人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.3.1正弦函数的性质与图象第一课时正弦函数的性质课件(共54张PPT)

(共54张PPT)
第七章 7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.掌握函数y＝sin x的单调性、奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
学习目标
根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，因此，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！
引入
课时精练
一、正弦函数的概念与性质的探究
二、正弦函数的周期性与奇偶性
三、正弦函数的值域与最值
课堂达标
内容索引
四、正弦函数的单调性及应用
正弦函数的概念与性质的探究
一
探究 利用前面学过的正弦线，如图所示，探究y＝sin x的主要性质.
(1)如何探究函数的值域？
(2)如何研究函数y＝sin x的奇偶性、周期性、单调性？
故y＝sin x的值域为[－1，1].
(2)∵sin(－x)＝－sin x，∴y＝sin x是奇函数.
∵sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z，∴2kπ是y＝sin x的周期，
1.正弦函数
对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数.
知识梳理
2.函数的周期性
(1)周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝_____，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期.
f(x)
最小的正数
3.正弦函数y＝sin x的性质
R
[－1，1]
1
－1
函数 y＝sin x
定义域 _______
值域 __________
最值
当且仅当_____________________时，函数y＝sin x取最大值ymax＝_______；
当且仅当__________________时，函数y＝sin x取最小值ymin＝______
奇函数
kπ，k∈Z
奇偶性 ___________
周期性 最小正周期：2π
单调性 在________________________________上单调递增；
在________________________________上单调递减
零点 ________________
(1)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(2)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(3)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
温馨提示
正弦函数的周期性与奇偶性
二
例1
2π
∴最小正周期为2π.
奇函数
f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
1.由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x知当k＝1时，正弦函数y＝sin x的最小正周期为2π，可利用周期函数一个周期上的图象和性质来研究在整个定义域上的图象与性质.
2.定义法判断函数的奇偶性：即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))来判断.
思维升华
(1)函数y＝|sin x|，x∈R的最小正周期为______.
训练1
设f(x)＝|sin x|，
π
∵f(x＋π)＝|sin(x＋π)|
＝|sin x|＝f(x)，
∴y＝|sin x|的最小正周期为π.
√
(2)函数f(x)＝xsin(π＋x)
A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数
C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数
易知函数f(x)的定义域R关于原点对称，
∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
f(－x)＝(－x)sin(π－x)＝－xsin x＝f(x)≠－f(x)，
∴f(x)是偶函数，不是奇函数.
正弦函数的值域与最值
三
(链接教材P39例3)(1)已知2sin x－a＋2＝0，x∈R，则a的取值范围为__________.
例2
[0，4]
(2)求函数y＝cos2x＋sin x＋2的最大值，最小值及相应x的取值.
y＝cos2x＋sin x＋2＝－sin2x＋sin x＋3，
当t＝－1，即sin x＝－1，
∵－1≤sin x≤1，
思维升华
1.求解形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解.
2.求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性.
A.[1，3] B.[－1，3] C.[－3，1] D.[－1，1]
训练2
√
∴f(x)＝－2sin x＋1∈[－1，3].
(2)求函数f(x)＝sin(π＋x)－cos2x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值.
f(x)＝sin(π＋x)－cos2x＝－sin x－1＋sin2x＝sin2x－sin x－1，
令t＝sin x，
正弦函数的单调性及应用
四
√
例3
(2)y＝－3sin x＋1的单调递减区间为_____________________________，若
x∈[0，π]，则y＝－3sin x＋1的单调递减区间为________.
y＝－3sin x＋1单调递减，
若x∈[0，π]，
思维升华
(1)求形如y＝asin x＋b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y＝
asin x＋b的增区间，即求y＝sin x的减区间.
(2)比较三角函数值大小的方法
①同名函数：若两角在同一单调区间内，直接利用单调性得出；若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较.
②异名函数：先利用诱导公式转化为同名函数，再比较.
(1)(多选)下列关系式中正确的是
A.sin 11°＞cos 10° B.sin 168°＞sin 11°
C.sin 168°＞cos 10° D.cos 10°＞sin 11°
训练3
sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
√
√
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，
所以sin 80°＞sin 12°＞sin 11°，
即cos 10°＞sin 11°，sin 168°＞sin 11°.
【课堂达标】
1.函数y＝－2sin x是
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
√
设f(x)＝－2sin x，x∈R，
∵f(－x)＝－2sin(－x)＝2sin x＝－f(x)，
∴函数y＝－2sin x是奇函数.
2.已知2a－1－3sin x＝0，则a的取值范围是
A.(－1，2) B.[0，1] C.(0，1) D.[－1，2]
√
2a－1＝3sin x，∵sin x∈[－1，1]，
∴－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2.
[0，2]
【课时精练】
√
1.关于正弦函数y＝sin x(x∈R)，下列说法正确的是
A.值域为R B.最小正周期为2π
C.在(0，π)上递减 D.在(π，2π)上递增
函数y＝sin x(x∈R)的定义域为R，值域为[－1，1]，所以A错误；
y＝sin x(x∈R)的最小正周期为2π，所以B正确；
√
2.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
√
A.a>b B.a√
4.函数y＝9－sin x的单调递增区间是
y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同.
√
5.函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为
sin x(或2sin x等，答案不唯一)
y＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
√
√
√
√
13.函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3.
(1)求实数a的值；
∵ymax＝1－a，∴a<0，
故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4.
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间.
(2)由(1)得y＝－4sin x＋1，
函数y＝－4sin x＋1单调递增，
14.(多选)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|，下列结论中正确的是
√
因为g(x)＝sin |x|不是周期函数，所以f(x)不是周期函数，故A错误；
√
当x∈[0，π]时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，
令f(x)＝0，即sin x＝0，所以x＝0或x＝π.
又因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
所以f(x)在[－π，π]上有3个零点，分别为－π，0，π，故C错误；
因为sin|x|≤1，|sin x|≤1，所以f(x)＝sin|x|＋|sin x|≤2.