人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.3向量数量积的坐标运算课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第八章　向量的数量积与三角恒等变换　8.1　向量的数量积
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式，解决平面几何问题.
学习目标
“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究.
引入
课时精练
一、向量数量积的坐标表示
二、向量模的坐标运算
三、向量的夹角与垂直
课堂达标
内容索引
四、向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用
向量数量积的坐标表示
一
探究1 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴正方向相同的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，
则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.
由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，
故a·b＝8.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________________.
知识梳理
x1x2＋y1y2
(链接教材P86例1)(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10 B.－10 C.3 D.－3
例1
√
a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6，3)，若b·c＝14，a·c＝2，则向量c的坐标为________.
设b＝(x1，y1)，
(3，4)
∴a＋2b＝(2x1＋2，2y1－1)＝(6，3)，
∴2x1＋2＝6，且2y1－1＝3，
解得x1＝2，y1＝2，∴b＝(2，2)，
设c＝(x2，y2)，
∴c＝(3，4).
进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2.
思维升华
(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则(a＋2b)·c等于
A.(－15，12) B.0 C.－3 D.－11
训练1
√
a＋2b＝(－5，6)，
∴(a＋2b)·c＝－15＋12＝－3.
如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，
建立平面直角坐标系.
向量模的坐标运算
二
知识梳理
已知向量a＝(3，5)，b＝(－2，1).
(1)求|a－2b|；
例2
∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，
∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)，
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
∵a·b＝－6＋5＝－1，
∴c＝a＋b＝(1，6)，
思维升华
√
训练2
向量的夹角与垂直
三
(2)a⊥b ________________________.
知识梳理
x1x2＋y1y2＝0
(链接教材P87例3)已知a＝(4，－3)，b＝(－1，2).
(1)求a＋b与a－b夹角的余弦值；
例3
设a＋b与a－b的夹角为θ，
∵a＋b＝(3，－1)，a－b＝(5，－5)，
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
∵(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，
∴2a2＋(1－2λ)a·b－λb2＝0，
∵a2＝25，b2＝5，a·b＝－4－6＝－10.
思维升华
训练3
因为a·b＝－t＝－4，所以t＝4，所以a＝(4，0)，
√
(2)已知向量m＝(2，－3)，n＝(－1，2)，p＝(λ，3)，若(m＋3n)⊥p，则λ＝________.
9
∵m＝(2，－3)，n＝(－1，2)，
∴m＋3n＝(－1，3)，
∵(m＋3n)⊥p，∴(m＋3n)·p＝－λ＋9＝0，
∴λ＝9.
向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用
四
(链接教材P87例5)已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
例4
建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
(2)AP＝AB.
设点P的坐标为(x，y)，
思维升华
已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
训练4
建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(a，0)，则B(0，a)，E(x，y).
【课堂达标】
1.若向量a＝(m，1)，b＝(－2，2)，且a·b＝2，则m等于
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
∵a·b＝－2m＋2＝2，∴m＝0.
2.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于
√
∵2a－b与b垂直.
∴(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
以A点为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
由题意，知E为BC的三等分点，F为AC的中点，
【课时精练】
√
1.已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为
由a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
知λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2).
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，
√
√
3.已知平面向量a，b满足a2＝3，b＝(2，0)，|a＋b|＝1，则a与b的夹角等于
设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，
√
√
如图，建立平面直角坐标系，设|DF|＝a∈[0，4]，
则A(0，0)，E(4，2)，F(a，4)，
(2，4)
因为向量a＝(1，2)，且a与b方向相同，
所以b＝(2，4).
因为a－b＝(－1，－2)，
7.已知向量a＝(－2，1)，b＝(m，2)，若|a＋b|>|a－b|，则实数m的一个可能取值为________________________________.(答案不唯一)
0(答案不唯一，只需m<1即可)
因为a＝(－2，1)，b＝(m，2)，
所以a＋b＝(－2＋m，3)，a－b＝(－2－m，－1).
解得m<1.
所以m的一个可能取值为0(答案不唯一，只需m<1即可).
1
9.已知平面向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)，c＝(2，y)，a∥b，a⊥c，求：
(1)向量b，c的坐标；
∵a＝(3，－4)，b＝(2，x)，a∥b，
(2)向量a－2c与－3b的夹角.
设a－2c与－3b的夹角为θ，
∵a－2c＝(3，－4)－(4，3)＝(－1，－7)，－3b＝(－6，8)，
√
11.(多选)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，x－1)，则
√
√
对于B，若a∥b，则x(x－1)－2＝0，
解得x＝2或x＝－1，故B错误；
对于C，若a与b夹角为锐角，
√
同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高所在直线的交点.
即为△ABC的垂心.
13.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
则(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝4，
从而5t＝－15，所以t＝－3.
∴存在满足条件的t，且t＝－3.