反比例函数与一次函数的综合——求面积（解答题） 重点考点专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考

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反比例函数与一次函数的综合——求面积（解答题）
重点考点专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考
1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)是一次函数与轴的交点，过点作轴，垂足为，求的面积．
2．如图，直线与双曲线交于点和点．
(1)求k、b的值；
(2)写出点的坐标_____；
(3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____．
3．如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)C是线段上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
4．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．
(1)求与的解析式；
(2)求的面积．
5．如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为．
(1)求直线的解析式与点E的坐标；
(2)连接，，当时，求m的值．
6．如图，已知反比例函数的图象经过点，P是第一象限内图象上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点A，B，作直线分别交x，y轴于点D，C．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)求证：．
7．反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧，请根据表中提供的数据，回答下列问题．
(1)求一次函数的解析式，并画出其大致图象；
(2)一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，连接，．请补全图形并求、、的面积之比；
(3)过点，且与轴平行的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，若点在点的左侧，请直接写出的取值范围．
8．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，点在第二象限内，点的坐标是，且，．
(1)求直线的函数关系式；
(2)若直线与反比例函数的图像交于另一个点，求的面积．
9．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向下平移3个单位长度与的图像交于点，连接，，求的面积．
10．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点的横坐标是4，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
11．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接，．当时，求点的坐标，并直接写出四边形的面积．
12．如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接，，求的面积．
(3)如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数．
参考答案
1．(1)；
(2)
【分析】（1）由一次函数过点可求出的值，确定点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数关系式即可求出的值，确定反比例函数关系式；
（2）直接根据三角形面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，理解反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
【详解】（1）解：一次函数过点．
，
点，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：轴，垂足为，，
点，即，
．
2．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）解析式联立，解方程组即可求得；
（3）求得C点的坐标，然后根据求得，进一步求得M的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点，
∴，，
∴，；
（2）解：联立方程组，
解得或，
∴．
故答案为：；
（3）解：如图，
令，则，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或．
故答案为：或．
3．(1)
(2)当时，的面积最大，这个最大值是
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及二次函数的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）利用一次函数求出点，再将求出的点代入反比例函数解析式求解，即可解题；
（2）根据题意得到，再利用a表示的面积，最后结合二次函数的最值求解，即可解题．
【详解】（1）解： 一次函数过点，
，
解得，
点，
反比例函数图象过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解： 点C的横坐标为a，轴交反比例函数的图象于点D，
，，
，
则的面积为
，
，
当时，的面积最大，这个最大值是．
4．(1)，
(2)
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，面积问题等知识，正确求出函数解析式是关键．
（1）先求出，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设与y轴相交于点C，求出，即：，根据进行解答即可．
【详解】（1）由题知，
∴，
∴，，
∴，
把，代入
得，
∴，
∴；
（2）设与y轴相交于点C，
当时，，
∴，即：，
∴．
5．(1)直线的解析式为：，点E的坐标为
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，准确作出辅助线求出C点坐标是解题的关键．
（1）过点B作于点F，根据平行线分线段成比例定理得出，由点A的坐标为，，得出，，则点B的纵坐标为2．根据待定系数法即可求出直线的解析式与点E的坐标；
（2）由可得，可求点，代入得，则，可求m的值．
【详解】（1）解：过点B作于点F，
，
，
点A的坐标为，，
，
，，
点B的纵坐标为2，
双曲线过点，
，
点B的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，解得，
点E的坐标为．
（2）解：，
，
，
点，
，代入得，
，
代入中，即，
解得．
．
6．(1)4
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
（1）直接把点代入，求得k的值即可；
（2）设点P的坐标为得点A的坐标为点B的坐标为根据三角形面积公式可求解；
（3）延长PA，PB分别交y轴，x轴于点E，F，证明，可得出再证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴设点P的坐标为
∵轴，轴，
∴点A的纵坐标为点B的横坐标为a，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点A的坐标为点B的坐标为
（3）证明：如图，延长分别交y轴，x轴于点E，F，
∴，
由（2）知
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．(1)，画图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，画一次函数，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键；
（1）根据表格可得，根据反比例函数的性质求得点，进而待定系数法求解析式，并画出一次函数的图象；
（2）根据题意得出的坐标，进而根据三角形的面积公式分别求得、、，即可求解；
（3）根据题意画出图象，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧，
根据表格可得
当时，，解得：
∴
当时，，
∴
∴将，代入得，
解得：
∴
如图，
（2）解：如图
由，当时，，
当时，，
∴，
∴
（3）解：如图，
∵点在点的左侧，，
根据函数图象可得：
8．(1)
(2)
【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）将点代入正比例函数，得到点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，求出的值即可，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出所在直线的解析式；
（2）延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F，令，求出点F的坐标，联立直线与反比例函数解析式可求出点的坐标，根据利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
设所在直线的解析式为，
，
解得：，
所在直线的解析式为；
（2）解：延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F，
由（1）知，直线解析式为，反比例函数解析式为，
令，则，
，
联立，
解得：，，
，
．
9．(1)
(2)3
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图像的平移、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）首先将点代入正比例函数并求解，即可确定点坐标，然后将点坐标代入反比例函数，求解即可获得答案；
（2）过点作轴，交于点，首先确定直线向下平移3个单位长度后的新的直线解析式，进而确定点坐标；再利用待定系数法求得直线的解析式，结合点坐标求得点坐标，进一步可得的值，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：将点代入正比例函数，
可得，解得，
∴，
将点代入反比例函数，
可得，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）如下图，过点作轴，交于点，
把直线向下平移3个单位长度，则新的直线解析式为，
联立与，
可得，解得，（舍去），
则，
设直线的解析式为，将点代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∵，轴，
可令，将其代入直线的解析式，
可得，即，
∴，
∴．
10．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题：
（1）把代入，可得到点B的坐标，再把点B的坐标代入，即可求出k的值，即可求解；
（2）设交x轴于点C，先求出点P的坐标，再根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，可求出点A的坐标，从而得到直线的解析式，进而得到点C的坐标，然后根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴点B的坐标为，
把点代入得：
，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，设交x轴于点C，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴点P的坐标为，
∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点B的坐标为，
∴点A的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴．
11．(1)
(2)12
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题及等腰三角形性质的应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式求解析式，借助等腰三角形“三线合一”确定点坐标．
（1）先将点代入直线，求出a的值从而确定点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数，求出k，得到反比例函数解析式．
（2）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点C坐标，根据四边形的面积=与面积之和，计算即可．
【详解】（1）解：把点代入得，
，，
∴点为
把点代入得，，
；
（2）过点作，垂足为点，
，
，
点的纵坐标为2，
把代入，解得．
．
直线中
令，则，
解得，
∴．
∵轴于点，
∴
∵，．
∴四边形的面积=与面积之和．
中，，，
∴．
中，，点到的距离（即与横坐标之差的绝对值）为，
∴．
∴．
12．(1)
(2)
(3)的大小不变，，见解析
【分析】（1）作于，由题意得，，确定．后利用特殊角的三角函数，确定点D的坐标，后计算解析式即可．
（2）作于，联立，解得，，故点的坐标为，利用分割法求面积即可．
（3）先证明，设直线的方程为设．联立，得，则，确定的横坐标为．再根据点在直线上，确定，如图，作于，则，则，继而求得．
【详解】（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，
解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，特殊角的三角函数，比例法证明直线的平行，根与系数关系定理应用，熟练掌握三角函数的应用，待定系数法是解题的关键．
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