人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.3倍角公式课件(共61张PPT)

(共61张PPT)
第八章　向量的数量积与三角恒等变换　8.2　三角恒等变换
1.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用.
学习目标
当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时，翅膀尖上就会产生一股微弱的上升气流，排在它后面的大雁就可以依次利用这股气流，从而节省了体力.研究表明，大雁排成的“人”字形的每边与前进方向的夹角约为55°，那么“人”字形的夹角就是这个角的两倍，大约为110°.这两个角的三角函数之间有什么关系？
引入
大雁是人们熟知的鸟类类群之一，在迁徙时总是几十只、数百只，甚至上千只汇集在一起，列队而飞，古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验的“头雁”带领，加速飞行时，队伍排成“人”字形，一旦减速，队伍又由“人”字形变换成“一”字形.
课时精练
一、倍角公式
二、给值求值
三、化简与证明
课堂达标
内容索引
四、倍角公式的应用
倍角公式
一
探究1 在已学公式Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β中，令α＝β，公式还成立吗？你能得到什么结论？
1.倍角公式：
S2α：sin 2α＝_________________.
C2α：cos 2α＝______________＝_____________＝_____________.
T2α：tan 2α＝____________.
知识梳理
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
(sin α±cos α)2
2cos2α
2sin2α
2.倍角公式的变换
(1)因式分解变换：
cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α).
(2)配方变换：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________.
(3)升幂缩角变换：
1＋cos 2α＝__________，1－cos 2α＝___________.
(4)降幂扩角变换：
cos2α＝____________，sin2α＝_______________.
温馨提示
例1
对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
思维升华
训练1
√
0
∴α＝0.
给值求值
二
例2
(sin α－cos α)2
＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
思维升华
√
训练2
√
∴sin 2A＝cos 2A，即tan 2A＝1，
∵2A∈(0，π)，
化简与证明
三
例3
所以原等式成立.
思维升华
1.三角函数式的化简原则
三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.
2.证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
tan θ
训练3
(2)求证：cos2(1－tan θ)＝cos 2θ.
＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边.
故原式得证.
法二　右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边.
故原式得证.
倍角公式的应用
四
例4
(2)求f(x)的单调递增区间.
思维升华
要求函数的性质(周期、最值、对称性、单调性等等)，需先把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，在化简过程中，主要用倍角公式的降幂形式和辅助角公式.
训练4
由f(0)＝1＋m＝0得m＝－1.
(2)若函数f(x)在区间[0，t]上单调递增，求正数t的最大值.
【课堂达标】
√
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∵sin 2α＝－sin α，
【课时精练】
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√
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4.若4cos2α＋sin(π＋2α)＝2，则tan 2α＝
∵4cos2α＋sin(π＋2α)＝2，∴2(2cos2α－1)＝sin 2α，
∴2cos 2α＝sin 2α，即tan 2α＝2.
√
5.(多选)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则
A.f(x)的最小正周期为π B.最大值为4
C.最小值为－1 D.对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)
f(x)＝2cos2x－sin2x＋2
√
当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，
最大值为4；
7.函数f(x)＝sin2x＋cos 2x的最小值为________.
0
f(x)＝sin2x＋cos 2x
√
√
√
π
√