第二十一章 四边形 特殊平行四边形的折叠问题 专题练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的折叠问题 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为（　　）

A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55
2．如图，已知四边形是边长为6的菱形，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，点正好落在边的点处．若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．如图，正方形ABCD中，AB=6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，在长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，连接，若，，则的长为（ ）
如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交
A． B． C． D．
6．如图，矩形纸片中，，将纸片沿折叠，使点C与点A重合，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2
二、填空题
7．在矩形中，，，折叠矩形，使点与点重合，则的长为_____．

8．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________．
9．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________．
10．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ．
11．矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________．
三、解答题
13．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求的值．
14．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，求的长.
15．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，交于点，将沿折叠，得到，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求的值．
16．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，．
(1)求的长；
(2)求的面积．
17．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F．
(1)求证：；
(2)若，．求点F到的距离．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
(1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：．
(2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长．
19．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点．
①试判断四边形的形状，并说明理由．
②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长．
参考答案
题号 4 5 6
答案 B B C
1．A
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，由翻转变换的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，设，根据勾股定理列方程，解方程即可．
【详解】解：由翻转变换的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
故选：A．
2．C
【分析】由菱形的性质可知是等边三角形，再通过折叠的性质和等边三角形的性质得出，即是菱形的高，最后用勾股定理求高即可．
【详解】如图，设与交于点，交于点．
∵ 四边形是菱形，∠BAD=120°，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形的高，
即为等边三角形的高，
∴ 高为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质并能将FG转化成菱形的高是解题的关键．
3．C
【分析】设DE=x，则根据对折的性质和正方形的性质可以得到关于x的方程，解方程即可得到x即ED的值．
【详解】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠B=∠D=90°，
由折叠得：AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFG=90°，AF=AB，
∵Rt△ABG和Rt△AFG中，
AB=AF，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴BG=GF，
∵G是BC边的中点，∴BG=GC=GF=3
设DE=x，则CE=6 x,CG=3,GE=GF+EF=BG+DE=3+x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：，即，
解方程得：x=2
故选C．
【点睛】本题考查轴对称和正方形的综合应用，灵活应用轴对称的性质和正方形的性质解答是解题关键．
4．B
【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性．
【详解】解：如图，由题意可知，，，
，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，故②正确；
，故③错误；
，
，
，，
，
，故④正确；
∴①②④正确，
故选：B．
5．B
【分析】先结合长方形性质得出，再结合折叠性质证明，由全等三角形性质可得，设，则，利用勾股定理得，求解即可．
【详解】解：长方形中，，
，，
又是的中点，
，
由折叠性质可知：，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，
中，，
，
解得，
．
6．C
【分析】设，根据折叠性质与矩形性质，用x表示，在中，由勾股定理列出x的方程，便可求得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠知，，
设，则,
在中，由勾股定理得，，
解得，,
即．
7．
【分析】设，则，在中，据此列式可得到关于的方程，求解即可得到答案．
【详解】设，则．
由折叠的性质可知．
在中
．
即
解得：．
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、矩形的性质、勾股定理、列方程解决问题，能用含有未知数的代数式表示出等量关系得到方程是解题的关键．
8．
【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，则，过点F作于点H，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
、，
设，则，
四边形的面积为6，
，
即，
解得，
，
，
由翻折的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
的面积为：．
9．
【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，．
∵纸片沿、折叠，点、重合于点，
∴，，
∴，，，，，
∴，且、、三点共线．
设，则，，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即．
在中，由勾股定理得．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
解得．
在中，由勾股定理得．
过点作于点，
∵，
∴，解得．
在中，由勾股定理得．
∴．
在中，由勾股定理得．
10．
【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可．
【详解】解：由题意知，
设，，，
，，
由折叠性质得：，，
∵，
，
，
又，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】根据矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，
在中，，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
．
12．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换，理解题意是解题的关键．
过点作，交于点，由翻折的性质和矩形的性质可得：，，，，通过平行线的性质结合相等的角度可得，根据勾股定理可求出线段的长度，再根据等面积法求出线段的长度，最后再根据勾股定理可求出线段的长度，由此即可得到点的坐标．
【详解】解：过点作，交于点，
由题意可知：，，，，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
则，
，
，
解得：，
，
∴点的坐标为，
故答案为：．
13．（1）证明见试题解析；（2）．
【分析】（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；
（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．
【详解】解：（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，
∵FG∥CD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3
∴FG=FE，
∴DG=GF=EF=DE，
∴四边形DEFG为菱形；
（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，
在Rt△EFC中，，即，
解得：x=5，CE=8﹣x=3，
∴=．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．的长为．
【分析】作于点，通过菱形的性质和折叠的性质证明为等边三角形，设，则，，在中，利用特殊角表示出DH,FH，最后在中利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，作于点．
由折叠的性质可知，．
由题意，得．
∵ 四边形是菱形．
∴，
∴为等边三角形，
∴．
设，则，，
在中，
∵，
∴，，
∴．
在中，，
即，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握菱形的性质，勾股定理及方程的思想是解题的关键．
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先通过SAS证明，从而得到，通过等量代换得出，从而得到，则结论可证；
（2）先通过折叠的性质和平行线的性质得出，从而有，在中，设，则 ，利用勾股定理求出x的值，然后即可求出的值．
【详解】（1）∵分别是正方形边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴．
（2）设正方形的边长为．
由题意可知，，，．
∵，
∴．
∴．
∵，，
在中，设，则
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理及利用方程的思想是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由图形折叠可得，，因为正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出，即可作答．
（2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解： 由图形折叠可得，，
正方形的边长为3，，
，，，
在中，，
，
解得，
．
（2）解：∵，
∴，
∴的面积．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，由翻折的性质可知，进而得到；
（2）过点F作于点H，设，则，根据列方程，求出的值，根据求出的值即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，，
；
（2）解：如图，过点F作于点H，
设，
四边形是矩形，
，
，，
，
解得，
，
，
．
18．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据折叠的性质得到，，由中点的性质得到得到，再利用三角形外角的关系得到，推出，即可通过内错角相等推出；
（2）分情况讨论，当时，，此时点与点重合；当点与点重合时，利用勾股定理即可解答；
【详解】（1）证明：由折叠可知，，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
（2）解：当时，，此时点与点重合，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴；
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
即，
解得，
∴；
综上，的长为6或；
19．(1)正方形，理由见解析；
(2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用．
（1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状；
（2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状；
②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度．
【详解】（1）四边形为正方形．
理由:矩形，
，
折叠，
，，
四边形是正方形；
（2）①四边形为平行四边形．
理由：矩形，
，
点是的中点，
，
折叠，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
②四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，，，
是矩形，
当是的下方的三等分点时，
，点是的中点，
，
是矩形，
∴，
由折叠可得，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当是的上方的三等分点时，
，点是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
综上所述，的长为或．
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