安徽合肥市第一中学滨湖校区2026届高三年级3月质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽合肥市第一中学滨湖校区2026届高三年级3月质量检测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 157.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
合肥一中滨湖校区高三年级 3 月质量检测 数学
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分.每小题给出的四个选项 中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数 ，则 ()
A. 2 B. -2 C. 2i D. -2i
2. 的解集为( )
A. B. C. D.
3. 记等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. B. C. -1 D. -2
4. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 为抛物线上一点,作 于点 ,若 为等边三角形,则 点的横坐标为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知钝角三角形 中,角 的对边分别为 ,若 , 则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数， 关于 中心对称，则下列说法正确的是( )
A. 的一个周期为 6
B.
C.
D.
7. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列有关说法正确的是( )
A. 设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
B. 若随机变量 ，则
C. 直线 的一个方向向量为
D. 双曲线 的离心率为
10. 如图,在直三棱柱 中， ，点 、 、 、 分别是 的中点,则( )
A. 四点共面 B. 线段 为直三棱柱 外接球的直径
C. 三棱锥 的体积为 D. 直线 与 所成角余弦值为
11. 若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的最小正周期是
B. 的对称轴方程为
C. 存在实数 ,使得对任意的 ,都存在 且 ,满足
D. 若函数 是实常数 ,有奇数个零点 ,则
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知 ,若存在 使得 , 则 的最大值为_____.
14. 已知实数 满足 且 ，则 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某公司研发了一种智能语音客服系统, 在测试时, 当语音输入的问题表达清晰时, 智能语音客服的回答被采纳的概率为 ，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为 . 已知语音输入的问题表达清晰的概率为 ，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响.
(1)求智能语音客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 4 个问题，设 表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求 的分布列、数学期望和方差.
16. 记数列 的前 项和为 ,已知 .
(1)求 的通项公式；_____
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，若 ， ，求 的取值范围.
17. 如图，三棱台 中， 平面 分别是棱 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)已知三棱台 的体积大于 2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ,求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 满足 . 记 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设曲线 的左顶点为 ，动直线 与曲线 交于 两点.
(i) 设直线 的斜率分别为 ,且满足 ,证明: 直线 恒过定点;
(ii) 若直线 经过点 ，且 ， 关于原点对称，是否存在直线 ，使得四边形 的面积为 ，若存在，求出直线 的条数；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ， ， ,求证: .
1. C
因为 ,所以 ,所以 .
2. C
由 得: ,即 ,解得: 或 所以不等式 的解集为: .
3. C
由等差数列前 项和性质可得, ,
因为 ,所以 ,
再根据等差数列中项性质: ,
代入得 ，即 ，
又已知 ,设公差为 ,则 ,解得 ,
即等差数列 的通项公式 ,
所以 .
4. C
由抛物线的定义可知 ,且 ,过 作 , 可知 为 的中点,
则 ,即 ,所以 点的横坐标为 3 .
故选: C
5. D
: ,且 为钝角三角形, 为钝角.
由余弦定理得 ,
,解得 .
又 中，两边之和大于第三边，即 ， .
综上,实数 的取值范围是 ,故 正确.
6. B
选项 的图像向左平移 1 个单位得到 ,
又 关于 中心对称,
关于 中心对称, ,
将 式子中的 用 代替,得到 ,
是定义在 上的偶函数, ,
,将此式子中的 用 代替,得到 ,
则 是一个以 4 为周期的周期函数,故选项 A 错误;
选项 B, 关于 中心对称, 的定义域为 ,
是定义在 上的偶函数, ,故选项 正确;
选项 ,但是 根据题中已知条件无法得到,故选项 错误;
选项 是一个以 4 为周期的周期函数,
,
,
,
,
,
仅根据已知条件无法确定其值,故不能得出 ,故选项 D 错误.
7. D
向量 在向量 上的投影向量为 . 故选: D.
8. C
,
设 ,则 ,
当 时, 在 上单调递增,
,即 ,
,又 ,
设 ，
则 ,
令 ,
则 ,
在 上单调递减,
当 时, ,
在 上单调递减,
,
故选: C.
9. ABC
对于 选项,由 ,可得 ,故 正确;
对于 选项，由题可得: ，故 ，故 正确;
对于 选项,直线 的斜率为 ,
故该直线的一个方向向量为 ,故 正确;
对于 选项，对于双曲线 ,则 ,
故双曲线 的离心率为 ，故 不正确.
10. BCD
对于 ,直线 平面 ,点 平面 ,
而 直线 ,点 平面 ,
因此直线 与直线 是异面直线,则 四点不共面, A 错误;
对于 ,将三棱柱 补形为正方体， 为该正方体共点的三条棱,
矩形 为该正方体对角面,则 为三棱柱 外接球直径, 正确;
对于 ,点 到平面 的距离为 ,
则 正确;
对于 ,取 中点 ,连接 ,由 是 中点,得 ,
则 是异面直线 与 所成角或其补角,
由已知 平面 ,
所以 平面 ,故 平面 ,
又 平面 ,于是 ,而 ,
则 ,因此 , D 正确.
