第二十一章 四边形 特殊平行四边形的性质与判定求角度问题 专题练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的性质与判定求角度问题 专题练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（ ）
①；②；③
A．① B．①② C．①③ D．①②③
4．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不确定
6．如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是( )

A． B． C． D．
7．如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-α B．β=180°- C．β=90°-α D．β=90°-
二、填空题
9．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．

10．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．
11．如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________．
12．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则______
13．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．

14．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________．
15．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．
16．如图，点E为正方形ABCD边CB延长线上一点，点F为AB上一点，连接AE，CF，AC，若BE=BF，∠E=70°，则∠ACF=_____．
三、解答题
17．如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，于点E，求的度数．
18．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接．
(1)由以上作图可知，四边形的形状是___________；
(2)若，求的大小．
19．如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：．
20．如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，，求的度数．
21．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于，连接，若．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求的长．
23．如图，在矩形中，．
(1)如图1，点 E 在 边上，将沿折叠，得到，使点 F落在对角线上，求的长；
(2)如图2，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A与点 C 重合，求的面积；
(3)如图3，将矩形沿过点A的直线折叠，使点 B落在边上的点F处，折痕为，把纸片展平，连接．点M在线段上，将沿 折叠得到，连接并延长交 的延长线线于点Q．
①求 的度数；
②点O为中点，连接，直接写出线段的长．
24．如图，已知正方形，H为线段上的任意一点，连接，将沿翻折得到，连接，，过点D做，交的延长线于点F，若设，
(1)若，，求的面积；
(2)当变化时，是否发生变化，如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的值；
(3)连接，求证：．
25．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，．
(1)求证：；
(2)若点，分别为，的中点，，求的度数．
26．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D A C C D
1．C
【分析】根据得，再根据直角三角形斜边中线性质得，进而得，再由三角形内角和定理求出，则可得出的度数．
【详解】解：四边形．．是矩形，，
，，
，
点是的中点，
是的斜边上的中线，
，
，
∴，
．
2．A
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
，，
，
，
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角．
【详解】解：四边形是平行四边形，且
四边形是菱形
，，，，
，
，
，故①符合题意，
，
，故②符合题意，
，
，
又，，
，
，
∴，
，故③符合题意，
故选：D．
4．D
【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，
∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，
垂直平分，垂直平分，
，，
∵，都在对角线上，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，且，，
，
故选：D．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
5．A
【分析】过点作，，垂足分别为．证明，然后得到，易得答案.
【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为．
∵四边形是正方形，
∴平分，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质以及矩形的判定．解题的关键是会作辅助线，证明两个三角形全等.
6．C
【分析】由正方形的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠AED=70°，求得∠ADE=180°-70°-70°=40°，得到∠EDC=50°，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】解：，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.
7．C
【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD
∴OA=OD=OC=OB
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°.
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°.
∴∠DOC=60°.
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形.
∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°.
∴∠DAC=∠ACB=30°.
∴AC=2AB.
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC.
∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE.
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD.
∴BE=BO.
∴∠BOE=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=135°.
∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等可知，
∴④正确；
故正确答案是C.
【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用.
8．D
【分析】如图，根据题意得∠DAC=∠α，∠EAO=∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根据三角形内角和定理可得β=90°-.
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠α
由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC
∴∠EAO=∠α， ∠EOA=90°
又∠AEO=∠β，
∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°，
∴∠α+∠β+90°=180°，
∴β=90°-
故选D.
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用相关的知识是解题的关键.
9．60
【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
10．44
【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴∠ACB=∠OBC=23° ，
∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ，
∴∠DBE=44° ．
故答案为：44
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．
11．66
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：由作图可得，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．/32度
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
13． 180 5
【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，交的延长线于点，则，
四边形是正方形，
，，，，
，，
，
；
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：180，5．

