂直的正方体的截面计算判断C；作出平面截正方体所得截面计算判断D作答.
【详解】对于A，在棱长为4的正方体中，将正方形、正方形展开置于同一平面，如图，
连接，则，A错误；
对于B，在棱上取点，使，连接，则，如图，
而平面，则有平面，平面，则，
而，于是，点在以为圆心，2为半径的圆弧上，
此时圆心角为，点的运动轨迹长度，B正确；
对于C，在棱上分别取点，使，连接，如图，
由，得平行四边形，即，由，得，同理，
于是，而平面，平面，，又，
，平面 ，则平面 ，平面 ，有，
同理，从而，又平面，
因此平面，而平面平面，则的运动轨迹为线段，
此时与始终垂直，，C正确；
对于D，在棱上取点，使，连接，如图，
由，得，正方体的对角面为矩形，
则，于是平面截正方体所得截面为梯形，
显然，，
从而等腰梯形的高，
所以截面的面积，D正确.
故选：BCD
9、【答案】A
【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面，
在中，，
过做垂足为，则，
即，所以，
因为，
，
在中，，
所以，则，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以中，，
过作，，
即，可得，
则过作，因为是中点，所以，
所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆，
则点的轨迹长度为.
故选：A.
10、C
【分析】取的中点，可证平面平面，结合面面垂直的性质可知点在平面内的投影落在线段内，即，即可得结果.
【详解】取的中点，连接，
因为，则，
且，平面，可得平面，
又因为平面，所以平面平面，
且平面平面，
由面面垂直的性质可知：点在平面内的投影落在直线上，
且，可知点在平面内的投影落在线段内，
又因为与平面所成角的大小为，则，
可知为等边三角形，所以.
故选：C.
11、
【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出，最后得到答案．
【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于，
因为在中，,，
则，当四点共面时，点A到的距离最大．
因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则，
于是，，即A到的最大距离为．
故答案为：．
12、【答案】ABD
【解析】对A：当P在平面上运动时，点到平面的距离为2，
，所以，故A正确；
对B：如图： 取中点，连接，则.
当P在线段AC上运动时，因为，且，
所以为异面直线与所成角.
当与重合时，异面直线与所成角为.
当与不重合时，因为,，所以，所以，所以异面直线与所成角的范围为，故B正确；
对C：如图：
根据正方体的结构特点，平面，为中点，
因为，所以点轨迹是过点且平行于平面的平面，即为平面，其中分别为所在棱上的中点.
故当P在底面ABCD上运动，且满足时，P点的运动轨迹为线段.
其中分别为，中点.易知六边形为正六边形，
所以当与重合时，，
此时为点到直线的垂线段，取得最小值，为，故C错误；
对D：如图：
当直线与平面ABCD所成的角为时，
因为，所以不可能在四边形内（除外）；
同理不可能在四边形内（除外）.
在平面与平面的运动轨迹为线段和，且；
当在平面时，作平面，垂足为，连接，
因为，所以，
所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的，
所以点的轨迹长度为：，故D正确.
故选：ABD
13、【答案】B
【解析】如图所示，
对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确；
对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确；
对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；
故选B．
14、【答案】/
【解析】连接,
因为，
所以,
所以,
在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即，
如图，椭圆的长轴长是，过点向作垂线，垂足为，
由题意得，
因为，所以，
所以，得，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：
15、【答案】
【解析】
因为翻折前后长度不变，所以点可以在空间中看做以为球心，AC为直径的球面上，又因为的投影始终在上，所以点所在的面垂直于底面，
故点轨迹为垂直于底面ABC的竖直面去截球所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为时，的长度（由余弦定理可得，所以此时），
如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系，
得点，点，
设点，翻折后点的投影在轴上，
所以点纵坐标为0，即由，，
根据空间两点之间距离公式可得轨迹：，
又因为动点要符合空间面翻折结论：，
即，其中，
又动点N在线段AB上动，设，
故，
且，由，可计算得横坐标范围为，
且点在上方，由，计算可得圆弧所在扇形圆心角为，
所以弧长为.
故答案为：.
