21.3.2 菱形 第1课时 同步练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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21.3.2 菱形 第1课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ）
A．26° B．52° C．128° D．154°
2．菱形的周长为，那么菱形的边长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（ ）
A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米
4．如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．菱形的两条对角线长分别为、，则它的面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，四边形是菱形，与交于点O．下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．如图．菱形中，，则______．

8．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为______．
9．如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是__________．
10．已知一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的高等于_____．
11．在菱形中，，，M为对角线的中点，N为边上一个动点，若为等腰三角形，则的长为______．
三、解答题
12．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
13．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：．
14．如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接．求证：．
15．如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接．
(1)求的长度；
(2)求的度数．
16．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C D A C C
1．C
【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键 ．
由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求的度数，再由菱形中即可求解 ．
【详解】解：在菱形中，因为，
所以，
即，
又因为在菱形中，，
所以，
可得，
所以的度数为 ．
故选：C ．
2．C
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可．
【详解】解：∵菱形的四边相等，周长为，
∴边长，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的面积等于对角线长乘积的一半是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米，
∴菱形花坛的面积为（平方米），
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分，据此可得答案．
【详解】解：∵在菱形中，点为和的交点，
∴，，，
根据现有条件不能得到，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线的积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为、，
∴菱形的面积，
故选：．
6．C
【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据菱形的性质，逐一分析，即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴．
由菱形的性质，可知对角线垂直，但不一定相等，故不一定等于；
对角相等，但不一定互补，故不一定等于；
对角线互相平分，即，故不一定等于．
故选：C．
7．
【分析】由菱形的性质可得，结合，从而可得答案．
【详解】解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键．
8．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的性质，求出，且，根据勾股定理，即可求出菱形的边长．
【详解】解：设，的交点为，
∵四边形是菱形，
∴，且，
∴，
∴菱形的边长为．
故答案为：．
9．．
【分析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 AE = CE ，即可得出答案．
【详解】
如图所示：连接 EC，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ，
在△ABE 和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE ( SAS )，
∴∠BAE =∠BCE =90°，
则 AE = CE =．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CBE 是解题关键．
10．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长．根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得为直角三角形，根据，可以求得的值，根据菱形的面积和边长即可求得菱形的高．
【详解】解：如图，由题意知，，
则菱形的面积，
菱形对角线互相垂直平分，
为直角三角形，，，
，
菱形的高等于 ，
故答案为：．
11．或1
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由菱形的性质可求，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理可求的长，分，两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，
四边形是菱形，，
与互相垂直平分，，，
是等边三角形，
，，
，
当时，则，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
故答案为：或1．
12．
【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，
，
菱形的面积为，
∴，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．
13．证明见解析．
【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝DF
在△DAF和△DCE中，
，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠EAG＝∠FCG，
在△AEG和△CFG中，
，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG，
在△DGE和△DGF中，
，
∴△DGE≌△DGF（SSS），
∴∠DGE＝∠DGF．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．见详解
【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合菱形的性质，等边对等角，得，整理得，又因为，得，故，即可作答．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
15．(1)8
(2)
【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解；
（2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得．
【详解】（1）解：由菱形性质可知：．
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∴的长度为8；
（2）解：由菱形性质可知：，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据菱形的性质，结合，四边形是平行四边形，结合，即可证明平行四边形是矩形．
（2）由（1）可知，结合，可得四边形是平行四边形，，再根据矩形的性质可得．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∵四边形是矩形，
．
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