11. AD
由题设 ,
所以 ,故 ,
由 的最小正周期为 ,则 的最小正周期为 ,
同理 的最小正周期为 ,则 的最小正周期为 正确;
对于 ,令 ,则对称轴方程为 且 错误;
对任意 有 且 满足 且 ,而 的 图象如下:
所以 ,则 , 所以 或 ,无解,即不存在这样的 错误; 由 可转化为 与 交点横坐标,而 上 图象如下:
函数有奇数个零点,由图知: ,此时共有 9 个零点,
、
所以 正确.
故选: AD
12.
由 得 ,故 , 所以 在点 处的切线方程为 ,即 .
13. 39
二项式 的通项为 ,
二项式 的通项为 ,
,
若 ，则 为奇数，
此时 ,
得 ,
,又 为奇数, 的最大值为 39 .
故答案为: 39 .
14.
由 可知, ,不等式两边时乘以 ,得 ,解得 . 令 ,即 .
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的最大值是 .
15(1)设 表示事件“智能语音客服的回答被采纳”； 表示事件“语音输入的问题表达清晰”,
由题意可知, ,
所以 ,
即智能语音客服的回答被采纳的概率为 .
(2)依题意得， 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 .
所以 ,
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
256 27 128 27 64 81 256
16.
(2)
(1)因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
则 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,
所以 的通项公式为 .
(2)由(1)可得 ,
所以 ,
因为 ,
所以 的取值范围为 .
17.(1)证明:因为 平面 平面
所以 ,又因为 ,都在平面 内,
所以 平面 ，又因为 平面
所以平面 平面
(2)解:在三棱台 中， 分别是棱 的中点,所以 且相等, 且相等,
所以 四点共面
由(1)知 平面 平面 ，
在平面 内,
得:
所以 为平面 与平面 所成角,
设 ,点 到平面 的距离为
由 可得:
所以
所以 或
又因为
所以 ,所以
所以在 中,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18.(1)因为点 满足 ,由椭圆的定义知点 的轨迹是以 为焦点椭圆,
其中 ,即 ,
因此曲线 的方程为: .
(2)(i)因为曲线 的左顶点为 ，设 ，
当直线 的斜率存在时,设直线 ,联立椭圆方程得 ,
消去 得 ,
由 ，且 ，所以 ，
,化简整理得:
将①代入 ，
化简得 ,即 或 .
若 ,则直线 ,直线 经过 ,此时 与 中一个点重合,不符合题意;
若 ,则直线 ,直线 恒过点 . 如图:
当直线 的斜率不存在时,则 关于 轴对称,且 ,不妨设 , 代入 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立 ,化简整理得 ,解得 或 , 所以此时直线 为 ,仍经过定点 . 如图:
综上所述，直线 恒过定点 .
(ii) 设直线 ,联立椭圆方程得: ,消去 得:
,不妨设 .
因为 与 关于原点对称,所以 ,
所以 到直线 的距离 ,
所以四边形 的面积 ,
又因为 ,由坐标三角形面积公式得:
.
所以 ,得 ,
代入 得: ，
再代入 得: ,
,
整理得 ,显然方程有一个根 ,
再判断方程 的根,令 ,
则 ,所以 恒成立,
所以函数 在 上单调递增,
且 ,所以 在 上必有唯一零点;
所以方程 有唯一实数根 .
综上所述,存在 或 ,使得四边形 的面积为 ,
所以存在直线 ,使得四边形 的面积为 ,这样的直线有 2 条.
19.( 1 )解:当 时，可得 ，可得 ，
令 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
即 单调递减;
当 时, ,所以 单调递增,
则 ,即 单调递增,
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
(2)解:令 ，
可得 ,令 ,
则 ,
当 时, ,故 ,
当 时, ,故 ,
所以当 时,可得 单调递增,即 单调递增, ,
当 时， ，则 ， 在 上单调递增，
所以 ,所以 成立,满足题意;
当 时,存在 ,使得 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
当 时, ,不满足题意,
综上可得,实数 的取值范围为 .