16、【答案】C
【解析】对于①：由，，为边的中点知且，
易知，，而，平面，
故平面，又平面，所以平面平面，故①正确；
对于②：若是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，即为平行四边形，
故，所以与的夹角为或其补角，
若为中点，即，由①分析易知，
故与的夹角为，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当平面时，最大，
此时，故③错误；
对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同，
由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，
故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，
所以的轨迹长度为，故④正确.
故选：C.
17、【答案】D
【解析】在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1，
所以当四边形确定时， 和三边长度均为定值，
当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接，
由于在翻折过程中，，
所以由中位线定理可得为定值，
所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分.
故选：D
18、【答案】B
【解析】如图所示，
对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确；
对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确；
对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；
故选B．
19、【答案】
【解析】第一空：过作交于，
易知当平面时，点到平面距离取得最大值，
因为在中，，，，
所以，；
第二空，取的中点，连接，
则，又，
则平行且相等，四边形是平行四边形，
所以点F的轨迹与点的轨迹形状完全相同.
过作的垂线，垂足为，
则的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
从而PD的中点F的轨迹长度为.
故答案为：；.
1.在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
【答案】A
【解析】对于选项A，连接、交于点P，连接、交于点Q，连接、，
因为是的中位线，所以，故A项正确；
对于选项B，在正方形内如果存在一点Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的两侧，与平面相交，故B项错误；
对于选项C，在正方形内如果存在一点Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面与平面相交于点，故C项错误；
对于选项D，在正方形内如果存在一点Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的两侧，所以平面与平面相交，故D项错误．
故选：A
2.在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】取的中点，连接,连接相交于点，连接
由为的中点，是的中点，所以
平面,平面,所以平面
当也为的中点时，即,也即时，
由为中点，则
由平面,平面,所以平面
又，所以平面平面
又平面，所以平面.
即在棱上存在一点，当时，平面.
故选：B
3.如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图设立空间坐标系，由题意可知：
，
，设，
则 ，
设平面的一个法向量为，
由，即，令，得，
又，PE平面，
所以，解得，所以，
故 ，
所以.
故选：C.
4.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在线段BB1上取一点H，使B1H=，则有DH⊥AB1，又平面,故，故AB1⊥平面C1DF，则F点轨迹为C1H，则的最大值为.
故选：A.
5.已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，平面，所以平面，
由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界.
为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为.
因此，三角形 的周长为.
故答案为 ：D .
6.若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点，
连接、，则平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，则，，
则点到平面的距离为，
而点到直线的距离为，
根据题意可得，
在平面内，如下图所示：
在平面直角坐标系中，易知点、，
则，所以，直线的方程为，
即，即，
显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且，
所以，由可得，
即，即点在区域内的轨迹是一条线段，
直线的斜率为，
则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意，
故选：D.
7.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，正三棱锥，设正的中心为，得
，又，
点在内部（含边界）运动，且，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，
作于，则点的轨迹长度为.
故选：A.
8.正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．π B． C． D．2
【答案】D
【解析】取是的中点，是的中点，如下图，
连接，由正方体的性质知，因为平面，
平面，所以，
又因为，所以，
因为P是平面内的一个动点，且P到和的距离相等，
所以点P在线段上，
又因为点M是的中点，满足，
所以在线段上取点，连接，使得，
取的中点，连接，，
此时，
，
所以点P的轨迹为线段，所以.
故选：D.
9.，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .
【答案】
【解析】取中点，连接，设，
则，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
因为正方体中面，面，
所以，
因为面，，
所以面，
因为正方体中面，面，
所以，
所以点的轨迹为矩形，
在直角中，
所以矩形面积为.
即点的轨迹所围成图形的面积为.
故答案为：
10.如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .
【答案】
【解析】取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
所以四边形为正方形，所以，所以，
又因为，且为的中点，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以点在线段上运动，
在等腰直角中，由，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，可得线段的长的最大值为.
故答案为：.
11.如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】平面，平面，
，
又，，
平面，又平面，
，
所以点是以中点为圆心，以为直径的圆与的交点，
，，在线段上至少存在一个点满足，
．
故答案为：．
12.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
【答案】1
【解析】连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影，
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF．
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF，，因为，所以平面，
又平面，所以DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．
∴＝1时，D1E⊥平面AB1F．
故答案为：1.
