人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.1向量数量积的概念课件(共59张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.1向量数量积的概念课件(共59张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共59张PPT)
第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积
1.理解平面向量数量积的概念，会求平面向量的数量积.
2.理解投影向量及投影数量的概念.
3.理解平面向量数量积的几何意义.
学习目标
前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！
引入
课时精练
一、两个向量的夹角
二、向量数量积的定义
三、向量数量积的性质
课堂达标
内容索引
四、向量的投影与向量数量积的几何意义
两个向量的夹角
一
探究1 设非零向量a，b，能否把a，b平移到共同起点？如何表示向量a，b的夹角呢？
提示 能把a，b平移到共同起点.如图.平移到共同起点后，∠AOB即a，b的夹角.
知识梳理
∠AOB
[0，π]
〈b，a〉
a⊥b
2.两向量的垂直：当〈a，b〉＝____时，称向量a与向量b垂直，记作______.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量________.
垂直
例1
√
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，
当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
思维升华
训练1
120°
60°
向量数量积的定义
二
(1)这个公式中哪些是向量，哪些是数量？
(2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？
(2)功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.
一般地，当a与b都是非零向量时，称____________________为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作________，即a·b＝________________.
知识梳理
|a||b|·cos〈a，b〉
a·b
|a||b|cos〈a，b〉
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”.
(2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数.既可以是正数，也可以是0，还可以是负数.
(3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0.
温馨提示
例2
思维升华
若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
√
训练2
(2)在边长为a的正六边形ABCDEF中，试求：
向量数量积的性质
三
1.|a·b|≤______.
2.a·a＝_______，即|a|＝________，a2＝_______.
3.a⊥b a·b＝0.
4.如果a，b都是非零向量，则cos〈a，b〉＝_______.
知识梳理
|a||b|
|a|2
|a|2
温馨提示
例3
√
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
√
对于A，当a、b反向时，a·b＝－|a|·|b|，故不正确；
√
对于B，a·c＝b·c |a||c|·cos〈a，c〉＝|b||c|cos〈b，c〉，
∴|a|cos〈a，c〉＝|b|cos〈b，c〉，故不正确；
对于D，因为a，b，c均为同一平面内的非零向量，
故a⊥b，b⊥c时，a∥c，正确.
思维升华
等边三角形
训练3
因为0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.
60°
向量的投影与向量数量积的几何意义
四
②如图②所示，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.向量a在向量b上的投影为_______.
知识梳理
投影向量
(2)数量积的几何意义
①投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称__________________为向量a在向量b上的投影的______.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
②数量积的几何意义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝(|a|cos〈a，b〉)|b|，两个非零向量a，b的数量积a·b等于a在向量b上的投影的______与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.
|a|cos〈a，b〉
数量
数量
温馨提示
(1)(链接教材P79练习AT5)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影向量为
A.2 B.－2 C.2b D.－2b
√
例4
√
设AB的中点为M，连接OM(图略)，
A.4 B.－4
C.8 D.－8
思维升华
(1)a在b上的投影是一个向量，它的方向与b同向或反向，即a在b上的投影与向量b共线.
(2)利用向量数量积的几何意义可以求两向量的数量积，即a与b的数量积为a在b上的投影的数量与|b|的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.
－4
训练4
【课堂达标】
√
√
向量b在a上的投影的数量为
45°
由题意知∠AOC＝120°，
【课时精练】
√
1.已知|a|＝6，|b|＝8，且a与b的夹角为135°，则a·b等于
√
因为0°≤〈a，b〉≤180°，
所以〈a，b〉＝30°.
√
3.已知|a|＝6，|b|＝6，a·b＝－24，则向量a在向量b上的投影的数量是
A.－4 B.4 C.－2 D.2
根据投影的数量的定义，设a，b的夹角为θ，
√
4.(多选)下列命题是真命题的是
A.a·b＝0 a＝0或b＝0 B.a∥b a在b上的投影数量为±|a|
C.a⊥b a·b＝(a·b)2 D.a·c＝b·c a＝b
对于A，a·b＝0，也可得到a⊥b，故A错误；
√
对于B，若a∥b时〈a，b〉＝0或π，
所以a在b上的投影数量为±|a|，B正确；
对于C，当a⊥b时，a·b＝0，C正确；
对于D，a·c＝b·c时，a＝b或c＝0，D错误.
√
A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
∴BC∥AD且BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
6.已知a·b＝16，若a在b上的投影的数量为4，则|b|＝________.
4
∵a·b＝16，
∴|a||b|·cos〈a，b〉＝16，
又∵a在b上的投影的数量为4，
∴|a|cos〈a，b〉＝4，∴|b|＝4.
3
由向量数量积的几何意义及(1)知，
如图所示，连接AD.
因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.
又AB＝2，∠ABC＝30°，
√
过点A作AM∥CD且AD∥MC，
所以四边形AMCD是平行四边形，
则AM＝CD＝2，且AB＝2，∠ABC＝60°.
所以△ABM是等边三角形，
12.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有
√
e1在e2上的投影是一个向量，故A不正确.
√
e1·e2＝|e1||e2|·cos〈e1，e2〉＝cos θ，故B不正确.
作平行四边形ABCD，则平行四边形ABCD为菱形.
如图，过F作FF′⊥AD，F′为垂足.
