21.3.3 正方形 第2课时 同步练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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21.3.3 正方形 第2课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．四边都相等的四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形
2．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．
B．
C．，，
D．，
4．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
A．135° B．90° C．75° D．60°
5．若正方形的周长为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
7．如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___．
10．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．
11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝2，H是AF的中点，那么CH的长是_____．
12．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．

13．如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1）______；（2）______；（3）正方形的边长为______．
三、解答题
14．如图正方形中，，对角线、交于点． 中，交于点E，交于点F．

(1)求证：；
(2)求：四边形的面积．
15．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数．
16．如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
17．如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．
18．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D B A C D
1．C
【分析】利用正方形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，正确，故选项不符合题意；
C、四边都相等的四边形不一定是正方形，错误，故选项符合题意；
D、邻边相等的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
2．B
【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案．
【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误；
B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确；
C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误；
D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方式：
先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【详解】解：A、不能判定为特殊的四边形；
B、只能判定为矩形；
C、只能判定为菱形；
D、能判定为正方形；
故选：D．
4．D
【分析】根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形，进而即可求解
【详解】连接BC，
∵AC、AB、BC是正方形的对角线，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形是解题的关键．
5．B
【分析】根据正方形的周长公式求解即可，正方形的周长＝，即可得出的值．
【详解】解：由题意得出：．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的周长公式，比较基础，易于掌握．
6．A
【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形．
延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可．
【详解】如图所示，延长，交于点F，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴，
∵，，
∴，
∴的面积
．
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形不一定是矩形，
∴不一定成立，
故选：C．
8．D
【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
，
，
∴，
，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅助线利用勾股定理是解题的关键．
9．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积，
∴S阴＝S正方形ABCD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．
10．5
【分析】连接OE，根据正方形的性质可得BO=OC=5，再由S△BOE+S△COE=S△BOC即可求得EG＋EF的值．
【详解】如图，连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，AC=10，
∴AC⊥BD，BO=OC=5，
∵EG⊥OB，EF⊥OC，S△BOE+S△COE=S△BOC，
∴ BO EG+ OC EF= OB OC，
∴×5×EG+×5×EF=×5×5，
∴EG+EF=5．
故答案为：5
【点睛】本题考查正方形的性质，利用面积法是解决问题的关键，熟练运用等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高这一结论可以使运算过程简单．
11．
【详解】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝2，
∴AC＝2，CG＝3，
∴CF＝6，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
12．4
【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案．
【详解】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，
∴，，，
，
∴是等边三角形，
∴，
同理可得：，
∵四边形，是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
故答案为：4．
【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键．
13． 1 45 3
【分析】（1）由翻折的性质及全等三角形的性质可求出AG=FG；
（2）根据正方形的性质及角的和差关系可得；
（3）设边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+，根据勾股定理列出方程，故可求解．
【详解】（1）根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，
∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE，
∵DA＝DF，DG＝DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴∠ADG＝∠FDG，AG＝FG=1
（2）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG
∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45°
（3）∵△DEC≌△DEF，Rt△ADG≌Rt△FDG
∴GF=GA=1，EC=EF
设正方形边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+，
在Rt△BEG中，GE2=BG2+BE2
∴（1+）2=（x-1）2+（）2
解得x=3
∴正方形的边长为3
故答案为：1；45；3．
【点睛】此题考查了翻折性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握其性质是解决此题关键．
14．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据证明两个三角形全等即可解决问题．
（2）先由（1）中结论得，再根据可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）
解：在正方形中，，
，
，
由（1）中结论得，
．
故四边形的面积为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．65°
【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
，
在和中，
，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）过P分别作于E，于F，根据角平分线的性质，可得，可证得，即可；
（2）先证得四边形是正方形，根据，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：过P分别作于E，于F，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论；
（2）根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF的长，即可求解．
【详解】（1）由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）∵EC=FC=1，
∴BE=DF，EF=，
∵EF=EG+GF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边、对应角相等．
18．(1)正方形，见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形．
（2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长．
本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：

∵将点B按顺时针方向旋转，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）解：如图，过点D作于H，

∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在中，．
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