人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.3.3余弦函数的性质与图象课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第七章 7.3　三角函数的性质与图象
1.能正确使用“五点法”、图象变换法等画出余弦函数的简图.
2.能类比正弦函数的图象与性质得出余弦函数的图象与性质.
3.会应用余弦函数的周期、单调性、最值、对称性解题.
学习目标
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.这节课我们要研究的余弦函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝cos x的什么性质？有了前面我们研究正弦函数的经验，我们来探究一下余弦函数的性质与图象.
引入
课时精练
一、余弦函数的性质与图象的探究
二、余弦函数单调性的应用
三、余弦函数周期性、奇偶性、对称性的应用
课堂达标
内容索引
四、余弦函数的值域(最值)问题
余弦函数的性质与图象的探究
一
探究1 余弦函数y＝cos x的图象能否由正弦函数y＝sin x的图象变换得到？
1.余弦函数：对于任意一个角x，都有__________的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数.
2.余弦函数的图象与性质
知识梳理
唯一确定
R
[－1，1]
2kπ
2π
偶函数
[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
1
－1
kπ
余弦函数单调性的应用
二
√
例1
√
思维升华
(1)余弦型函数单调区间的求法
①如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正.
②将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.
③若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间.
(2)关于三角函数值比较大小
利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间，利用单调性比较大小.
训练1
√
√
余弦函数周期性、奇偶性、对称性的应用
三
√
例2
√
√
f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
则f(x)为偶函数，故A错误；
思维升华
训练2
√
√
(2)函数y＝3cos 2x＋4(x∈R)是
A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数
f(x)＝3cos 2x＋4，
∴f(－x)＝3cos(－2x)＋4＝f(x)为偶函数，
余弦函数的值域(最值)问题
四
例3
(－1，2)
令t＝cos x，则t∈[－1，1]，
(2)求函数y＝cos2x＋4cos x＋1的最大值，最小值及使y取得最值的x的集合.
∴y＝t2＋4t＋1＝(t＋2)2－3，
对称轴t＝－2 [－1，1]，
∴当t＝－1时，ymin＝(－1)2＋4×(－1)＋1＝－2.
此时x的取值的集合为
{x|x＝π＋2kπ，k∈Z}；
当t＝1时，ymax＝12＋4×1＋1＝6.
此时x的取值的集合为{x|x＝2kπ，k∈Z}.
思维升华
求三角函数最值的两种基本类型：
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合函数图象求最值；
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和三角函数的有界性求最值.
训练3
√
【课堂达标】
1.函数f(x)＝cos 2x，x∈R是
√
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
√
4.请写出一个周期为π的偶函数f(x)＝_______________________.
因为f(x)＝cos 2x的周期为π，且为偶函数，故可取f(x)＝cos 2x.
cos 2x(答案不唯一)
【课时精练】
√
√
√
3.若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为
A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a
由题意得sin 47°＝sin(90°－43°)＝cos 43°，
√
√
√
√
其他选项代入验证知均正确.
7.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形如图，则这个封闭图形的面积为________.
4π
观察题图可知S1＝S2，S3＝S4.
因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积可以等价转化为求矩形OABC的面积.
因为OA＝2，OC＝2π，
所以S矩形OABC＝2×2π＝4π，
所以所求封闭图形的面积为4π.
2
∵y＝a－bcos x(b>0)，
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
∴函数y＝－4acos bx的最大值为2.
9.已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，
即y＝f(x)的图象和直线y＝k有2个不同的交点，
所以当f(x)＝k恰有两个不同的实数根时，
实数k的取值范围是[0，2).
√
函数f(x)＝cos x＋|cos x|的定义域为R，f(－x)＝cos(－x)＋|cos(－x)|＝f(x)，
√
√
f(x)是偶函数，A正确；
对于x∈R，f(x)＝cos x＋|cos x|≤1＋1＝2，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取等号，D正确.
3
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的对称轴的方程；
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.
设该函数的图象向右平移φ个单位后对应的解析式为y＝f(x)，