【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．64°
【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出∠BEC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°，
∴∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴△ECF为等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°，
则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°，
∴∠BEC＝64°，
故答案为：64°.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15．135
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
16．25°
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出∠BCF=∠EAB，再利用正方形的性质解答即可．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠EAB，
∵∠E=70°，
∴∠BCF=∠EAB=90°-70°=20°，
∵正方形ABCD，AC是对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°-20°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题主要考查正方形的四条边都相等和四个角都是直角的性质以及三角形全等的判定和全等三角形对应边相等的性质．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等边对等角，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键。
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则可证明四边形是平行四边形，再由勾股定理的逆定理可证明，则可证明四边形是矩形；
（2）由矩形的性质得到，则，进而求出，由矩形的性质得到，由等边对等角得到，则．
【详解】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
18．(1)菱形
(2)
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，正确理解作图是解题的关键．
（1）根据四边形相等的四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱得到，由平行得到，再由邻补角即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
证明：由作图可得，
∴四边形是菱形，
（2）解：四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．见解析
【分析】本题考查菱形的性质、三角形全等的判定与性质．解题关键是利用菱形性质得到边和角的关系．
通过利用中位线定理证明得出对应角相等，再结合菱形角的性质进行等量代换．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵E，F分别是边，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
20．(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质成为解题的关键．
（1）根据三角形中位线的性质可得、，即；再说明、，证得可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）先证明平行四边形BEFC是菱形，再利用菱形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：点D，E分别是边的中点，
，，
，
∵点O是边的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
平行四边形BEFC是菱形，
，，
．
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论；
（）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，推出，由三角形的外角性质可得，结合，即可求解；
（2）过点作于点，结合，可得，证明，得到，，再根据线段的和差即可求解；
（3）过点作交的延长线于点，过点作于点，得到，结合，可推出，由推出，进而得到，可推出，结合可得，设，，则，证明得到，，在中，根据勾股定理求出，得到，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（3）过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
设，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，并灵活运用相关知识．
23．(1)3
(2)
(3)①；②
【分析】（1）证明．在 中， 求解，证明，，，设，则，，再进一步解答即可；
（2）设与的交点O，如图，求解，设，则，可得，求解，再进一步解答即可；
（3）①证明四边形是正方形．．设，再进一步解答即可；②求解．连接．证明．可得．结合O 为中点，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形 为矩形，
∴．
∵，，
在 中， ，
∵将沿折叠，得到，
∴，，，
∴． ．设，则，，
在中， ，
，
解得，
∴；
（2）设与的交点O，如图，
∵矩形沿折叠，点A与点 C重合，
，，
，
，
设，则，
在 中， ，
，
解得，
，
在中，根据勾股定理得， ，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
又∵矩形沿折叠，
∴ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
；
（3）①∵将矩形纸片沿折叠，点 F落在上．
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵ ，．
∴，
∴四边形是正方形．
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴．
设，
∴，
∵，
∴ ，
∵；
，
，
②∵，
∴．
连接．
∵，，．
∴．
∴，
∴，
∵O 为中点，
∴ ．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，本题难度较大，熟练的利用轴对称的性质解题是关键．
24．(1)
(2)不发生变化，
(3)见详解
【分析】（1）过点E作于点T，由折叠的性质及正方形的性质可知，然后问题可求解；
（2）设与相交于点N，由折叠的性质可得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解；
（3）过点分别作，垂足分别为M、K，与相交于点N，由题意易证，同理可证，则有四边形为正方形，然后问题可进行求解．
【详解】（1）解：过点E作于点T，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：的度数不发生改变，理由如下：
设与相交于点N，如图所示：
由折叠的性质可得，，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过点分别作，垂足分别为M、K，与相交于点N，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在正方形中，，，由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，即可利用证全等；
（2）利用平行四边形的性质证出和，得到和，推出四边形是平行四边形，再证出即可推出四边形是矩形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定，中位线的性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先证明，接着证明四边形是平行四边形，然后结合，得证；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道，那么，再根据三角形内角和算得，从而得出答案．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
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