人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.4数学建模活动：周期现象的描述课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
第七章 三角函数
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型.
学习目标
周期现象是自然界中常见的现象之一，如大海中的潮汐现象，日常生活中气温的变化、季节的更替等，而三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.今天，我们将利用三角函数模型研究关于周期现象的简单的实际问题.
引入
课时精练
一、三角函数模型在物理中的应用
二、三角函数模型在生活中的应用
三、函数模型的选取
课堂达标
内容索引
三角函数模型在物理中的应用
一
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
知识梳理
A
ωt＋φ
φ
(2)三角函数的应用
①三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.
②用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验.
(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，与平衡位置的距离是多少？
例1
所以单摆开始摆动时，与平衡位置的距离是3 cm.
(2)当单摆摆动到最右边时，与平衡位置的距离是多少？
(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？
(2)由函数解析式知，振幅为6，
所以单摆摆动到最右边时，与平衡位置的距离是6 cm.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
思维升华
训练1
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
三角函数模型在生活中的应用
二
例2
∵x∈[4，16]，
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
思维升华
解三角函数应用问题的基本步骤
某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)近似描述，求该函数解析式.
训练2
(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，所以x可取6，7，8，9，10.
即客栈在6，7，8，9，10月份要准备不少于400人的用餐.
函数模型的选取
三
已知某海滨天然浴场的海浪高度y(单位：米)是时间t(单位：时，0≤t≤24)的函数，记作y＝f(t).如下表是某日各时段的浪高数据：
例3
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5
(1)从y＝at＋b，y＝at2＋bt＋c，y＝Acos(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
由表中数据可知，应选择的函数模型为y＝Acos(ωt＋φ)＋b，
又当t＝0时，y＝1.5，∴0.5cos φ＋1＝1.5，
得cos φ＝1，则φ＝2kπ，k∈Z，
(2)依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，若海滨浴场全天二十四小时营业，对游客开放，请依据(1)的结论求出一天内共有多长时间可供冲浪爱好者进行活动.
即12k－2又0≤t≤24，
∴0故一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动.
思维升华
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________________________.
训练3
设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可得
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
【课堂达标】
√
√
当x＝6时，ymax＝a＋A＝28；当x＝12时，ymin＝a－A＝18.
20.5
解得a＝23，A＝5.
5
【课时精练】
√
√
A.5 B.6 C.8 D.10
√
√
4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋K(A>0，ω>0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是
√
√
√
因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，
由题意，当t＝0时，d＝0，
37.5
8.如图所示，摩天轮的直径为110 m，最高点距离地面的高度为120 m.摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且每30 min转一圈，若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5 min后距离地面的高度为________m.
由题意可知，距离地面的高度h与时间t所满足的关系式为
h＝Asin(ωt＋φ)＋k，
∵摩天轮的直径为110 m，最高点距离地面的高度为120 m，
9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.
过P作x轴的垂线，设垂足为M，
(1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期；
则MP就是正弦线.
10.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
√
A.y＝sin πx B.y＝cos πx
C.y＝－sin πx D.y＝－cos πx
13.某地2025年7月30日、31日的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：小时)的变化近似满足如下函数关系：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b，x∈[0，48)，其中A>0，ω>0，|φ|≤π.从气象台得知：该地在30日的最高气温出现在下午14时，最高气温为32摄氏度，最低气温出现在凌晨2时，最低气温为16摄氏度.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)该地某商场规定：在环境温度大于或等于28摄氏度时，需要开启空调降温，否则关闭空调，问2025年7月30日、31日这两天需开启空调共多少小时？
解得10＋24k≤x≤18＋24k，k∈Z，
又x∈[0，48)，所以x∈[10，18]∪[34，42]，
所以两天共需开启空调16小时.
14.海洋中的波动是海水的重要运动形式之一.在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播.某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y(米)与时间t(秒)的关系近似满足y＝sin(ωt＋φ)，t∈[0，8]，其中常数ω>0，|φ|<π.经测定，在t＝2秒时该质点第一次到达波峰，在t＝8秒时该质点第三次到达波峰.在t∈[0，8]时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为
√
因为t＝2秒时该质点第一次到达波峰，在t＝8秒时该质点第三次到达波峰.