如图，过点E作EE′⊥AB，垂足为E′，
第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积
1.理解平面向量数量积的概念，会求平面向量的数量积.
2.理解投影向量及投影数量的概念.
3.理解平面向量数量积的几何意义.
学习目标
前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！
引入
课时精练
一、两个向量的夹角
二、向量数量积的定义
三、向量数量积的性质
课堂达标
内容索引
四、向量的投影与向量数量积的几何意义
两个向量的夹角
一
探究1 设非零向量a，b，能否把a，b平移到共同起点？如何表示向量a，b的夹角呢？
提示 能把a，b平移到共同起点.如图.平移到共同起点后，∠AOB即a，b的夹角.
知识梳理
∠AOB
[0，π]
〈b，a〉
a⊥b
2.两向量的垂直：当〈a，b〉＝____时，称向量a与向量b垂直，记作______.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量________.
垂直
例1
√
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，
当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
思维升华
训练1
120°
60°
向量数量积的定义
二
(1)这个公式中哪些是向量，哪些是数量？
(2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？
(2)功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.
一般地，当a与b都是非零向量时，称____________________为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作________，即a·b＝________________.
知识梳理
|a||b|·cos〈a，b〉
a·b
|a||b|cos〈a，b〉
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”.
(2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数.既可以是正数，也可以是0，还可以是负数.
(3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0.
温馨提示
例2
思维升华
若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
√
训练2
(2)在边长为a的正六边形ABCDEF中，试求：
向量数量积的性质
三
1.|a·b|≤______.
2.a·a＝_______，即|a|＝________，a2＝_______.
3.a⊥b a·b＝0.
4.如果a，b都是非零向量，则cos〈a，b〉＝_______.
知识梳理
|a||b|
|a|2
|a|2
温馨提示
例3
√
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
√
对于A，当a、b反向时，a·b＝－|a|·|b|，故不正确；
√
对于B，a·c＝b·c |a||c|·cos〈a，c〉＝|b||c|cos〈b，c〉，
∴|a|cos〈a，c〉＝|b|cos〈b，c〉，故不正确；
对于D，因为a，b，c均为同一平面内的非零向量，
故a⊥b，b⊥c时，a∥c，正确.
思维升华
等边三角形
训练3
因为0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.
60°
向量的投影与向量数量积的几何意义
四
②如图②所示，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.向量a在向量b上的投影为_______.
知识梳理
投影向量
(2)数量积的几何意义
①投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称__________________为向量a在向量b上的投影的______.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
②数量积的几何意义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝(|a|cos〈a，b〉)|b|，两个非零向量a，b的数量积a·b等于a在向量b上的投影的______与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.
|a|cos〈a，b〉
数量
数量
温馨提示
(1)(链接教材P79练习AT5)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影向量为
A.2 B.－2 C.2b D.－2b
√
例4
√
设AB的中点为M，连接OM(图略)，
A.4 B.－4
C.8 D.－8
思维升华
(1)a在b上的投影是一个向量，它的方向与b同向或反向，即a在b上的投影与向量b共线.
(2)利用向量数量积的几何意义可以求两向量的数量积，即a与b的数量积为a在b上的投影的数量与|b|的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.
－4
训练4
【课堂达标】
√
√
向量b在a上的投影的数量为
45°
由题意知∠AOC＝120°，
【课时精练】
√
1.已知|a|＝6，|b|＝8，且a与b的夹角为135°，则a·b等于
√
因为0°≤〈a，b〉≤180°，
所以〈a，b〉＝30°.
√
3.已知|a|＝6，|b|＝6，a·b＝－24，则向量a在向量b上的投影的数量是
A.－4 B.4 C.－2 D.2
根据投影的数量的定义，设a，b的夹角为θ，
√
4.(多选)下列命题是真命题的是
A.a·b＝0 a＝0或b＝0 B.a∥b a在b上的投影数量为±|a|
C.a⊥b a·b＝(a·b)2 D.a·c＝b·c a＝b
对于A，a·b＝0，也可得到a⊥b，故A错误；
√
对于B，若a∥b时〈a，b〉＝0或π，
所以a在b上的投影数量为±|a|，B正确；
对于C，当a⊥b时，a·b＝0，C正确；
对于D，a·c＝b·c时，a＝b或c＝0，D错误.
√
A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
∴BC∥AD且BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
6.已知a·b＝16，若a在b上的投影的数量为4，则|b|＝________.
4
∵a·b＝16，
∴|a||b|·cos〈a，b〉＝16，
又∵a在b上的投影的数量为4，
∴|a|cos〈a，b〉＝4，∴|b|＝4.
3
由向量数量积的几何意义及(1)知，
如图所示，连接AD.
因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.
又AB＝2，∠ABC＝30°，
√
过点A作AM∥CD且AD∥MC，
所以四边形AMCD是平行四边形，
则AM＝CD＝2，且AB＝2，∠ABC＝60°.
所以△ABM是等边三角形，
12.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有
√
e1在e2上的投影是一个向量，故A不正确.
√
e1·e2＝|e1||e2|·cos〈e1，e2〉＝cos θ，故B不正确.
作平行四边形ABCD，则平行四边形ABCD为菱形.
如图，过F作FF′⊥AD，F′为垂足.
如图，过点E作EE′⊥AB，垂足为E′，