第二十一章 四边形 特殊平行四边形的折叠问题 强化练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

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第二十一章 四边形 特殊平行四边形的折叠问题 强化练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为（　　）

A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55
2．如图，已知四边形是边长为6的菱形，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，点正好落在边的点处．若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．如图，正方形ABCD中，AB=6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，在长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，连接，若，，则的长为（ ）
如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交
A． B． C． D．
6．如图，矩形纸片中，，将纸片沿折叠，使点C与点A重合，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2
7．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
9．在矩形中，，，折叠矩形，使点与点重合，则的长为_____．

10．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________．
11．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________．
12．如图，在矩形中，，将矩形分别沿，折叠，点与点恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______．
13．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________．
三、解答题
14．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD=8，CF=4，求的值．
15．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，求的长.
16．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，交于点，将沿折叠，得到，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求的值．
17．如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、．
(1)如图2，若，则= ．
(2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）．
①若，，求的长．
②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程．
18．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接．
(1) ；
(2)如图1，若，点为边的中点，求的面积；
(3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由；
(4)请直接写出 用含的式子表示．
19．实践探究：
（1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角．
知识应用：
（2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证．
拓展延伸
（3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B B C B A
1．A
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，由翻转变换的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，设，根据勾股定理列方程，解方程即可．
【详解】解：由翻转变换的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
故选：A．
2．C
【分析】由菱形的性质可知是等边三角形，再通过折叠的性质和等边三角形的性质得出，即是菱形的高，最后用勾股定理求高即可．
【详解】如图，设与交于点，交于点．
∵ 四边形是菱形，∠BAD=120°，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形的高，
即为等边三角形的高，
∴ 高为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质并能将FG转化成菱形的高是解题的关键．
3．C
【分析】设DE=x，则根据对折的性质和正方形的性质可以得到关于x的方程，解方程即可得到x即ED的值．
【详解】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠B=∠D=90°，
由折叠得：AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFG=90°，AF=AB，
∵Rt△ABG和Rt△AFG中，
AB=AF，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴BG=GF，
∵G是BC边的中点，∴BG=GC=GF=3
设DE=x，则CE=6 x,CG=3,GE=GF+EF=BG+DE=3+x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：，即，
解方程得：x=2
故选C．
【点睛】本题考查轴对称和正方形的综合应用，灵活应用轴对称的性质和正方形的性质解答是解题关键．
4．B
【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性．
【详解】解：如图，由题意可知，，，
，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，故②正确；
，故③错误；
，
，
，，
，
，故④正确；
∴①②④正确，
故选：B．
5．B
【分析】先结合长方形性质得出，再结合折叠性质证明，由全等三角形性质可得，设，则，利用勾股定理得，求解即可．
【详解】解：长方形中，，
，，
又是的中点，
，
由折叠性质可知：，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，
中，，
，
解得，
．
6．C
【分析】设，根据折叠性质与矩形性质，用x表示，在中，由勾股定理列出x的方程，便可求得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠知，，
设，则,
在中，由勾股定理得，，
解得，,
即．
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键．
根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果．
【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，
∵图1中，，，，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，图2中，，
∴，
即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的，
故选∶．
8．A
【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可．
【详解】解：连接，
由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，
根据题意，得阴影部分的面积是，
故选：A．
9．
【分析】设，则，在中，据此列式可得到关于的方程，求解即可得到答案．
【详解】设，则．
由折叠的性质可知．
在中
．
即
解得：．
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、矩形的性质、勾股定理、列方程解决问题，能用含有未知数的代数式表示出等量关系得到方程是解题的关键．
10．
【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，则，过点F作于点H，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
、，
设，则，
四边形的面积为6，
，
即，
解得，
，
，
由翻折的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
的面积为：．
11．
【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，．
∵纸片沿、折叠，点、重合于点，
∴，，
∴，，，，，
∴，且、、三点共线．
设，则，，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即．
在中，由勾股定理得．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
解得．
在中，由勾股定理得．
过点作于点，
∵，
∴，解得．
在中，由勾股定理得．
∴．
在中，由勾股定理得．
12．
【分析】根据折叠的性质可知，，，，， ，从而得出， ，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解．
【详解】解：如图，
由折叠的性质可知，，，，，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∵四边形是矩形 ，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴折叠后的图案（阴影部分）面积为．
13．1
【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．
根据题意可得：，所以，从而可求得其面积．
【详解】解：如图，
正方形和正方形的边长都是，
，，，
∴，
在和中，
，
，
；
则图中重叠部分的面积是，
故答案为：1．
14．（1）证明见试题解析；（2）．
【分析】（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；
（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．
【详解】解：（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，
∵FG∥CD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3
∴FG=FE，
∴DG=GF=EF=DE，
∴四边形DEFG为菱形；
（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，
在Rt△EFC中，，即，
解得：x=5，CE=8﹣x=3，
∴=．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．的长为．
【分析】作于点，通过菱形的性质和折叠的性质证明为等边三角形，设，则，，在中，利用特殊角表示出DH,FH，最后在中利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，作于点．
由折叠的性质可知，．
由题意，得．
∵ 四边形是菱形．
∴，
∴为等边三角形，
∴．
设，则，，
在中，
∵，
∴，，
∴．
在中，，
即，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握菱形的性质，勾股定理及方程的思想是解题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先通过SAS证明，从而得到，通过等量代换得出，从而得到，则结论可证；
（2）先通过折叠的性质和平行线的性质得出，从而有，在中，设，则 ，利用勾股定理求出x的值，然后即可求出的值．
【详解】（1）∵分别是正方形边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∴．
（2）设正方形的边长为．
由题意可知，，，．
∵，
∴．
∴．
∵，，
在中，设，则
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理及利用方程的思想是解题的关键．
17．(1)
(2)①②，证明见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质以及勾股定理．
（1）由，可得，，由折叠性质得，，故，由，可得，最后折叠性质即可解答；
（2）①两次利用折叠的性质以及平行线的性质得到，设，则，，在中，由勾股定理可得：，求解方程即可解答；②先证明四边形是平行四边形，进一步推导是等边三角形，结合等边三角形的性质以及由①可知即可解答．
【详解】（1）解：，
，，
，
由折叠性质得，，
，，
，
，
由折叠性质得，，
；
（2）解：①，
，，
由折叠可知：，
,
，
，
，
由折叠可知：，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
由折叠可知：，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
解得，（舍去），
的长为；
②，证明如下：
四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，，
由①可知,
，
化简得．
18．(1)
(2)
(3)与平行，理由见解析
(4)
【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题．
（1）通过证明，，进而得到答案；
（2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案；
（3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案；
（4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形，
，，
将沿直线翻折，得到，
，，，，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
（2）作，垂足为点，如图，
设，则，
为中点，
，
由（1）知，，
在中，由勾股定理得，
，
，
整理得：，
解得：，
，，
，
，
；
（3）与平行，理由如下，
设，则，如图，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
整理得：，
∴
，
，
由折叠可知，，
又，
，
，
，
；
（4）设，，则，，如图，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
整理得：，①
由，②
∴把①代入②得，
，
∵，
∴
，
∵，
∴，
故答案为：．
19．（1）45；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质．
（1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案；
（2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立；
（3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积．
【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形．
故答案为：45；
（2）证明：在正方形和正方形中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，
∴，
∴，
∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，
∴正方形重叠阴影部分的面积为：
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