(3)解:当 时， ，可得 ，
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
则 在 上单调递增,
因为 ,
所以存在唯一 ,使得 ,
可得 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以存在唯一的 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
由 ,
又由
因为 ,可得 ,
可得 ,所以 ,
则存在唯一 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时, ,则 在 上单调递增,
则 ,则存在唯一 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,可得 ,
在 上单调递增, ,
综上可得,函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
要使得 与 的图像有三个交点,
则 ,
,则 ,
又因为 ,则 ,则 ,
所以 ,得证.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分.每小题给出的四个选项 中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数 ，则 ()
A. 2 B. -2 C. 2i D. -2i
2. 的解集为( )
A. B. C. D.
3. 记等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. B. C. -1 D. -2
4. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 为抛物线上一点,作 于点 ,若 为等边三角形,则 点的横坐标为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知钝角三角形 中,角 的对边分别为 ,若 , 则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数， 关于 中心对称，则下列说法正确的是( )
A. 的一个周期为 6
B.
C.
D.
7. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列有关说法正确的是( )
A. 设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
B. 若随机变量 ，则
C. 直线 的一个方向向量为
D. 双曲线 的离心率为
10. 如图,在直三棱柱 中， ，点 、 、 、 分别是 的中点,则( )
A. 四点共面 B. 线段 为直三棱柱 外接球的直径
C. 三棱锥 的体积为 D. 直线 与 所成角余弦值为
11. 若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的最小正周期是
B. 的对称轴方程为
C. 存在实数 ,使得对任意的 ,都存在 且 ,满足
D. 若函数 是实常数 ,有奇数个零点 ,则
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知 ,若存在 使得 , 则 的最大值为_____.
14. 已知实数 满足 且 ，则 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某公司研发了一种智能语音客服系统, 在测试时, 当语音输入的问题表达清晰时, 智能语音客服的回答被采纳的概率为 ，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为 . 已知语音输入的问题表达清晰的概率为 ，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响.
(1)求智能语音客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 4 个问题，设 表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求 的分布列、数学期望和方差.
16. 记数列 的前 项和为 ,已知 .
(1)求 的通项公式；_____
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，若 ， ，求 的取值范围.
17. 如图，三棱台 中， 平面 分别是棱 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)已知三棱台 的体积大于 2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ,求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 满足 . 记 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设曲线 的左顶点为 ，动直线 与曲线 交于 两点.
(i) 设直线 的斜率分别为 ,且满足 ,证明: 直线 恒过定点;
(ii) 若直线 经过点 ，且 ， 关于原点对称，是否存在直线 ，使得四边形 的面积为 ，若存在，求出直线 的条数；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ， ， ,求证: .
1. C
因为 ,所以 ,所以 .
2. C
由 得: ,即 ,解得: 或 所以不等式 的解集为: .
3. C
由等差数列前 项和性质可得, ,
因为 ,所以 ,
再根据等差数列中项性质: ,
代入得 ，即 ，
又已知 ,设公差为 ,则 ,解得 ,
即等差数列 的通项公式 ,
所以 .
4. C
由抛物线的定义可知 ,且 ,过 作 , 可知 为 的中点,
则 ,即 ,所以 点的横坐标为 3 .
故选: C
5. D
: ,且 为钝角三角形, 为钝角.
由余弦定理得 ,
,解得 .
又 中，两边之和大于第三边，即 ， .
综上,实数 的取值范围是 ,故 正确.
6. B
选项 的图像向左平移 1 个单位得到 ,
又 关于 中心对称,
关于 中心对称, ,
将 式子中的 用 代替,得到 ,
是定义在 上的偶函数, ,
,将此式子中的 用 代替,得到 ,
则 是一个以 4 为周期的周期函数,故选项 A 错误;
选项 B, 关于 中心对称, 的定义域为 ,
是定义在 上的偶函数, ,故选项 正确;
选项 ,但是 根据题中已知条件无法得到,故选项 错误;
选项 是一个以 4 为周期的周期函数,
,
,
,
,
,
仅根据已知条件无法确定其值,故不能得出 ,故选项 D 错误.
7. D
向量 在向量 上的投影向量为 . 故选: D.
8. C
,
设 ,则 ,
当 时, 在 上单调递增,
,即 ,
,又 ,
设 ，
则 ,
令 ,
则 ,
在 上单调递减,
当 时, ,
在 上单调递减,
,
故选: C.
9. ABC
对于 选项,由 ,可得 ,故 正确;
对于 选项，由题可得: ，故 ，故 正确;
对于 选项,直线 的斜率为 ,
故该直线的一个方向向量为 ,故 正确;
对于 选项，对于双曲线 ,则 ,
故双曲线 的离心率为 ，故 不正确.
10. BCD
对于 ,直线 平面 ,点 平面 ,
而 直线 ,点 平面 ,
因此直线 与直线 是异面直线,则 四点不共面, A 错误;
对于 ,将三棱柱 补形为正方体， 为该正方体共点的三条棱,
矩形 为该正方体对角面,则 为三棱柱 外接球直径, 正确;
对于 ,点 到平面 的距离为 ,
则 正确;
对于 ,取 中点 ,连接 ,由 是 中点,得 ,
则 是异面直线 与 所成角或其补角,
由已知 平面 ,
所以 平面 ,故 平面 ,
又 平面 ,于是 ,而 ,
则 ,因此 , D 正确.
