反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标（解答题） 重点考点 专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考

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反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标（解答题） 重点考点
专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考
1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
2．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB＝，反比例函数y＝（x>0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
(1)若OA＝10，求反比例函数的解析式；
(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标．
3．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线在第一象限交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为）
(1)求点A的坐标及k的值；
(2)连接，若四边形的面积为时，求a的值．
4．如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数交于，C两点．
(1)求m，n，k的值；
(2)点M在y轴上，若，求点M的坐标．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出时x的取值范围：
(3)过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标．
6．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段的延长线上．
(1)如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标．
7．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)反比例函数的解析式为______；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标．
8．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点，其中点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)点是反比例函数上的一点，轴交直线于点，若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，求出点的坐标．
9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
(2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点．
(1)求b，k的值；
(2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积；
(3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标．
11．如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)经过点A(4，m)．
(1)求点A的坐标；
(2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)；
(3)连接OA，一次函数y＝kx+b(k≠0)与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且．
(1)求反比例函数与一次函数关系式；
(2)点是线段上一点，且，求出点坐标
参考答案
1．（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．
【详解】（1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，
，
在中，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
代入反比例解析式得：，即，
把坐标代入得：，即，
代入一次函数解析式得：，
解得：，即；
（2）当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，
综上，当点或或或时，是等腰三角形．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．(1)
(2)，
【分析】（1）过点A作于H，根据已知条件得到，，求得，，于是得到结论；
（2）设，过点F作轴于M，过点C作轴于点N，根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到，，于是得到求得，得到，根据点A，F都在的图象上，得到，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：过点A作于H，
∵，，
∴，，
∴A点坐标为，根据题意得：，
可得：，
∴反比例函数解析式：；
（2）解：设，过点F作轴于M，过点C作轴于点N，
由平行四边形性质可证得，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵根据点A，F都在的图象上，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想．
3．(1)，
(2)
【分析】（1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由（1）知，反比例函数解析式为，结合已知得到点C的坐标为，则，根据梯形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，解得；
（2）解：由（1）知，反比例函数解析式为
∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为，
又点C在双曲线，
∴点C的坐标为，则，
∵四边形的面积为，
∴，
解得或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，涉及求反比例函数解析式，求反比例函数值，坐标与图形，解一元二次方程等知识，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
4．(1)5，4，4
(2)或
【分析】（1）把A代入一次函数，求出m的值，然后把B的坐标代入一次函数解析式求出n的值，最后把B的坐标代入求出反比例函数解析式即可；
（2）根据，得出，再求出，即可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：把代入一次函数得：
，
解得：，
把代入一次函数得：
，
解得：，
把代入反比例函数，
；
（2）解：，
，
，
点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积计算，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
5．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
（1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可求解；
（3）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点，
，解得：，
，解得：，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）解：，
，
由（1）得，
观察图象，得：时，的取值范围为或，
时，的取值范围为或．
（3）解：设，
轴，
，，
，解得：，
．
6．(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的综合应用．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式；设点B的坐标为，则，，根据线段列出方程求出m值即可得到点B的坐标；
（2）根据条件可推出，再证明，利用相似三角形性质列出，即，求出即可得到线段长，继而得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴，，
∴反比例函数的解析式为；
设点B的坐标为，则，，
∴，，
∵，
∴，
整理得：，
∴或（不符合题意舍去），
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点P在直线图象上，轴，由（1）可知，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，将，代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为．
7．(1)
(2)
(3)点Р的坐标为或或或
【分析】（1）把点坐标代入求得值即可；
（2）根据（1）中反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，设一次函数与轴交于点，求得，最后利用即可得到答案；
（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时，利用两点坐标求两点距离的公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的解析式为．
故答案为：．
（2）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，，
一次函数的解析式为；
设一次函数与轴交于点，如图，
对于，当时，，
，
，
，，
的面积为．
（3）解：点在轴上，
①当时，如图所示，
，
，
，
点的坐标为或；
②当时，如图所示，
设点，
，由①可知，
，
解得或（不合题意，舍去）
点的坐标为；
③当时，如图所示，
设点，
，
，，
，
解得，
点的坐标为；
综上所述，点Р的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键．
8．(1)；
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查反比例函数与平行四边形综合题，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形对角线平分且相等的性质，中点坐标公式是解题的关键，
（1）利用点的纵坐标求出其横坐标，进而确定反比例函数的解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点坐标；
（2）利用平行四边形的性质（对角线平分并相等），利用中点坐标公式即可即可求出点坐标．
【详解】（1）解：∵点的纵坐标是2．且点在一次函数，
∴，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵一次函数与反比例函数的图象交于点和点，
∴
解得：或，
∴．
（2）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，
∴令，解得： ；令，解得：，
∴，，
∵点在反比例函数上，
设，且轴交直线于点，
∴点的坐标为，
若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，则分两种情况：
①当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合，
由中点公式可得：，即，
比较横坐标：，即：，
故此情况不成立；
②当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合，
由中点公式可得：，即，
比较横坐标：，即：，
解得：或，
∴点的坐标为或.
