人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.1.2弧度制及其与角度制的换算课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第七章 7.1　任意角的概念与弧度制
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
学习目标
摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(1701～1744)，其结冰点是0 ℃，沸点为100 ℃.1714年德国人法勒海特以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度，人体温度为温度计的100度.把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1 ?”.
“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.
摄氏温度(℃)和华氏温度(?)之间的换算关系为：
华氏度(?)＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度(?)－32)÷1.8.
类似地，角除了使用角度来度量外，还可以用本节要学习的弧度制度量.
引入
课时精练
一、弧度制
二、弧度制与角度制的换算
三、用弧度制表示角
课堂达标
内容索引
四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式
弧度制
一
探究1 折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小，那么在这个过程中，弧长与半径的比值和圆心角有什么关系？
1.弧度制：以______为单位来度量角的制度.
2.1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的圆心角.
3.弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝__________.
知识梳理
弧度
半径长
(1)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小也不同；
(2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与半径大小无关的值.
温馨提示
下列说法正确的是
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
例1
√
对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误.
对弧度制定义的两点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径大小无关的定值.
(2)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角，所得到的数量是不同的.
思维升华
训练1
√
根据角度制和弧度制的定义可知，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D不正确，ABC正确.
√
√
弧度制与角度制的换算
二
探究2 在半径为r的圆中，周角用角度制度量是多少度？用弧度制度量是多少弧度？由此得到什么结论？
提示　在半径为r的圆中，周角用角度制度量是360°，用弧度制度量是2π弧度，由此得到360°＝2π弧度，即180°＝π.
1.角度与弧度的互化
知识梳理
2π
360°
π
180°
2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系
2π
(1)弧度单位rad可以省略，但用度做单位时，“°”不能省略.
(2)角度化弧度时，应先将分、秒化为度，再化成弧度.
温馨提示
例2
思维升华
(多选)下列转化结果正确的是
√
训练2
√
√
用弧度制表示角
三
已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
例3
所以角α是第二象限角.
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
思维升华
用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
训练3
√
结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是α，满足条件的角的集合是
(2)如图所示，终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)_____________________________________.
弧度制下的扇形的弧长与面积公式
四
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝_____.
知识梳理
αR
(2)扇形的面积公式：S＝_____＝_____.
温馨提示
(链接教材P11例3)已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
例4
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
由l＋2r＝10得l＝10－2r，
思维升华
训练4
√
【课堂达标】
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
√
2.时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为
√
3.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________.
设扇形的弧长为l，半径为r.
6
∵扇形圆心角的弧度数是4，
∴r2＝1，∴r＝1，
∴扇形的周长C＝l＋2r＝4r＋2r＝6r＝6.
4.终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是________________________.
因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
【课时精练】
√
√
√
√
√
3.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为
A.3 B.6 C.9 D.12
√
k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C.
√
√
√
7.已知扇形的半径为R cm，面积为R2 cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是________.
2
∴l＝2R，
9.已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).
10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，
√
11.(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA
√
√
A，B显然正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，
9
矢＝4－2＝2(m)，
13.已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小.
设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
因为2r＋l＝8，所以l＝8－2r，
当且仅当r＝2时取得最大值，
l＝8－2r＝4.
√
√