第二十一章 四边形 特殊平行四边形的动点问题 强化练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 四边形 特殊平行四边形的动点问题 强化练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
2．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或 B．或 C．或 D．2或
3．如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
6．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
7．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为________．
8．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．

（1） （2）
9．已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为______．

10．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．

11．如图，在四边形中，，且，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向终点A运动，点Q以的速度向终点C运动．______秒时四边形是平行四边形？

12．如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是______s．
13．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．若线段的中点为M，在整个运动过程中，写出点M运动路径的长度为___________．
三、解答题
14．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中．
(1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）．
(2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值．
15．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形．
(1)______；
(2)求证：；
(3)当四边形的面积为20时，求出此时的长．
(4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值．
16．如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位．
(1)菱形的周长为___________．
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(3)当为直角三角形时，直接写出的值．
17．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒．
(1)________，________；（用含t的代数式表示）
(2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值．
18．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接．
(1)当点与点重合时，的值为________．
(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；
(3)当平分面积时，求的值；
(4)当时，直接写出的值．
19．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且．
(1)________（用含的代数式表示）；
(2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C A B C D
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键．
先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间．
【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上．
设运动时间为，则，．
根据题意，得，解得．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可．
【详解】解：由题意可知，，，
，
，
当点在上时，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：；
当点在延长线上时，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒，
故选：C
3．A
【分析】证明，，可判断①；点M与点D重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得，再根据勾股定理以及菱形的性质可得的长，可判断②；根据题意可得当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形，可判断③；无法判断和全等，故无法判断与相等，可判断④．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
有折叠的性质得：，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故①正确；
点M与点D重合时，如图：
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∵，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形，
此时，故③正确；
在和中，，
根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断和全等，故无法判断与相等，所以④错误；
故选：A
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
4．B
【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点G在平行且到距离为1的直线上运动，
∴当F与D重合时，有最小值，此时，
∴的最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键．
5．C
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∵E为边上一点，且，
∴，
由题意得，则，
当，时，，
∴，
∴；
当，时，，
∴，
∴，
综上，的值为2或4．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可．
【详解】解：中，
当和全等时，一定为直角三角形，
当点在上时，不能构成三角形；
当点在上时，如下图所示，
构成的不是直角三角形，此时和不全等；
当点在上时，如下图所示，
，
则有，
此时点运动的路程为，
运动的时间为；
当点在上时，如下图所示，
，
，
此时点运动的路程为，
运动的时间为，
综上所述，当和全等时，的值是或．
故选：D ．
7．或；
【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，
∴，或，
∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，
∴，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
8．
【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则，
利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可．
【详解】解：设点A到的距离为h，
由点F的运动轨迹和速度可知，，且，
解得：，
过点D作交的延长线与点E，
则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：
9．1或或
【分析】设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．分三种情形分别构建方程即可．
【详解】解：设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．
由题意，当时，点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
则有：或或，
解得或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．6或11/11或6
【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：①当在上时，
的面积等于，
，
解得：；
②当在上时，
的面积等于，
，
，
解得：；
综上所述，的值为6或11，
故答案为：6或11．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键．
11．3
【分析】由运动时间为秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解．
【详解】解：设秒后，四边形是平行四边形，
，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
秒时四边形是平行四边形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，关键是由，得到．
12．或
【分析】分两种情况：①时，则四边形为平行四边形；②时，过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形；分别计算即可．
【详解】解：由题意可知，，
若，分两种情况：
①时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
②时，
过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形；
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴，
解得：，
综上所述，当t的值为或时，．
故答案为：或
【点睛】本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．
【分析】分类讨论点Q在线段上和点Q在线段上时点M的轨迹，计算出轨迹即可．
【详解】解：①如图，点Q在线段上，过点O作于点K，过点Q作于点H，
矩形，
，
，
，
，
，
，
，
点M在线段上，当点P到达K点时，点Q到达O点，此时点M在点E处，
这时段点M的运动轨迹为；
②如图，点Q在线段上，取的中点，的中点M，连接，则点M的运动轨迹是线段，
在中，．
在整个过程中，点M的运动轨迹的长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，解决本题的关键是找到点Q和点P的轨迹之间的关系．
14．(1)平行四边形
(2)2或8
【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解．
【详解】（1）解：平行四边形．
由题意得：,
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，分别是，中点，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图①，连接 ．
，分别是，的中点，四边形是矩形，
四边形是矩形，
．
分以下两种情况讨论：
①如图①，当四边形是矩形时，．
，，，
．
，
，
；
②如图②，当四边形是矩形时，，．
，
，
．
综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
15．(1)5
(2)证明见解析
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证；
（3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可；
（4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点O为对角线的中点，
∴，
故答案为：5
（2）证明：∵点P关于的对称点为点E，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴
∵四边形的面积为20，
∴，
∵点O为对角线的中点，
∴，，
当点P在边上时，过点O作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当点P在边上时，过点O作于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
（4）解：设，
如图，当点P在边上时，设交于点N，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
当点P在边上时，延长交于点M，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
16．(1)16
(2)
(3)的值为或
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理．
（1）利用菱形周长公式求解即可；
（2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可；
（3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵菱形中，，
∴菱形的周长为，
故答案为：16；
（2）解：作交延长线于点，
由题意得，则，，
当点在线段上时，，
当点在线段的延长线上时，，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴，，
当点在线段上即时，，
当点在线段的延长线上即时，，
综上，；
（3）解：当时，
∵，，，
∴，
∴，即，
解得；
当时，
同理，，即，
解得；
综上，的值为或．
17．(1)，
(2)a的值为2或
【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出；
（2）分、两种情况讨论，分别求出a的值．
【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒，
，
，
，
故答案为：2t，；
（2）当时，
此时，，
则有，，
此时，．
当时，
此时，，
则有，，
此时，．
综上所述，a的值为2或．
【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
18．(1)6
(2)
(3)12或4
(4)2或或8
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
（1）由题意可得，即可；
（2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可；
（3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可．
（4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可．
【详解】（1）解：点Q与点C重合时，
由题意得：，
解得：，
即点Q与点C重合时，t的值为6；
（2）解：当点Q沿运动时，；
由题意得：；
当点Q沿运动时，，
∴，
即；
（3）解：∵面积为，
∴梯形的面积为
分两种情况：
当点Q沿运动时，如图，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，如图，
同理：，
解得：，
此时，两点重合，两点重合；
综上所述，当平分面积时，t的值为12或；
（4）解：分两种情况：
点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时，
同理，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即，
∴，
解得：；
综上所述，当时，t的值为2或或．
19．(1)
(2)存在，或2
【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题：
（1）求出即可表示出的长度；
（2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值．
【详解】（1）解：，则，
故答案为：；
（2）解：存在．
分两种情况讨论：
①当，时，．
∵，
∴．
∴，即．
解得．
∵，，
∴．
②当，时，．
∵，
∴，即．
解得．
∵，即，解得．
综上所述，当或2时，与全等．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)