第二十一章 四边形 特殊平行四边形的动点问题 专题练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的动点问题 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
2．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形为矩形
B．当时，四边形为平行四边形
C．当时，或
D．当时，或
3．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）

A． B． C．或 D．或
4．如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或 D．2或
5．如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（ ）

A．当时， B．当时，
C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为
6．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的倍，则它们第次相遇在边________上．
8．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为_______．
9．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒．
10．如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为________．
11．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为____．
12．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________
13．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______．
三、解答题
14．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中．
(1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）．
(2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值．
15．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形．
(1)______；
(2)求证：；
(3)当四边形的面积为20时，求出此时的长．
(4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值．
16．如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位．
(1)菱形的周长为___________．
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(3)当为直角三角形时，直接写出的值．
17．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒．
(1)________，________；（用含t的代数式表示）
(2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值．
18．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接．
(1)当点与点重合时，的值为________．
(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；
(3)当平分面积时，求的值；
(4)当时，直接写出的值．
19．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且．
(1)________（用含的代数式表示）；
(2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D B D C B
1．A
【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可．
【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确；
当四边形是菱形时，，
则，解得：，符合题意，
即：当时，四边形是菱形，故②正确；
当四边形是矩形时，，则，解得，
即：当时，四边形是矩形，故③正确；
当四边形是正方形时，，
则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确，
综上，正确的有①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键．
2．D
【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可．
【详解】解：当时，，cm，，
∴，
∴四边形不为矩形，故选项A结论错误；
当时，，，cm，
∴，
∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误；
当时，作，垂足分别为E、F，如图，
∵，
∴，
∴四边形，都是矩形，
∴，，
∴当时，，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，故选项C错误、选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则，
设运动时间为，
当时，，，
∴，
，
∴(舍去)；
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：(舍去)；
综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形．
故选:B．
4．D
【分析】本题考查了特殊四边形的动点问题，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．设运动时间为，由题意得可知，，，，分两种情况讨论：①；②，利用全等三角形的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为，
由题意得：，，则，
①若，则，，
，，
，；
②若，则，，
，，
解得：，
，
解得：a＝，
综上，a的值为2或．
故选：D．
5．C
【分析】根据点、点的速度及、的长，分别用表示出、、、的长，根据值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断、选项正确，利用选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断选项正确，即可得答案．
【详解】∵点的速度为，点的速度为，，
∴，，，，
当时，，，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，故选项正确，不符合题意，
如图，过点作于，

∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
当时，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，故选项正确，不符合题意，
由选项可知：当时，四边形是平行四边形，
∴，
如图，当时，过点作于，

∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故选项错误，符合题意，
∵，，
∴，
，，
∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，故选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查四边形中的动点问题、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及一次函数的性质，正确表示出各线段的长，熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理及一次函数的性质是解题关键．
6．B
【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，、的速度和是，求得每一次相遇的地点，然后找出规律即可解答．
【详解】解：，，，，
，，即，
经过秒钟时，与在处相遇，
接下来两个点走的路程为的倍数时，两点相遇，
第二次相遇在的中点，
第三次相遇在，
第四次相遇在
第五次相遇在，
第六次相遇在点
每五次相遇点重合一次，
，
即第次相遇点的坐标与第一次相遇点的坐标重合，即．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律是解答问题的关键．
7．
【分析】先根据甲、乙的运动速度和运动方向分别得出第、、、、次相遇位置，再归纳类推出一般规律，由此即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为，因为甲的速度是乙的速度的倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇；
归纳推理得：它们相遇位置每四次一循环，
，
它们第次相遇位置与第一次相遇位置相同，即在边相遇．
8．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用相关性质定理是解题的关键．由题意易知，在上取点，使，连接，，则，从而可得，进而证得四边形是矩形，四边形、四边形均为正方形，得到，结合，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
的平分线交于点，
，
如图，在上取点，使，连接，，
，
，，
与的距离为，
，
，
如图，则四边形是矩形，
，，
，
，
，，，
四边形为正方形，
，，，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
由勾股定理得，
故答案为：．
9．或
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴运动时间为（秒）
∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，
到达的时间为（秒），
∴当在点以及点的左边时，即时，
则，
当在的右边时，即时，
则，
以点为顶点的四边形是平行四边形时，
①当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得：；
②当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得，
综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或．
10．3或6或9
【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及平行四边形的判定与性质、两个直角三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用，根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时，画出图形，数形结合，列方程求解即可得到答案．解题的关键是分类讨论思想的应用．
【详解】解：由已知可得，从需，从（或从）需，
设点的运动时间为，
①当时，
过作于，过作于，如图所示：
，
，
由点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，
则，
在平行四边形中，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
∴，
在平行四边形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得（不是整数，舍去）；
当四边形是平行四边形时，如图所示：
此时，
∴，
解得，
∴为3时，；
②当时，若四边形是平行四边形，如图所示：
此时，
∵，
∴，
∴，
解得；
由①知，若四边形中，，，时，则，
这种情况在时不存在；
∴为6时，；
③当时，若四边形是平行四边形，如图所示：
此时，
∴，
解得，
∴为9时，；
综上所述，为3或6或9时，，
故答案为：3或6或9．
11．或
【分析】本题主要考查了长方形的性质、三角形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．
分三种情况：当点在上，则，当点在上，当点在上，分别画出图形求出结果即可．
【详解】解：四边形是长方形，
，，，
点是上的一点，且，
，，
当点在上，则，
，
，
解得：；
当点在上，如图1所示，
，
则，
，
当点在上时，不存在的情况；
当点在上，如图所示，
，，
，
解得：，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
12．或
【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可．
【详解】解∶∵，，
∴，
∵，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，
当F在M的右侧时，，
又，
∴，
∴；
当F在M的左侧时，，
又，
∴，
∴；
综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，
故答案为：或．
13．或
【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答．
【详解】①当点在上时，由题意得
要使，则需
解得：
②当在上时，不构成
③当在 上时，由题意得
要使，则需，即
解得：
综上，当或时，
故答案为或．
14．(1)平行四边形
(2)2或8
【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解．
【详解】（1）解：平行四边形．
由题意得：,
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，分别是，中点，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图①，连接 ．
，分别是，的中点，四边形是矩形，
四边形是矩形，
．
分以下两种情况讨论：
①如图①，当四边形是矩形时，．
，，，
．
，
，
；
②如图②，当四边形是矩形时，，．
，
，
．
综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
15．(1)5
(2)证明见解析
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证；
（3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可；
（4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点O为对角线的中点，
∴，
故答案为：5
（2）证明：∵点P关于的对称点为点E，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴
∵四边形的面积为20，
∴，
∵点O为对角线的中点，
∴，，
当点P在边上时，过点O作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当点P在边上时，过点O作于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
（4）解：设，
如图，当点P在边上时，设交于点N，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
当点P在边上时，延长交于点M，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
16．(1)16
(2)
(3)的值为或
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理．
（1）利用菱形周长公式求解即可；
（2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可；
（3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵菱形中，，
∴菱形的周长为，
故答案为：16；
（2）解：作交延长线于点，
由题意得，则，，
当点在线段上时，，
当点在线段的延长线上时，，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴，，
当点在线段上即时，，
当点在线段的延长线上即时，，
综上，；
（3）解：当时，
∵，，，
∴，
∴，即，
解得；
当时，
同理，，即，
解得；
综上，的值为或．
17．(1)，
(2)a的值为2或
【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出；
（2）分、两种情况讨论，分别求出a的值．
【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒，
，
，
，
故答案为：2t，；
（2）当时，
此时，，
则有，，
此时，．
当时，
此时，，
则有，，
此时，．
综上所述，a的值为2或．
【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
18．(1)6
(2)
(3)12或4
(4)2或或8
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
（1）由题意可得，即可；
（2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可；
（3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可．
（4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可．
【详解】（1）解：点Q与点C重合时，
由题意得：，
解得：，
即点Q与点C重合时，t的值为6；
（2）解：当点Q沿运动时，；
由题意得：；
当点Q沿运动时，，
∴，
即；
（3）解：∵面积为，
∴梯形的面积为
分两种情况：
当点Q沿运动时，如图，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，如图，
同理：，
解得：，
此时，两点重合，两点重合；
综上所述，当平分面积时，t的值为12或；
（4）解：分两种情况：
点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时，
同理，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即，
∴，
解得：；
综上所述，当时，t的值为2或或．
19．(1)
(2)存在，或2
【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题：
（1）求出即可表示出的长度；
（2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值．
【详解】（1）解：，则，
故答案为：；
（2）解：存在．
分两种情况讨论：
①当，时，．
∵，
∴．
∴，即．
解得．
∵，，
∴．
②当，时，．
∵，
∴，即．
解得．
∵，即，解得．
综上所述，当或2时，与全等．
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