9．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；
(2)点C的坐标为；
(3)点N的坐标为或．
【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键．
（1）分别把代入和，计算即可求解；
（2）设点，过点作轴的垂线交直线于，得点，由，得，再计算即可；
（3）分两种情况讨论，①当点在轴上时，过作直线轴交轴于点，过作于点，证明，求得，得到，利用平移的性质求得点N的坐标为；②当点在轴上时，同理即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于，
∴点，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：①当点在轴上时，
如图：过作直线轴交轴于点，过作于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴点N的坐标为；
②当点在轴上时，
同理，点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或．
10．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把点B坐标代入一次函数式中，即可求得b的值，从而得点B的值；把点B的坐标代入反比例函数式中即可求得k的值；
（2）过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，证明，则由相似三角形的性质求得，从而求得点D的坐标；再求出的函数解析式，则可求得点K的坐标，利用即可求解；
（3）过点D作轴，作于H，于G，证明，利用全等三角形的性质即可求得点坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点，
∴把代入中，得，
解得：，
∴；
把代入得：；
即，；
（2）解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知反比例函数的表达式为；
当时，，解得，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作轴，作于H，于G，
则，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证明三角形相似与全等是解题的关键．
11．(1)A(4，3)；(2)b＝﹣4k+3；(3)B点的坐标为(﹣5，0)，(5，0)，(8，0)，(，0)．
【分析】(1)将点A(4，m)代入y＝，求得m的值即可；
(2)把(4，3)代入一次函数y＝kx+b即可得到b＝﹣4k+3；
(3)求得OA＝5，画出图形，根据等腰三角形的性质即可求得．
【详解】(1)∵反比例函数y＝(x＞0)经过点A(4，m)，
∴m＝＝3，
∴A(4，3)；
(2)∵一次函数y＝kx+b(k≠0)经过点A(4，3)，
∴3＝4k+b，
∴b＝﹣4k+3；
(3)∵A(4，3)，
∴OA＝＝5，
∵△AOB是等腰三角形，如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则有OD=4，AD=3，
当OA是腰时，
①若OA=AB1，则点B1(8，0)；
②若OA=OB，则点B2(5，0)，B3(-5，0)；
当OA为底时，则有AB4=OB4，设OB4= AB4=m，则DB4=4-m，
在Rt△ADB4中，AB42=B4D2+AD2，
即m2=(4-m)2+32，
解得：m=，
∴B4(，0)，
故B点的坐标为(﹣5，0)，(5，0)，(8，0)，(，0)．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
12．(1)反比例函数的解析式为，一次函数关系式为
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数等．
（1）作轴于点B，将代入得到，即可求出反比例函数解析式，根据题意得到，将，代入即可求出一次函数解析式；
（2）设直线与y轴交于E，由（1）知直线的解析式，过D作轴于F，得到，设，则，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：作轴于点B，
将代入得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵，．
又∵，，
∴．
即，
将，代入得

解得：
∴一次函数关系式为．
（2）解：设直线与y轴交于E，
由(1)知直线的解析式为
∴，，
∴，
过D作轴于F，
∴，
设，则，
∴
，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∴
解得，
∴，，
∴．
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