人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦课件(共49张PPT)

(共49张PPT)
第八章　向量的数量积与三角恒等变换　8.2　三角恒等变换
1.理解两角差与和的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值，计算.
学习目标
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和(或差)的三角函数，如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和(或差)的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题.
引入
课时精练
一、两角和与差的余弦公式
二、给值求值
三、给值求角
课堂达标
内容索引
两角和与差的余弦公式
一
提示　A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β).
探究2 在上述公式中，若把β换成－β，又能得到什么关系式？
提示　cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
两角和与差的余弦公式
知识梳理
公式 简记 使用范围 巧记
cos(α－β)＝______________________ Cα－β α、β均为任意角 余余正正，符号相反
cos(α＋β)＝_______________________ Cα＋β
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
例1
(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；
原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝cos 60°cos 75°－sin 60°sin 75°
＝cos(60°＋75°)＝cos 135°＝－cos 45°
两角和与差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和与差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.
思维升华
训练1
(3)cos 15°－sin 15°.
法一　原式＝cos 15°－cos 75°
＝cos(45°－30°)－cos(45°＋30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°－
(cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°)
给值求值
二
例2
本例中若把α，β为锐角改为α，β∈(0，π)，求cos β的值.
迁移
∵α，β∈(0，π)，∴α＋β∈(0，2π)，
思维升华
训练2
给值求角
三
例3
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
思维升华
给值求角的解题策略
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
训练3
√
∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
【课堂达标】
√
√
√
3.sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°＝________.
sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°
＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°
4.cos222.5°－sin222.5°＝________.
cos222.5°－sin222.5°＝cos 22.5°·cos 22.5°－sin 22.5°sin 22.5°
【课时精练】
√
1.(多选)下列各式化简正确的是
根据两角和与差的余弦公式，A，B，C均正确，
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√
√
√
∵α，β为锐角，
∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
√
√
6.计算cos(α＋120°)cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝________.
原式＝cos(α＋120°)cos α＋sin(α＋120°)sin α
√
11.现有甲、乙、丙、丁四人各拿着一个牌子，四个牌子依次写上sin 25°，cos 65°，cos 385°，sin 65°，现将四人任意均分为两组，先把每组的两个数相乘，再把两个积相加，则最后得到的数最大应为
A.cos 40° B.cos 45° C.cos 50° D.1
根据诱导公式可得cos 385°＝cos 25°，
所以最后得到的结果有下列三种情形：sin 25°cos 65°＋cos 25°sin 65°
＝sin225°＋cos225°＝1，sin 25°cos 25°＋cos 65°sin 65°
＝cos 65°cos 25°＋sin 25°sin 65°＝cos 40°，
sin 25°sin 65°＋cos 65°cos 25°＝cos 40°.
而cos 40°<1，最后得到的数最大应为1.
√
由已知，得sin γ＋sin α＝sin β，cos α－cos γ＝cos β，
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√
两式分别平方相加，得(sin γ＋sin α)2＋(cos α－cos γ)2＝1，
sin2γ＋sin2α＋2sin γsin α＋cos2α＋cos2γ－2cos αcos γ＝1，
整理得2(sin γsin α－cos αcos γ)＝－1，
同理，由sin β－sin γ＝sin α，cos β＋cos γ＝cos α，两式分别平方相加，
由sin β－sin α＝sin γ，cos α－cos β＝cos γ，两式分别平方相加，
14.(多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，A(1，0)，则
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√
√