21.3.3 正方形 第1课时 同步练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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21.3.3 正方形 第1课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．正方形的一条对角线长为2，则正方形的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．正方形的对角线长度为2，则其边长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
5．如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，折痕为、，点在上，点在上，则的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．
8．如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为______．
9．如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________．
10．如图，正方形的边长是6，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，且，则四边形的面积为________．
11．如图，在正方形的对角线上取点，是边上一点，连接，，，若，，则的大小为 ________ ．
三、解答题
12．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:．
13．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数．
14．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长．
15．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．
16．已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且．

(1)求证：．
(2)求证：、分别在、延长线上，，四边形与正方形重合部分的面积等于．
17．如图，在正方形中，分别延长、至点、，且，连接、．求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A D C C D
1．D
【详解】根据正方形的性质，连接对角线后的三角形为直角三角形，利用勾股定理，确定正方形边长，然后求周长即可．
【解答】解：因为正方形的一条对角线长为2，
设正方形的边长为，
根据勾股定理，得，
解得，
所以正方形的边长为，
则正方形的周长为．
故选：D．
【点睛】题目主要考查正方形的基本性质、勾股定理等，理解正方形性质掌握勾股定理是解题关键．
2．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：四边形为正方形，
，
在中，，
．
故选：．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理和正方形的性质，灵活运用所学知识点是解题关键．
根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案．
【详解】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的对角线为2，
∴由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的四边相等是解题的关键．由正方形的性质可得，，由梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：四边形和四边形都是正方形，
，，
四边形（阴影部分）的面积．
故选：C．
5．C
【分析】根据折叠的性质可得∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，再由正方形的可得∠BAD＝90°，从而在∠BAC+∠DAC＝90°，从而可求解．
【详解】解：由题意得：∠CAE∠BAC，∠CAF∠DAC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠EAF∠BAC∠DAC
（∠BAC+∠DAC）
＝45°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查角的计算，解答的关键是熟记折叠的性质，明确角与角之间的关系．
6．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案．
【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O，
∴，，，
∴，
∴说法不正确的只有D选项，
故选：D．
7．22.5°/22.5度
【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．
【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°，
故答案为：22.5°．
【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．
8．
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是正方形，则，则有，然后通过四边形的面积为即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点分别为边的中点，
∴，
∴四边形的面积为
，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．
【详解】解：由翻折可知，
根据题意设，则，
又点为边的中点，
，
在中，，即，
解得：，
即．
故答案为：．
10．9
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用正方形的性质，证明，那么四边形的面积等于的面积，然后利用的面积等于正方形面积的四分之一，即可求得答案．
【详解】解：四边形为正方形，
，，，
，
，
，
，
，
四边形的面积等于，
正方形的边长是6，
，
四边形的面积为9．
故答案为：9．
11．
【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据题意得，进而可得，则，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵点在正方形的对角线上
∴，，
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．证明见解析．
【分析】由正方形的性质结合，，证明即可得到答案．
【详解】解：是正方形，
，，
在与中，
【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求出，进而可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
14．
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图，延长，交于点．
四边形是正方形，
．
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
．
，
，
．
15．4
【分析】设CF＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x，EF＝6+x，在Rt△BEF中，利用勾股定理，得出，解得x＝4，即为CF的长．
【详解】解：设CF＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x，
∵AB＝12，AE＝6，
∴BE＝6，EG＝6，
∴EF＝6+x，
在Rt△BEF中，
，
，
解得：x＝4，
即CF的长为4．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由四边形为正方形得到，，，又由，即可证明，则，由得到，即可得到结论；
（2）由得到，根据即可得到四边形与正方形重合部分的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
∴四边形与正方形重合部分的面积等于
．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
17．见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
根据正方形的性质得到，，进而根据证明，即可得到．
【详解】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，，，，
，
．
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