13.如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
【答案】 /
【解析】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为.
建系如图，设，则.
.
令，
.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
（法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大，
由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大，
则P在点M处时，取得最小值，此时，
则P在点N处时，取得最大值，此时，
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
14.正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可知，，，，，
因点是正方形内的动点，可设，，
因
设平面的法向量，
则，令，则，
因平面，则，即，
整理得：.
是正方形内的动点，取，得；取，得，
故点的轨迹长度为．
故答案为：.
知 识
链 接
专题 立体几何动态轨迹问题
题 型
深 研
题型
由动点保持平行求轨迹
1 1
1.
2.
题型
由动点保持垂直求轨迹
2 1
3.
4.
5.
6.
题型
由动点保持等距求轨迹
3 1
7.
8.
9.
题型
由动点保持等角求轨迹
41
10.
11.
12.
题型
由投影求轨迹
51
13.
14.
题型
翻折与动点求轨迹
61
15.
16.
17.
18.
19.
课 后
精 练
课 后
精 练
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“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型之一，它通过引入运动变化的点、线、面元素，打破了传统立体几何的静态框架，使试题形式更加新颖、内涵更加丰富。同时，动态元素的加入也极大拓展了立体几何的命题空间，使其能够与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题，以及解析几何问题等实现自然串联与综合考查，提升了解题的灵活性与综合性。
在解决立体几何中的轨迹问题时，常用的策略可归纳为以下五种方法：
1、定义法：直接依据圆锥曲线或平面几何中的定义判断轨迹形状。
2、交轨法：通过引入参数表示两条动态轨迹，联立消参得到动点满足的方程。
3、几何法：利用立体几何的公理与性质，通过推理确定动点所在的位置或轨迹。
4、坐标法：建立空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程求解。
5、向量法：以向量为工具，通过向量运算刻画长度、角度、垂直等关系，建立轨迹方程。
这五种方法各有侧重，在具体问题中可灵活选用或结合使用，以有效突破动态几何问题中的难点。
（多选）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
如图，在圆柱中，AB为底面直径，E是的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若，且，则线段OM的轨迹面积为（ ）
A． B． C． D．6
在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为
如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的最大值为_____.
（多选）两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动（不包括端点），下列说法正确的是（ ）
A．线段长的最小值为
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．若和的长度保持相等，则平面
D．若和的长度保持相等，则线段长的最小值为
已知点为正三棱柱表面上一个异于点的动点，若，且满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
（多选）如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点(含边界)，点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．若保持，则点M的运动轨迹长度为
C．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面面积为
在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则（ ）
A．1 B． C． D．2
将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为△ABC，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为______.
（多选题）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为
在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是
A．线段为定长 B．
C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧
如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率 ．
如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为 .
如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
①平面平面；②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段 B．抛物线的一段
C．双曲线的一段 D．一段圆弧
在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是
A．线段为定长 B．
C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧
如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .
1、在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
2、在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
3、如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4、如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（ ）
B． C． D．
5、已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ）
A．4 B． C． D．
6、若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
7、已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8、正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．π B． C． D．2
9、，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .
10、如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .
11、如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是 .
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当
＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
13、如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
14、正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ．
参考答案
题型深研
1．AC
【分析】取CD中点G，连接BG、EG，计算截面的面积后判断A的正误，取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，故可判断B的正误，取MN的中点F，则可判断，故可判断C的正误，而即为平面与平面所成二面角，计算其正弦值后可判断D的正误.
【详解】
取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，
而，，
故梯形面积为，A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．
故选：AC.
2、【答案】C
【解析】如图所示，
取MD中点O，连接OP，OQ，∵为MD中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
又平面，，平面，平面，∴平面平面.
又平面，平面，平面平面，平面平面，
∴，∴在中，.
故选：C.
3、B
【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，得到点M的轨迹为PQ，由线段长度及三角函数值得到轨迹面积.
