人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
第七章 7.2　任意角的三角函数
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
2.能利用三角函数线解决一些简单的比较大小、解不等式问题.
学习目标
在江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然.水车的形状给我们以圆的形象，把它放入平面直角坐标系中，可以帮助我们更深入的了解三角函数，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，那么正弦、余弦、正切函数能否用图形表示出来呢？带着这一问题来开启这一节课的学习吧.
引入
课时精练
一、单位圆与三角函数线
二、利用三角函数线比较大小
三、利用三角函数线解不等式(组)
课堂达标
内容索引
单位圆与三角函数线
一
探究 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交角α的终边或其反向延长线于点T，如图所示.你能给出任意角正弦、余弦和正切的一个直观表示吗？
1.在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆.
2.角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的__________和________.
3.如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，点A(1，0)，角α的终边所在直线与直线x＝1交于点T，如图.
知识梳理
横坐标
纵坐标
三角函数线
习惯上，称_______为角α的余弦线，_______为角α的正弦线，_______为角α的正切线.
4.正弦线、余弦线和正切线都称为________________.
例1
延长OP交直线x＝1于T，
思维升华
训练1
利用三角函数线比较大小
二
例2
(2)sin 75°和sin 146°；
∴sin 75°>sin 146°.
思维升华
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：
(1)角的位置要“对号入座”；
(2)比较三角函数线的长度；
(3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.当三角函数线与x轴(y轴)正向同向时函数值为正，反向时函数值为负.
训练2
利用三角函数线解不等式(组)
三
例3
连接OP，OQ，则OP，OQ与单位圆围成的区域即角θ的终边的范围(阴影部分)，
故满足条件的角θ的集合为
ON，OP，OQ，则OM，ON，OP，OQ与单位圆围成的区域即角θ的终边的范围(阴影部分).
思维升华
用单位圆中的三角函数线求解三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π范围内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间.
训练3
由题意知，自变量x应满足1－2cos x≥0，
【课堂达标】
A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定
√
2.设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有
A.a√
∴b>a>c，即c<
【课时精练】
√
1.如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是
√
2.(多选)下列四个说法中正确的为
√
√
√
A.1 B.2 C.3 D.0
√
√
由三角函数线易得正切线的长度>正弦线的长度>余弦线的长度，即c>a>b.
6.比较大小：cos 2________cos 3.(填“>”或“<”)
>
因为2<3，且都在第二象限，由它们的余弦线知cos 2>cos 3.
7.若角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，则α的值为________.
根据角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，
且符号相异可知sin α＝－cos α，
即角α的终边为二、四象限的角平分线，
8.已知集合A＝[0，2π]，B＝{α|sin α在[0，2π]内，由sin α＝cos α时，
(2)由图②知，当tan x≥－1时，角x满足的集合为
√
11.如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除了可能重合，还可能
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于直线y＝x对称 D.关于原点对称
如图，角α的终边与单位圆相交于点P，
过点P作PM⊥x轴于点M，
设角β的终边与单位圆相交于点P1，
当角β的终边与角α的终边关于x轴对称时，
过点P1作x轴的垂线，则垂足为点M，
所以当角α与β的终边关于x轴对称时，
cos α＝cos β，故选A.
12.(多选)下列四个说法中正确的为
A.α一定时，单位圆中的正弦线也一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C.α和α＋π有相同的余弦线
D.具有相同正切线的两角终边在同一直线上
√
对于A，单位圆中，α一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A正确.
√
对于C，α和α＋π的余弦线相反，所以C错误；
对于D，第一、三象限角的正切线相同，第二、四象限角的正切线相同，即具
有相同正切线的两个角终边一定在同一条直线上，所以D正确.
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，
14.(多选)已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是
A.若角α，β是第一象限角，则cos α>cos β
B.若角α，β是第二象限角，则tan β>tan α
C.若角α，β是第三象限角，则cos β>cos α
D.若角α，β是第四象限角，则tan α>tan β
√
当α，β是第一象限角，
√
√
若α，β是第二象限角，如图(2)所示，
∴cos β>cos α，C正确.
若α，β是第四象限角，如图(4)所示，则