人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.2向量数量积的运算律课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
第八章　向量的数量积与三角恒等变换　8.1　向量的数量积
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
学习目标
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，将规定为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存.我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
引入
课时精练
一、向量数量积的运算律
二、求向量的模和夹角
三、与垂直有关的问题
课堂达标
内容索引
四、向量在几何中的应用
向量数量积的运算律
一
探究 如图，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，比较a·b与b·a；(2a)·b与a·(2b)的大小关系.
提示　a·b＝b·a＝18.(2a)·b＝36，
a·(2b)＝36.即(2a)·b＝a·(2b).
1.平面向量数量积的运算律
知识梳理
运算律 向量数量积
交换律 a·b＝________
数乘结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝______________
分配律 (a＋b)·c＝________________
(a－b)·c＝________________
b·a
λ(a·b)
a·c＋b·c
a·c－b·c
2.常用结论：
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(3)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a.
(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b) ·c不一定等于a· (b·c)，这是由于(a·b) ·c表示一个与c共线的向量，而a· (b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
温馨提示
例1
√
(2)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列结论正确的是
A.a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C.|a|－|b|<|a－b| D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
√
根据向量数量积的分配律知A正确；
√
√
∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确.
求两向量的数量积的两种常见题型
(1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解.
(2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解.
思维升华
训练1
√
如图.
求向量的模和夹角
二
20
(1)(链接教材P83例2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，则|3a＋b|＝________.
例2
∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25
＝325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
设a与b的夹角为θ，
又∵θ∈[0，π]，
思维升华
√
训练2
设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
√
(2)设向量a，b满足|a－4b|＝2，a·b＝2，则|a＋4b|＝
A.5 B.6 C.7 D.8
|a＋4b|2＝a2＋8a·b＋16b2，
|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2，
∴|a＋4b|2－|a－4b|2＝16a·b＝32，
∴|a＋4b|2＝36，∴|a＋4b|＝6.
与垂直有关的问题
三
√
例3
思维升华
解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0.
训练3
∵a⊥(3a＋b)，∴a·(3a＋b)＝3|a|2＋a·b＝0，
√
向量在几何中的应用
四
(链接教材P83例3、例4)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
例4
思维升华
利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解.
训练4
则a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，
又由已知a2－b2＝c2－d2，
可得c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴2e·c－2e·d＝0，即e·(c－d)＝0，
【课堂达标】
√
√
设向量a与b的夹角为θ.
由|a|＝|b|，(a－2b)⊥a可得(a－2b)·a＝0，即a2－2a2cos θ＝0，
3.已知向量a、b的夹角为60°，|a|＝|b|＝1，且向量a与λb－a垂直，则实数λ＝________.
由a⊥(λb－a)，则a·(λb－a)＝0，
2
4.已知向量a·b满足|a|＝3，|b|＝4，且|a＋b|＝|a－b|，则|2a－3b|＝________.
∵|a＋b|＝|a－b|，
【课时精练】
√
1.已知向量a，b满足|a|＝2，a·b＝－3，则a·(a－b)的值为
A.4 B.5 C.6 D.7
由题意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝4＋3＝7.
√
设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
√
∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1·cos 60°＋16×12＝12，
√
由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，
即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，
3m·32＋(5m－3)×3×2·cos 60°－5×22＝0，
√
因为菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，
6.已知非零向量a，b满足a⊥b，|a|＝|b|＝1，则|a＋b|＝________.
由题意，知
|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角.
因为(2a－b)·(3a＋b)＝3，
所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3，
所以6a2－a·b－b2＝3，
所以6－1×2·cos〈a，b〉－4＝3，
10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2DC.证明：AC⊥BC.
√
分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；
√
∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2·cos 120°＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥b，故C正确；
a·b＝1×2·cos 120°＝－1，故D正确.
12.(多选)已知平面图形为正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则下列结论正确的有
√
√
√
13.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(2)若c＝ta＋(1－t)b，且b·c＝0，求t及|c|.
因为b·c＝0，c＝ta＋(1－t)b，
所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，
即ta·b＋(1－t)|b|2＝0，
14.(多选)定义两个非零平面向量a，b的一种新运算：a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角，则对于非零平面向量a，b，则下列结论一定成立的是
A.(a＋b)*(a＋b)＝a*a＋2a*b＋b*b
B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2·|b|2
C.a*b＝0，则a∥b
D.λ(a*b)＝(λa)*b
√
√
对于A，(a＋b)*(a＋b)＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，
a*a＋2a*b＋b*b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|sin〈a，b〉，故A错误；
对于B，(a*b)2＋(a·b)2＝|a*b|2＋|a·b|2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B正确；
对于C，由已知可得，a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉＝0，所以sin〈a，b〉＝0.
因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a∥b，故C正确；
对于D，因为〈λa，b〉与〈a，b〉相同或互补，
所以sin〈λa，b〉＝sin〈a，b〉.
λ(a*b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)*b
＝|λa||b|sin〈λa，b〉
＝|λ||a|·|b|sin〈a，b〉，故D错误.