【详解】如图，
连接OE，作，交CF于点N，
是的中点，
，
平面ABE，平面ABE，
，
，AB，平面ABCF，
平面ABCF，又平面ABCF，
，
又，，OE，平面ONE，
平面ONE，设平面ONE与上底面交于PQ，
，
∴点M的轨迹为PQ，线段OM的轨迹为等腰三角形，
，D是母线BC中点，
，
，，，
.
故选：B.
4、D
【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.
【详解】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为，
所以，，当时，；当时，；
取，，，，
连接，，，，则，，
所以四边形为矩形，
则，，即，，
又，且平面，平面，
所以平面，
又，，所以为中点，则平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为四边形，
因此点不可能是棱的中点，即A错；
又，，所以，则点的轨迹不是正方形；
且矩形的周长为，故C错，D正确；
因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由，求出动点轨迹图形，即可求解.
5、
【分析】建立空间直角坐标系，利用平面求出点坐标，再利用模长公式结合函数的性质即可求出.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，，
由题意得，，，，
，，，
平面，
，解得，，
，，，，
线段的长的最大值为：.
故答案为：.
6、ACD
【分析】根据题意先建立空间直角坐标系，设的坐标；对于A选项利用向量法求公垂线即可；对于B，三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点，进而求半径，则用计算即可；对于C，先求的坐标，用向量法判断即可；对于D，求最小值即可.
【详解】因为平面平面，且平面平面,
，平面，根据面面垂直的性质定理知平面，
，从而，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则,0,，,0,，,1,，,1,，
设由知 ，
则.
对于A：要使最小，则是的公垂线，即,
,
故，
解得，
故此时，故，
故的最小值为，故A选项正确；
对于B：三棱锥的顶点可看作棱长为1的正方体的顶点，
所以外接球直径为，，
因此，外接球表面积为，故B错；
对于C：当时，设 ，
则，易知平面的一个法向量.
因为，所以，又平面，
于是平面，故C正确；
对于D：由C选项可知，,，
则，
当且仅当时等号成立，所以线段长的最小值为，故D正确.
故选：ACD
7、C
【分析】根据给定条件可得点的轨迹是以为球心，半径为的球面与正三棱柱表面的交线，再按点所在位置分类求解.
【详解】由，得点在以为球心，半径为的球面上，
而点在正三棱柱表面上，因此点的轨迹是球与正三棱柱表面的交线，
当点在面内时，由平面，平面，则，
，此时点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，弧长为；令弧的端点为，则，
当点在面内时，点的轨迹分别是以为圆心，为半径，
圆心角为的圆弧，弧长都为；
当点在侧面内时，取中点，连接，
由平面，平面，则，
而，平面，则平面，
又平面，因此，而，则，
此时点的轨迹是以为直径的半圆，弧长为，
所以动点的轨迹的长度为.
故选：C
8、BCD
【分析】把正方形、正方形展开在同一平面内计算判断A；求出点的轨迹计算判断B；过作与垂直的正方体的截面计算判断C；作出平面截正方体所得截面计算判断D作答.
【详解】对于A，在棱长为4的正方体中，将正方形、正方形展开置于同一平面，如图，
连接，则，A错误；
对于B，在棱上取点，使，连接，则，如图，
而平面，则有平面，平面，则，
而，于是，点在以为圆心，2为半径的圆弧上，
此时圆心角为，点的运动轨迹长度，B正确；
对于C，在棱上分别取点，使，连接，如图，
由，得平行四边形，即，由，得，同理，
于是，而平面，平面，，又，
，平面 ，则平面 ，平面 ，有，
同理，从而，又平面，
因此平面，而平面平面，则的运动轨迹为线段，
此时与始终垂直，，C正确；
对于D，在棱上取点，使，连接，如图，
由，得，正方体的对角面为矩形，
则，于是平面截正方体所得截面为梯形，
显然，，
从而等腰梯形的高，
所以截面的面积，D正确.
故选：BCD
9、【答案】A
【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面，
在中，，
过做垂足为，则，
即，所以，
因为，
，
在中，，
所以，则，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以中，，
过作，，
即，可得，
则过作，因为是中点，所以，
所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆，
则点的轨迹长度为.
