人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.2.3同角三角函数的基本关系式课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第七章 7.2　任意角的三角函数
1.理解同角三角函数的基本关系式及推导.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和恒等式证明.
学习目标
引入
课时精练
一、利用同角三角函数的基本关系式求值
二、利用同角三角函数的基本关系式化简
三、利用同角三角函数的基本关系式证明
课堂达标
内容索引
利用同角三角函数的基本关系式求值
一
同角三角函数的基本关系式
知识梳理
1
温馨提示
角度1　已知某个三角函数值求其他三角函数值
例1
又sin2α＋cos2α＝1，②
又α是第三象限角，
角度2　利用sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系求值
例2
(2)求sin α－cos α的值.
∴sin α>0，cos α<0得sin α－cos α>0.
(1)已知sin α、cos α、tan α中的一个值求另外两个值时，若α所在的象限不确定时应分类讨论；
(2)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
在求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号.
思维升华
训练1
由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，
利用同角三角函数的基本关系式化简
二
探究2 你能发现同角三角函数的基本关系式有哪些变形形式吗？
例3
思维升华
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
√
训练2
A.sin α B.cos α
C.1＋sin α D.1＋cos α
利用同角三角函数的基本关系式证明
三
(链接教材P24例5)求证：
(1)sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝1；
例4
原式左边＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1＝右边，
因此sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝1.
法二　由题意知sin α≠0，则cos α≠1，即1－cos α≠0，
思维升华
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简.
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.
训练3
所以等式成立.
所以等式成立.
【课堂达标】
√
√
∴sin α>cos α，cos α－sin α<0.
3.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.
1
【课时精练】
√
√
由sin2θ＋cos2θ＝1，
√
A.3 B.－3 C.1 D.－1
∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，
√
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
∴此三角形为钝角三角形.
√
√
√
9.已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值.
∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
又由sin α＝－3cos α，
可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，
√
因为θ∈(0，π)，则sin θ>0.
√
对于B，由A可知，cos θ<0，则sin θ－cos θ>0，
所以3sin α＋2cos α＝2，
所以9sin2α＋12sin αcos α＋4cos2α＝4，所以5sin2α＋12sin αcos α＝0，
13.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根.
(1)求实数a的值；
sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根，
Δ＝a2－4a≥0，解得a≥4或a≤0，
则sin θ＋cos θ＝a，sin θcos θ＝a，
sin2θ＋cos2θ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝a2－2a＝1，
√
设大正方形的边长为a，
则直角三角形的直角边分别为asin α，acos α，
因为α是直角三角形较小的锐角，