人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.1.1角的推广课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第七章 7.1　任意角的概念与弧度制
1.了解角的概念的推广及其实际意义，会区分正角、负角和零角.
2.理解象限角的概念.
3.掌握终边相同角的含义及其表示，能写出终边相同的角所组成的集合.
学习目标
同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？另外，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课.
引入
课时精练
一、角的概念的推广
二、象限角
三、终边相同的角
课堂达标
内容索引
四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示
角的概念的推广
一
探究1 在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示　角可以看作平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形，角的范围是0°～360°.
探究2 如图，类比实数的加减运算，说说将角α的终边再次逆时针旋转角β(β>0°)后该如何表示？若将角α的终边顺时针旋转角β(β>0°)后又该如何表示？
提示　把角α的终边逆时针旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β；顺时针旋转的角β为负角，这时终边所对应的角是α－β.
1.角的概念
一条射线绕其端点______到另一条射线所形成的______称为角，这两条射线分别称为角的______和______.
2.角的分类
知识梳理
名称 定义 图形
正角 按照________方向旋转而成的角
负角 按照________方向旋转而成的角
零角 一条射线______旋转而成的角
旋转
图形
始边
终边
逆时针
顺时针
没有
3.角的加法与减法(β>0°)
名称 符号 定义 图形
角的
加法 α＋β 把角α的终边________方向旋转角β
角的
减法 α－β 把角α的终边________方向旋转角β
逆时针
顺时针
若钟表时针走过4小时，则时针转过的角度为
A.120° B.－120° C.－60° D.60°
例1
√
正确理解正角、负角、零角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定形成习惯，就好像正数与负数的规定一样.
思维升华
(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是
A.60°，720° B.－60°，－720°
C.－30°，－360° D.－60°，720°
训练1
√
钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，
故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
(2)下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________.（填序号）
①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.
①④
②③
②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.
同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.
象限角
二
在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的______在第几象限，就把这个角称为____________，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
知识梳理
终边
第几象限角
√
(多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
例2
直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°且小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确.
√
√
思维升华
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确的只需举一反例即可.
(多选)已知下列各角：①－120°；②180°；③－240°；④495°.其中是第二象限角的是
A.① B.② C.③ D.④
√
训练2
对于①，显然为第三象限角；对于②，180°的终边在x轴的负半轴，不是第二象限角；对于③，－240°显然为第二象限角；对于④，495°＝360°＋135°为第二象限角，故选C、D.
√
终边相同的角
三
探究3 分别将－30°、－390°及330°的角，画在坐标系中，结合图象说说你有什么发现. 终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？
所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝______________________________________，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α.
知识梳理
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同；
(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同，则表示的角一定不同.
温馨提示
(链接教材P6例2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来.
例3
由终边相同的角的表示知，
与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.
∵－720°≤β<360°，
即－720°≤k·360°－1 910°<360°(k∈Z)，
故取k＝4，5，6.
k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
思维升华
终边相同的角的表示
(1)与α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(多选)与－457°角终边相同的角的集合是
A.{α|α＝k·360°－457°，k∈Z} B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
训练3
与－457°角终边相同的角可写为α＝k·360°－457°，k∈Z，又263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角也可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.
√
√
区域角以及终边在已知直线上的角的表示
四
(链接教材P6例3)如图所示，
例4
在0°～360°范围内，终边在直线l1上的角有两个，即30°和210°.因此终边在直线l1上的角的集合S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}.
(1)分别写出终边落在直线l1，l2上的角的集合；
同理，终边落在直线l2上的角的集合为S＝{β|β＝105°＋n·180°，n∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合.
法一(并集法)
在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以终边落在阴影部分的角的集合S＝{α|k·360°＋30°≤α法二(旋转法)
终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.同理，终边落在直线l2上的角的集合为{α|α＝105°＋n·180°，n∈Z}.故终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}.
思维升华
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
(1)如图所示，终边落在阴影部分内(含边界)的角的集合是
________________________________________________.
训练4
由题图知，终边OB的对应角为－30°＋k·360°，k∈Z，终边OA的对应角为135°＋k·360°，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合是{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
(2)终边在y轴上的角的集合是_____________________________.
{α|α＝90°＋n·180°，n∈Z}
终边在y轴正半轴上的角的集合为S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}，终边在y轴负半轴上的角的集合为S2＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}，所以终边在y轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋n·180°，n∈Z}.