故选：A.
10、C
【分析】取的中点，可证平面平面，结合面面垂直的性质可知点在平面内的投影落在线段内，即，即可得结果.
【详解】取的中点，连接，
因为，则，
且，平面，可得平面，
又因为平面，所以平面平面，
且平面平面，
由面面垂直的性质可知：点在平面内的投影落在直线上，
且，可知点在平面内的投影落在线段内，
又因为与平面所成角的大小为，则，
可知为等边三角形，所以.
故选：C.
11、
【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出，最后得到答案．
【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于，
因为在中，,，
则，当四点共面时，点A到的距离最大．
因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则，
于是，，即A到的最大距离为．
故答案为：．
12、【答案】ABD
【解析】对A：当P在平面上运动时，点到平面的距离为2，
，所以，故A正确；
对B：如图： 取中点，连接，则.
当P在线段AC上运动时，因为，且，
所以为异面直线与所成角.
当与重合时，异面直线与所成角为.
当与不重合时，因为,，所以，所以，所以异面直线与所成角的范围为，故B正确；
对C：如图：
根据正方体的结构特点，平面，为中点，
因为，所以点轨迹是过点且平行于平面的平面，即为平面，其中分别为所在棱上的中点.
故当P在底面ABCD上运动，且满足时，P点的运动轨迹为线段.
其中分别为，中点.易知六边形为正六边形，
所以当与重合时，，
此时为点到直线的垂线段，取得最小值，为，故C错误；
对D：如图：
当直线与平面ABCD所成的角为时，
因为，所以不可能在四边形内（除外）；
同理不可能在四边形内（除外）.
在平面与平面的运动轨迹为线段和，且；
当在平面时，作平面，垂足为，连接，
因为，所以，
所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的，
所以点的轨迹长度为：，故D正确.
故选：ABD
13、【答案】B
【解析】如图所示，
对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确；
对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确；
对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；
故选B．
14、【答案】/
【解析】连接,
因为，
所以,
所以,
在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即，
如图，椭圆的长轴长是，过点向作垂线，垂足为，
由题意得，
因为，所以，
所以，得，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：
15、【答案】
【解析】
因为翻折前后长度不变，所以点可以在空间中看做以为球心，AC为直径的球面上，又因为的投影始终在上，所以点所在的面垂直于底面，
故点轨迹为垂直于底面ABC的竖直面去截球所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为时，的长度（由余弦定理可得，所以此时），
如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系，
得点，点，
设点，翻折后点的投影在轴上，
所以点纵坐标为0，即由，，
根据空间两点之间距离公式可得轨迹：，
又因为动点要符合空间面翻折结论：，
即，其中，
又动点N在线段AB上动，设，
故，
且，由，可计算得横坐标范围为，
且点在上方，由，计算可得圆弧所在扇形圆心角为，
所以弧长为.
故答案为：.
16、【答案】C
【解析】对于①：由，，为边的中点知且，
易知，，而，平面，
故平面，又平面，所以平面平面，故①正确；
对于②：若是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，即为平行四边形，
故，所以与的夹角为或其补角，
若为中点，即，由①分析易知，
故与的夹角为，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当平面时，最大，
此时，故③错误；
对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同，
由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，
故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，
所以的轨迹长度为，故④正确.
故选：C.
17、【答案】D
【解析】在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1，
所以当四边形确定时， 和三边长度均为定值，
当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接，
由于在翻折过程中，，
所以由中位线定理可得为定值，
所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分.
故选：D
18、【答案】B
【解析】如图所示，
对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确；
对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确；
对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；
故选B．
19、【答案】
【解析】第一空：过作交于，
易知当平面时，点到平面距离取得最大值，
因为在中，，，，
所以，；
第二空，取的中点，连接，
则，又，
则平行且相等，四边形是平行四边形，
所以点F的轨迹与点的轨迹形状完全相同.
过作的垂线，垂足为，
则的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
从而PD的中点F的轨迹长度为.
故答案为：；.
