人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.4三角恒等变换的应用课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
第八章　向量的数量积与三角恒等变换　8.2　三角恒等变换
1.能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
3.学会和差化积、积化和差公式的结构特征.
学习目标
同学们，你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角标点占一个字节，但不管是全角还是半角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字、符号都是半角字符.那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分呢？二者的三角函数之间有何关系？
引入
课时精练
一、半角公式
二、积化和差、和差化积公式
三、证明三角恒等式
课堂达标
内容索引
半角公式
一
知识梳理
温馨提示
例1
∵α为第四象限角，
利用半角公式求值的思路
(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
思维升华
思维升华
训练1
√
－3
积化和差、和差化积公式
二
探究2 (1)怎样用cos(α＋β)，cos(α－β)表示cos αcos β及sin αsin β呢？
(2)怎样用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sin αcos β及cos αsin β呢？
提示　(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②
(2)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
同(1)中方法可得
探究3 在两角和与差的正弦和余弦公式中，若令α＋β＝x，α－β＝y，又能得到什么关系式？
1.积化和差公式
知识梳理
(1)cos αcos β＝________________________.
(2)sin αsin β＝________________________.
(3)sin αcos β＝________________________.
(4)cos αsin β＝________________________.
2.和差化积公式
(1)cos x＋cos y＝_____________________.
(2)cos x－cos y＝_____________________.
(3)sin x＋sin y＝_____________________.
(4)sin x－sin y＝_____________________.
例2
由积化和差公式可知f(x)＝
(2)若x∈[0，2π]，求f(x)的零点.
思维升华
求三角函数的周期、最值、值域、对称等性质时，先利用积化和差、和差化积公式把函数化简成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用整体代换思想求解.
训练2
(2)求f(x)的最小值及最小值点.
证明三角恒等式
三
例3
思维升华
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，若分式不好证明，可变形为整式来证明.
训练3
【课堂达标】
√
√
∵α为第二象限角，且终边过点(－3，4)，
3.sin 37.5°cos 7.5°＝________.
sin 37.5°cos 7.5°
2π
【课时精练】
√
√
A.a>b B.a由题意可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，∴a√
√
√
√
√
∵cos(α＋β)cos(α－β)
由题意得，tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝－4，
(2)求f(x)的最小值.
√
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
又∵A，B∈(0，π)，∴A－B＝0，∴A＝B，△ABC为等腰三角形.
2
不变.
证明：因为A，B，C是△ABC的三个内角，
因此，任意交换两个角的位置，y的值不变.
√
√