11. AD
由题设 ,
所以 ,故 ,
由 的最小正周期为 ,则 的最小正周期为 ,
同理 的最小正周期为 ,则 的最小正周期为 正确;
对于 ,令 ,则对称轴方程为 且 错误;
对任意 有 且 满足 且 ,而 的 图象如下:
所以 ,则 , 所以 或 ,无解,即不存在这样的 错误; 由 可转化为 与 交点横坐标,而 上 图象如下:
函数有奇数个零点,由图知: ,此时共有 9 个零点,
、
所以 正确.
故选: AD
12.
由 得 ,故 , 所以 在点 处的切线方程为 ,即 .
13. 39
二项式 的通项为 ,
二项式 的通项为 ,
,
若 ，则 为奇数，
此时 ,
得 ,
,又 为奇数, 的最大值为 39 .
故答案为: 39 .
14.
由 可知, ,不等式两边时乘以 ,得 ,解得 . 令 ,即 .
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的最大值是 .
15(1)设 表示事件“智能语音客服的回答被采纳”； 表示事件“语音输入的问题表达清晰”,
由题意可知, ,
所以 ,
即智能语音客服的回答被采纳的概率为 .
(2)依题意得， 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 .
所以 ,
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
256 27 128 27 64 81 256
16.
(2)
(1)因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
则 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,
所以 的通项公式为 .
(2)由(1)可得 ,
所以 ,
因为 ,
所以 的取值范围为 .
17.(1)证明:因为 平面 平面
所以 ,又因为 ,都在平面 内,
所以 平面 ，又因为 平面
所以平面 平面
(2)解:在三棱台 中， 分别是棱 的中点,所以 且相等, 且相等,
所以 四点共面
由(1)知 平面 平面 ，
在平面 内,
得:
所以 为平面 与平面 所成角,
设 ,点 到平面 的距离为
由 可得:
所以
所以 或
又因为
所以 ,所以
所以在 中,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18.(1)因为点 满足 ,由椭圆的定义知点 的轨迹是以 为焦点椭圆,
其中 ,即 ,
因此曲线 的方程为: .
(2)(i)因为曲线 的左顶点为 ，设 ，
当直线 的斜率存在时,设直线 ,联立椭圆方程得 ,
消去 得 ,
由 ，且 ，所以 ，
,化简整理得:
将①代入 ，
化简得 ,即 或 .
若 ,则直线 ,直线 经过 ,此时 与 中一个点重合,不符合题意;
若 ,则直线 ,直线 恒过点 . 如图:
当直线 的斜率不存在时,则 关于 轴对称,且 ,不妨设 , 代入 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立 ,化简整理得 ,解得 或 , 所以此时直线 为 ,仍经过定点 . 如图:
综上所述，直线 恒过定点 .
(ii) 设直线 ,联立椭圆方程得: ,消去 得:
,不妨设 .
因为 与 关于原点对称,所以 ,
所以 到直线 的距离 ,
所以四边形 的面积 ,
又因为 ,由坐标三角形面积公式得:
.
所以 ,得 ,
代入 得: ，
再代入 得: ,
,
整理得 ,显然方程有一个根 ,
再判断方程 的根,令 ,
则 ,所以 恒成立,
所以函数 在 上单调递增,
且 ,所以 在 上必有唯一零点;
所以方程 有唯一实数根 .
综上所述,存在 或 ,使得四边形 的面积为 ,
所以存在直线 ,使得四边形 的面积为 ,这样的直线有 2 条.
19.( 1 )解:当 时，可得 ，可得 ，
令 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
即 单调递减;
当 时, ,所以 单调递增,
则 ,即 单调递增,
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
(2)解:令 ，
可得 ,令 ,
则 ,
当 时, ,故 ,
当 时, ,故 ,
所以当 时,可得 单调递增,即 单调递增, ,
当 时， ，则 ， 在 上单调递增，
所以 ,所以 成立,满足题意;
当 时,存在 ,使得 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
当 时, ,不满足题意,
综上可得,实数 的取值范围为 .
(3)解:当 时， ，可得 ，
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
则 在 上单调递增,
因为 ,
所以存在唯一 ,使得 ,
可得 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以存在唯一的 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
由 ,
又由
因为 ,可得 ,
可得 ,所以 ,
则存在唯一 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时, ,则 在 上单调递增,
则 ,则存在唯一 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,可得 ,
在 上单调递增, ,
综上可得,函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
要使得 与 的图像有三个交点,
则 ,
,则 ,
又因为 ,则 ,则 ,
所以 ,得证.
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