1.在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
【答案】A
【解析】对于选项A，连接、交于点P，连接、交于点Q，连接、，
因为是的中位线，所以，故A项正确；
对于选项B，在正方形内如果存在一点Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的两侧，与平面相交，故B项错误；
对于选项C，在正方形内如果存在一点Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面与平面相交于点，故C项错误；
对于选项D，在正方形内如果存在一点Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的两侧，所以平面与平面相交，故D项错误．
故选：A
2.在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】取的中点，连接,连接相交于点，连接
由为的中点，是的中点，所以
平面,平面,所以平面
当也为的中点时，即,也即时，
由为中点，则
由平面,平面,所以平面
又，所以平面平面
又平面，所以平面.
即在棱上存在一点，当时，平面.
故选：B
3.如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图设立空间坐标系，由题意可知：
，
，设，
则 ，
设平面的一个法向量为，
由，即，令，得，
又，PE平面，
所以，解得，所以，
故 ，
所以.
故选：C.
4.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在线段BB1上取一点H，使B1H=，则有DH⊥AB1，又平面,故，故AB1⊥平面C1DF，则F点轨迹为C1H，则的最大值为.
故选：A.
5.已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，平面，所以平面，
由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界.
为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为.
因此，三角形 的周长为.
故答案为 ：D .
6.若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点，
连接、，则平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，则，，
则点到平面的距离为，
而点到直线的距离为，
根据题意可得，
在平面内，如下图所示：
在平面直角坐标系中，易知点、，
则，所以，直线的方程为，
即，即，
显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且，
所以，由可得，
即，即点在区域内的轨迹是一条线段，
直线的斜率为，
则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意，
故选：D.
7.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，正三棱锥，设正的中心为，得
，又，
点在内部（含边界）运动，且，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，
作于，则点的轨迹长度为.
故选：A.
8.正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．π B． C． D．2
【答案】D
【解析】取是的中点，是的中点，如下图，
连接，由正方体的性质知，因为平面，
平面，所以，
又因为，所以，
因为P是平面内的一个动点，且P到和的距离相等，
所以点P在线段上，
又因为点M是的中点，满足，
所以在线段上取点，连接，使得，
取的中点，连接，，
此时，
，
所以点P的轨迹为线段，所以.
故选：D.
9.，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .
【答案】
【解析】取中点，连接，设，
则，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
因为正方体中面，面，
所以，
因为面，，
所以面，
因为正方体中面，面，
所以，
所以点的轨迹为矩形，
在直角中，
所以矩形面积为.
即点的轨迹所围成图形的面积为.
故答案为：
10.如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .
【答案】
【解析】取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
所以四边形为正方形，所以，所以，
又因为，且为的中点，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以点在线段上运动，
在等腰直角中，由，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，可得线段的长的最大值为.
故答案为：.
11.如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】平面，平面，
，
又，，
平面，又平面，
，
所以点是以中点为圆心，以为直径的圆与的交点，
，，在线段上至少存在一个点满足，
．
故答案为：．
12.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝ 时，D1E⊥平面AB1F．
【答案】1
【解析】连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影，
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF．
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF，，因为，所以平面，
又平面，所以DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．
∴＝1时，D1E⊥平面AB1F．
故答案为：1.
13.如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
【答案】 /
【解析】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为.
建系如图，设，则.
.
令，
.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
（法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大，
由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大，
则P在点M处时，取得最小值，此时，
则P在点N处时，取得最大值，此时，
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
14.正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可知，，，，，
因点是正方形内的动点，可设，，
因
设平面的法向量，
则，令，则，
因平面，则，即，
整理得：.
是正方形内的动点，取，得；取，得，
故点的轨迹长度为．
故答案为：.
知 识
链 接
专题 立体几何动态轨迹问题
题 型
深 研
题型
由动点保持平行求轨迹
1 1
1.
2.
题型
由动点保持垂直求轨迹
2 1
3.
4.
5.
6.
题型
由动点保持等距求轨迹
3 1
7.
8.
9.
题型
由动点保持等角求轨迹
41
10.
11.
12.
题型
由投影求轨迹
51
13.
14.
题型
翻折与动点求轨迹
61
15.
16.
17.
18.
19.
课 后
精 练
课 后
精 练
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