【课堂达标】
1.(多选)下列说法中正确的是
A.终边落在第一象限的角为锐角
B.第一象限角可能是负角
C.直角不是象限角
D.角α与－α的终边关于x轴对称
√
终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限角，但不是锐角，故A错误.B，C，D正确.
√
√
2.与－460°角终边相同的角可以表示成
A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈Z
C.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z
√
因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
3.若α＝2 025°，则α是第________象限角.
由题意α＝2 025°＝360°×5＋225°，所以α是第三象限角.
三
4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是___________________________________________.
观察图形可知，角α的集合是
{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}
{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}.
【课时精练】
√
1.下列说法中正确的是
A.第二象限角都是钝角
B.第二象限角中不存在小于第一象限角的角
C.若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
A错误，495°＝135°＋360°是第二象限角，但不是钝角；
B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β；
C错误，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；
D正确，α与β的终边在一条直线上，
则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).
√
2.(多选)下列说法正确的是
A.－75°是第四象限角 B.225°是第三象限角
C.475°是第一象限角 D.－315°是第一象限角
∵－90°<－75°<0°，
√
√
∴－75°是第四象限角；又180°<225°<270°，
故225°是第三象限角；475°＝360°＋115°，
与115°终边相同，且是第二象限角；
又－315°＝45°－360°，与45°终边相同，
故为第一象限角.
√
3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为
A.逆时针，270° B.顺时针，270°
C.逆时针，30° D.顺时针，30°
由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°.
√
4.若角α是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是
A.90°－α B.90°＋α C.360°－α D.180°＋α
若α是第一象限角，则k·360°<α∴－90°－k·360°<－α<－k·360°，k∈Z，
∴90°－α仍为第一象限角，
90°＋α是第二象限角，
360°－α是第四象限角，
180°＋α是第三象限角.
√
5.已知角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为
A.α＋β＝k·360°，k∈Z B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D.α－β＝k·360°，k∈Z
法一(特值法)
令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
法二(直接法)
因为角α与角β的终边关于y轴对称，
所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，
即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
6.若角α＝2 025°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________.
225°
∵2 025°＝5×360°＋225°，
－135°
∴与角α终边相同的角的集合为
{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
故最小正角是225°，最大负角是－135°.
7.若角α与－60°的终边关于y轴对称，则角α的集合是__________________________.
与－60°的终边关于y轴对称的一个角为240°，故角α的集合是{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}.
{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}
8.若 角 α 与 角 β 的 终 边 在 一 条 直 线 上,则 α- β= ________ _____.
k·180°(k∈Z)
α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α- β=k·180°(k∈Z).
9.在与角－2 019°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(1)∵－2 019°＝－6×360°＋141°，
∴与角－2 019°终边相同的最小正角是141°.
(2)∵－2 019°＝－5×360°＋(－219°)，
∴与角－2 019°终边相同的最大负角是－219°.
(3)－720°～720°内的角.
∵－2 019°＝－6×360°＋141°，
∴与－2 019°终边相同也就是与141°终边相同.
由－720°≤k·360°＋141°<720°，k∈Z，
解得k＝－2，－1，0，1.
代入k·360°＋141°依次得－579°，－219°，141°，501°.
10.写出图(1)，(2)中终边落在阴影部分的角的集合.
图(1)中，在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围是
图(1)　　　　　　　图(2)
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
图(2)中，由图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
√
11.角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系为
A.α＋β＝k·360°，k∈Z B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D.α－β＝k·360°，k∈Z
因为角α与角β的终边关于x轴对称，所以β＝－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°，k∈Z，选A.
12.已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________.
∵角α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°，－90°<α－β<90°.
15°
65°
由题意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，∴α＋β＝80°，①
又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，
∴α－β＝－50°.②
由①②得，α＝15°，β＝65°.
∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.
当k＝2n(n∈Z)时，
当k＝3n(n∈Z)时，
法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，
将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.
∵α是第二象限角，
14.(多选)以下说法错误的是
A.若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B.A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A B
C.若k·360°<αD.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
√
对于A，α＝30°，2α＝60°可知A错误；
√
√
对于B，集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，
B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A B，故B正确；
对于C，α的终边也可以在y轴非负半轴，C错误；对于D，应为k·180°(k∈Z).